2022北京八中初二(下)期中数学(教师版).docx

2022北京八中初二（下）期中
数 学
一、选择题
1. 下列二次根式为最简二次根式的是（ ）
A B. C. D.
2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A. 1，，2 B. 1，1，2 C. 2，3，4 D. 4，5，6
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 若+b2﹣4b+4=0，则ab的值等于（　　）
A. ﹣2 B. 0 C. 1 D. 2
5. 下列命题中正确的是（ ）
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线互 相垂直的四边形是菱形
C. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
6. 如图，菱形，点E是对角线上一点，点F是边上一点，且，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
7. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O．AC＝4，∠AOD＝120°，则BC的长为（　　）

A. 4 B. 4 C. 2 D. 2
8. 如图，的对角线、相交于点O，点E是的中点，的周长为，则的周长是（ ）

A. 7cm B. 8cm C. 9cm D. 10cm
9. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，且，，则正方形的面积是（ ）

A. B. C. D.
10. 如图，在等边中，点A、C分别在x轴、y轴上，，当点A在x轴正半轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（ ）

A. 4 B. C. D.
二、填空题
11. 实数范围内因式分解：＝____________．
12. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是____．
13. 已知平行四边形邻边之比是1：2，周长是18，则较短的边的边长是__．
14. 在平面直角坐标系中，点，则点A到原点O的距离为________．
15. （1）比较大小：______4；
（2）在两个相邻整数______和_______之间．
16. 矩形中，，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为，则________cm．

17. 已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为__________．
18. 在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝，BD＝4，则平行四边形ABCD的面积等于 ______________.
三、解答题
19. 计算下列各式：
（1）
（2）
20. 若，求的值．
21. 阅读下面的文字后，回答问题：
对题目“化简并求值：，其中”，甲、乙两人的解答不同：
甲的解答：原式
乙的解答：原式
（1）你认为_______的解答是错误的，原因是未能正确运用二次根式的性质：__________；
（2）模仿上面正确的解答，化简并求值：，其中．
22. 如图，在中，，求的长．

23. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1．A、B、C、D均在网格的格点上．

（1）直接写出四边形的面积与、的长度；
（2）是直角吗？理由是：___________________；
（3）在网格中找到一个格点E，并画出四边形，使得其面积与四边形的面积相等．
24. 在中，，对角线、交于点O，．点M、N在对角线上，点M从点B出发以每秒1个单位的速度向点D运动，到达点D时运动停止，同时点N从点D出发，运动至点B后立即返回，点M停止运动的同时，点N也停止运动，设运动时间为t秒．

（1）若点N的速度为每秒1个单位，
①如图1，当时，求证：四边形是平行四边形；
②点M、N运动的过程中，四边形可能出现的形状是_________．
A．矩形 B．菱形 C．正方形
（2）若点N的速度为每秒2个单位，运动过程中，t为何值时，四边形是平行四边形？
25. 小云学习了平行四边形的判定后，想利用平行四边形的判定方法探究下列问题．

（1）利用平行四边形判定方法作平行四边形，作法是：如图1，在中，分别以点A，C为圆心，为半径画弧，两弧交于点D，连接，四边形就是平行四边形．小云判定四边形平行四边形的依据是___________；

（2）探究：“四边形中，若，对角线与交于点O，且，四边形平行四边形吗？”
①在图2中作出符合条件的图形（尺规作图，保留作图痕迹）；
②结合所作图形，符合条件的四边形________（填写“是”、“不是”或“不一定是”）平行四边形．
（3）探究：“四边形中，若，对角线与交于点O，且，，当与满足什么条件时，四边形一定是平行四边形？”直接写出与满足的条件是： ____________．
26. 已知在中，于点E，，平分交线段于点F．

（1）如图1，若，
①当时，________，_________；
②请直接写出线段、、之间的数量关系：_________________．
（2）如图2，若且，请写出线段之间的数量关系，并证明．

27. 已知正方形，若一个等边三角形的三个顶点均在正方形的内部或边上，则称这个等边三角形为正方形的内等边三角形．

（1）若正方形的边长为10，点E在边上，是正方形的内等边三角形．
①如图1，当点E为边中点时，线段的长度为__________；
②当点E为边上任意一点时，连接，则线段的最小值是________，线段的取值范围是________．
（2）和都是正方形的内等边三角形，当的长最大时，画出和（点A，M，N按逆时针方向排序），连接．图中与线段相等的所有线段（不添加字母）有______．

