学生书-§16-2-直接证明、间接证明与数学归纳法.docx

§16.2　直接证明、间接证明与数学归纳法
(对应答案分册第63~64页)

1.直接证明

内容
综合法
分析法
定义
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立
从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止
实质
由因导果
执果索因
框图
表示
P⇒Q1→Q1⇒Q2→…→Qn⇒Q
Q⇐P1→P1⇐P2→…→一个明显成立
的条件
文字
语言
因为……所以……
或由……得……
要证……只需证……即证……

　　2.间接证明
间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,反证法是一种常用的间接证明方法.
(1)反证法的定义:假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立的证明方法.
(2)用反证法证明的一般步骤:①反设——假设命题的结论不成立;②归谬——根据假设进行推理,直到推出矛盾为止;③结论——断言假设不成立,从而肯定原命题的结论成立.

　　1.分析法是执果索因,实际上是寻找使得结论成立的充分条件;综合法是由因导果,就是寻找已知的必要条件.
2.综合法与分析法都是直接证明的方法,反证法是间接证明的方法.
3.用反证法证题时,先否定结论,否定结论就是找出结论的反面的情况,然后推出矛盾,可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛盾.

　　3.数学归纳法的两个步骤
一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:
(1)归纳奠基
证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立(初始值n0不一定为1).
(2)归纳递推
假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫作数学归纳法.
注意:证明当n=k+1时命题成立一定会用到归纳假设,即假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,解题时要搞清从n=k到n=k+1增加了哪些项或减少了哪些项.

【概念辨析】
1.判断下面结论是否正确.(对的打“√”,错的打“×”)
(1)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件.(　　)
(2)用反证法证明结论“a>b”时,应假设“a<b”.(　　)
(3)反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾.(　　)
(4)在解决问题时,常用分析法寻找解题的思路与方法,再用综合法展现解决问题的过程.(　　)
(5)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.(　　)
【对接教材】
2.设a,b,c为一个三角形的三边,且s2=2ab,其中s=12(a+b+c),则(　　).

A.s<c B.s<b C.s>2b D.s<2a
3.若P=a+6+a+7,Q=a+8+a+5(a≥0),则P,Q的大小关系是(　　).
A.P>Q B.P=Q
C.P<Q D.不能确定
【易错自纠】
4.若a,b,c为实数,且a<b<0,则下列命题正确的是(　　).
A.ac2<bc2 B.a2>ab>b2
C.1a<1b D.ba>ab
5.若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根,则a,b,c中至少有一个是偶数.用反证法证明时,下列假设正确的是(　　).
A.假设a,b,c都是偶数
B.假设a,b,c都不是偶数
C.假设a,b,c中至多有一个偶数
D.假设a,b,c中至多有两个偶数

　综合法　【典例迁移】
　　设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:
(1)ab+bc+ca≤13;
(2)a2b+b2c+c2a≥1.

　　【变式设问】 本例的条件不变,证明:a2+b2+c2≥13.

　　点拨　1.综合法是“由因导果”的证明方法,它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发,经过一系列中间推理,最后得出所要求证结论的真实性.
2.综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理.
【追踪训练1】计算2-1≈0.414,3-2≈0.318,所以2-1>3-2.又计算5-2≈0.236,6-5≈0.213,7-6≈0.196,所以5-2>6-5,6-5>7-6.
(1)分析以上结论,试写出一个一般性的命题;
(2)判断该命题的真假.若为真,请用综合法给出证明;若为假,请说明理由.

　分析法　【题组过关】
1.已知a>0,用分析法证明:a2+1a2-2≥a+1a-2.

2.设a,b为实数,用分析法证明:a2+b2≥22(a+b).

　　点拨　分析法的证明思路:先从结论入手,由此逐步推出保证此结论成立的充分条件,而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时,命题得证.

　反证法　【考向变换】
　　考向1　证明否定性命题
设{an}是公比为q的等比数列.
(1)推导{an}的前n项和公式;
(2)设q≠1,证明:数列{an+1}不是等比数列.

　　点拨　用反证法证明数学命题需把握的三点
(1)必须先否定结论,即肯定结论的反面;
(2)必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须依据这一条件进行推证;
(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实矛盾等,但是推导出的矛盾必须是明显的.
【追踪训练2】已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+Sn=2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求证:数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列.

　　考向2　证明存在性问题
若f(x)的定义域为[a,b],值域为[a,b](a<b),则称函数f(x)是[a,b]上的“四维光军”函数.
(1)设g(x)=12x2-x+32是[1,b]上的“四维光军”函数,求常数b的值.
(2)是否存在常数a,b(a>-2),使得函数h(x)=1x+2是[a,b]上的“四维光军”函数?若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由.

　　点拨　1.适用范围:当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时,宜用反证法来证.
2.关键:在正确的推理下得出矛盾,矛盾可以是与已知条件矛盾,与假设矛盾,与定义、公理、定理矛盾,与事实矛盾等,推导出的矛盾必须是明显的.
【追踪训练3】已知a1+a2+a3+a4>100,求证:a1,a2,a3,a4中至少有一个数大于25.

　数学归纳法　【典例迁移】
　　已知数列{an}满足a1=1,an+1=an2+an(n∈N*).
(1)求a2,a3,a4的值;
(2)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明你的结论.

　　点拨　用数学归纳法证明不等式问题时,从n=k到n=k+1的推证过程中,证明不等式的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等,有时还要考虑与原不等式等价的命题,运用放缩法时,要注意放缩的“度”.
【追踪训练4】用数学归纳法证明:对一切大于1的自然数,不等式1+131+15·…·1+12n-1>2n+12均成立.

　综合法与分析法的综合应用
　　综合法是从原因推导结果的思维方法,而分析法是从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法.具体地说,综合法是从已知条件出发,经过逐步的推理,最后得到待证结论.
　　若a,b,c为不全相等的正数,求证:lga+b2+lgb+c2+lgc+a2>lg a+lg b+lg c.

　　在解决问题时可以将分析法与综合法交叉使用,当然我们可只用综合法将证明过程叙述出来,那样会更简洁,但这必须要在用分析法分析之后.

　　【突破训练】当x>1时,求证:2x2+1x2>2x+1x>2x+1x.

链接《精练案》分册P116