参考答案
一、选择题
1. 下列二次根式为最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、是最简二次根式，故本选项符合题意.
故选D．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，注意：最简二次根式具备两个条件：①被开方数的每一个因式都是整式，每个因数都是整数，②被开方数不含有能开得尽方的因式或因数．
2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　）
A. 1，，2 B. 1，1，2 C. 2，3，4 D. 4，5，6
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理的内容和三角形三边关系逐个判断即可．
【详解】解：A、∵12+（）2＝22
∴以1，，2为边能组成直角三角形，故本选项符合题意
B、1+1＝2，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，也不能组成直角三角形，故本选项不符合题意
C、∵22+32≠42
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意
D、∵42+52≠62
∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意
故选：A．
【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理及三角形三边关系，掌握勾股定理的逆定理及三角形三边关系是解题的关键．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次根式的性质和运算法则计算判断即可．
【详解】∵不是同类二次根式，不能进行加减运算，
∴A错误，不符合题意；
∵，
∴B错误，不符合题意；
∵，
∴C正确，符合题意；
∵被开方数是-5，无意义，
∴D错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的性质和运算，熟练掌握性质，灵活进行运算是解题的关键．
4. 若+b2﹣4b+4=0，则ab的值等于（　　）
A. ﹣2 B. 0 C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：由，得：a﹣1=0，b﹣2=0．解得a=1，b=2．ab=2．故选D．
考点：非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．
5. 下列命题中正确的是（ ）
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线互 相垂直的四边形是菱形
C. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
D. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
【答案】C
【解析】
【详解】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形，所以A选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B选项错误；
C、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以C选项正确；
D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，所以D选项错误．
故选C
6. 如图，菱形，点E是对角线上一点，点F是边上一点，且，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接BD，交AC于点G，连接BE，根据菱形的性质和已知，得到ED=EB=EF，从而得∠EDB=∠EBD，∠DEG=90°-∠EDB，∠EBD+∠DBC=∠EFB =∠CEF+∠ECF，结合已知代入化简即可．
【详解】如图，连接BD，交AC于点G，连接BE，
∵四边形ABCD菱形，∠DAB=70°，ED=EF，

∴ED=EB=EF，∠AGD=90°，∠DCE=∠BCE =35°，∠GBC =55°，
∴∠EDB=∠EBD，∠DEG=90°-∠EDB，∠EBD+∠DBC=∠EFB =∠CEF+∠ECF，
∴∠CEF=20°+∠EBD，
∴∠DEF=∠DEG +∠CEF=90°-∠EDB+20°+∠EBD=110°，
故选B．
【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形性质，三角形外角性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
7. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O．AC＝4，∠AOD＝120°，则BC的长为（　　）

A. 4 B. 4 C. 2 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】利用矩形对角线的性质得到OA＝OB．结合∠AOD＝120°知道∠AOB＝60°，则△AOB是等边三角形；最后在直角△ABC中，利用勾股定理来求BC的长度即可．
【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC＝4，
∴OA＝OB＝AC＝2，
又∵∠AOD＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝OB＝2．
∴在直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，
∴BC＝
故选：C．
【点睛】本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出OA、OB的长，题目比较典型，是一道比较好的题目．
8. 如图，的对角线、相交于点O，点E是的中点，的周长为，则的周长是（ ）

A. 7cm B. 8cm C. 9cm D. 10cm
【答案】B
【解析】
【分析】利用平行四边形的性质可得，，，再结合点E是的中点，证得是的中位线，最后利用的周长为，代换后即可求解．
【详解】∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵点E是的中点，
∴，，
∵的周长为，
∴，
∴，
∴，
∴的周长是cm，
故选：B
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和中位线的性质，熟练掌握中位线的性质是解题的关键．
9. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，且，，则正方形的面积是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：如图所示：

作BE⊥OA于点E，则，
由题意可得：，，，
△AOD≌△BEA（AAS），
∴OD=AE=5，
，
∴正方形的面积是：，
故选D．
10. 如图，在等边中，点A、C分别在x轴、y轴上，，当点A在x轴正半轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（ ）

A. 4 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】取AC的中点D，连接OD，BD，利用三角形原理，当O、D、B三点共线时OB取得最大值，且最大值等于OD+BD，计算出OD，BD的长度即可．
【详解】如图，取AC的中点D，连接OD，BD，

∵△ABC是等边三角形，∠AOC=90°，AC=4，
∴DO==CD=AD，，
∵DO+BD≥OB，
∴OB≤DO+BD=，
当O、D、B三点共线时OB取得最大值，且最大值等于，
故选D．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，三角形三边关系定理，熟练掌握直角三角形性质和三角形三边关系定理是解题的关键．
二、填空题
11. 在实数范围内因式分解：＝____________．
【答案】
【解析】
【分析】先将化为，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查利用平方差公式分解因式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
12. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是____．
【答案】x≥8
【解析】
【分析】先根据二次根式有意义条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】解：∵根式有意义，
∴x-8≥0，
解得x≥8．
故答案为：x≥8．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
13. 已知平行四边形邻边之比是1：2，周长是18，则较短的边的边长是__．
【答案】3
【解析】
【分析】根据平行四边形邻边之比是1：2，设两邻边分别为x，2x，然后利用周长得到一个关于x的一元一次方程，解方程即可．
【详解】解：∵平行四边形的周长是18，一组邻边之比是1：2，
∴设两邻边分别为x，2x，
则2（x+2x）＝18，
解得：x＝3，
∴较短的边的边长是3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及一元一次方程的应用，根据题意列出方程是关键．
14. 在平面直角坐标系中，点，则点A到原点O的距离为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据两点间的距离公式，即可求解．
【详解】解：点到原点O的距离为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查两点间的距离公式，掌握勾股定理是解题的关键．
15. （1）比较大小：______4；
（2）在两个相邻整数______和_______之间．
【答案】 ①. < ②. 4 ③. 5
【解析】
【分析】（1）先将两数变换成统一的形式，进而即可比较大小；
（2）先对无理数进行估算，进而即可确定在哪两个相邻整数之间．
【详解】（1）∵，，
又，
∴，
故答案为：<；
（2）∵，
∴，
∴在两个相邻整数4和5之间，
故答案为：4，5．
【点睛】本题考查无理数的估算及实数的大小比较，解题的关键是熟练掌握无理数估算的方法和实数比较大小的方法．
16. 矩形中，，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为，则________cm．

【答案】13
【解析】
【分析】根据折叠性质，DE=BE，设DE=BE=x，则AE=18-x，在直角三角形ADE中运用勾股定理求解即可．
【详解】∵，四边形ABCD是矩形，
根据折叠性质，得DE=BE，∠DAE=90°，
设DE=BE=x，则AE=18-x，
在直角三角形ADE中，
，
解得x=13，
即DE=13，
故答案为：13．
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，灵活运用勾股定理是解题的关键．
17. 已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为__________．
【答案】或或
【解析】
【分析】先利用算数平方根有意义的条件求得正整数的取值范围，然后令等于所有可能的平方数即可求解．
【详解】解：由题意得，
解得，
∵n是正整数，
∴
∴，
∴，
∴，
∵是整数，
∴或或或或，
解得或或或或，
∵n是正整数，
∴或或，
故答案为：或或
【点睛】本题考查了算术平方根的性质，理解掌握被开方数是平方数时算术平方根才是整数是解题的关键．
18. 在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AD＝，BD＝4，则平行四边形ABCD的面积等于 ______________.
【答案】或
【解析】
【分析】过点D作DE⊥AB，垂足为E，分点E在AB上或AB的延长线上两种情况，分别利用三角函数求出AE、DE的长，利用勾股定理求出BE的长，继而可得AB的长，然后利用平行四边形的面积公式进行求解即可.
【详解】过点D作DE⊥AB，垂足为E，

如图1，点E在AB上，
∵∠A=30°，∴DE=ADsin30°=，AE=ADcos30°=6，
在Rt△DBE中，BE=，
∴AB=AE+BE=8，
∴平行四边形ABCD的面积为；
如图2，点E在AB的延长线上，
∵∠A=30°，∴DE=ADsin30°=，AE=ADcos30°=6，
在Rt△DBE中，BE=，
∴AB=AE-BE=4，
∴平行四边形ABCD的面积为，
故答案为或.
【点睛】本题考查了解直角三角形，平行四边形的面积，正确地画出图形是解题的关键.
三、解答题
19. 计算下列各式：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先将各式化为最简二次根式，再根据二次根式四则混合运算法则计算即可；
（2）根据二次根式四则混合运算法则计算即可．
【小问1详解】
原式

【小问2详解】
原式

【点睛】此题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
20. 若，求的值．
【答案】6
【解析】
【分析】先计算a+b，ab，根据，代入计算即可．
【详解】∵，
∴，
∴
=
=6．
【点睛】本题考查了条件型的化简求值，二次根式的性质，完全平方公式的变形计算，熟练掌握公式的变形是解题的关键．
21. 阅读下面的文字后，回答问题：
对题目“化简并求值：，其中”，甲、乙两人的解答不同：
甲的解答：原式
乙的解答：原式
（1）你认为_______的解答是错误的，原因是未能正确运用二次根式的性质：__________；
（2）模仿上面正确的解答，化简并求值：，其中．
【答案】（1）甲，
（2），2
【解析】
【分析】(1)根据二次根式的性质去判断即可．
(2)分m＜3，3≤m≤5，m＞5三种情况进行化简，代入求解即可．
【小问1详解】
根据题意，得
，
∵m=5，
∴3m=15＞1，
故原式==20-1=19．
故答案为：甲，．
【小问2详解】
根据题意，得
当m＜3时，

=
=5-m+3-m=8-2m；
当3≤m≤5时，

=
=5-m+m-3=2；
当m＞5时

=
=m-5+m-3=2m-8；
综上所述，，
∵，
∴在中，
∴．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
22. 如图，在中，，求的长．

【答案】
【解析】
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠B的度数，再过点A作AD⊥BC于点D，根据锐角三角函数的定义求出AD的长，再根据勾股定理求出CD的长，根据等角对等边求得BD，进而可得出结论．
【详解】∵∠A=105°，∠C=30°，
∴∠B=45°，
过点A作AD⊥BC于点D，

∴∠ADB=∠ADC=90°，
在Rt△ADC中，
∵∠ADC=90°，∠C=30°，AC=4，
∵，
∴AD=2，
∴由勾股定理得：，
在Rt△ADB中，∠ADB=90°，∠B=45°，
∴∠DAB═∠B=45°，
∵，
∴．
【点睛】本题考查是解直角三角形及勾股定理、锐角三角函数的定义、等角对等边等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
23. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1．A、B、C、D均在网格的格点上．

（1）直接写出四边形的面积与、的长度；
（2）是直角吗？理由是：___________________；
（3）在网格中找到一个格点E，并画出四边形，使得其面积与四边形的面积相等．
【答案】（1）14，BC=，BD=4
（2）∠BCD不是直角，理由见解析
（3）见解析（答案不唯一）
【解析】
【分析】（1）利用分割法求四边形面积，利用勾股定理求出BC，BD的长；
（2）利用广告代理点逆定理判断即可；
（3）利用平行线的性质，等高模型解决问题即可．
【小问1详解】
解由题意： S四边形ABCD=5×5-×1×5-×2×5-×1×2-×1×3-1=14．
BC=，，BD=．
【小问2详解】
解：∠BCD不是直角．
理由：∵CD=，BC=，BD=4，
∴BC2+CD2=34，BD2=32，
∴BC2+CD2≠BD2，
∴∠BCD不是直角．
【小问3详解】
解：连结EC，
∵EC是边长为2的正方形对角线，AD是同方向边长为4的正方形对角线，
∴EC∥AD，
∴S△BED=S△BCD，（同底等高） ，
∴S四边形ABED=S△BED+S△ABD=S△BCD+S△ABD=S四边形ABCD，
如图点E即为所求（答案不唯一）．

【点睛】本题考查作图-应用与设计，勾股定理以及逆定理，等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24. 在中，，对角线、交于点O，．点M、N在对角线上，点M从点B出发以每秒1个单位的速度向点D运动，到达点D时运动停止，同时点N从点D出发，运动至点B后立即返回，点M停止运动的同时，点N也停止运动，设运动时间为t秒．

（1）若点N的速度为每秒1个单位，
①如图1，当时，求证：四边形是平行四边形；
②点M、N运动的过程中，四边形可能出现的形状是_________．
A．矩形 B．菱形 C．正方形
（2）若点N的速度为每秒2个单位，运动过程中，t为何值时，四边形是平行四边形？
【答案】（1）①见解析；②A
（2）0或
【解析】
【分析】（1）①如图1，当时，BM=DN，根据平行四边形ABCD的性质，得到OA=OC，OM=ON，从而判定四边形是平行四边形．
②根据，得到四边形ABCD不可能是菱形或正方形，从而得到AC与MN不能垂直，故四边形AMCN不可能是正方形或菱形，只要满足MN=AC，四边形AMCN就可以是矩形．
（2）分0＜t≤8，8＜t≤16计算判断即可．
【小问1详解】
（1）①如图1，当时，
根据题意，得BM=DN=t，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∴OB-BM=OD-DN，
∴OM=ON，
∴四边形是平行四边形．
②∵，
∴四边形ABCD不可能是菱形或正方形，
∴AC与MN不能垂直，
∴四边形AMCN不可能是正方形或菱形，
∴MN=AC，四边形AMCN就可以是矩形，
故选：A．
【小问2详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵N的运动速度是2个单位每秒，当0＜t≤8时，点N在DB上运动，且点M在BO上，
∴BM=t，ND=2t，
∴OM=OB-BM=8-t，ON=OD-ND=8-2t，
∵四边形AMCN是平行四边形，
∴OM=ON，
∴8-t=8-2t，
解得t=0；

当8＜t≤16时，点N在BD上运动，且点M在OD上，
∴OM=BM-OB=t-8，ON=BD-ND=24-2t，
∵四边形AMCN是平行四边形，
∴OM=ON，
∴t-8=24-2t，
解得t=；
故t=0或t=时，四边形是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，菱形的判定，正方形判定，熟练掌握特殊四边形的判定是解题的关键．
25. 小云学习了平行四边形的判定后，想利用平行四边形的判定方法探究下列问题．

（1）利用平行四边形的判定方法作平行四边形，作法是：如图1，在中，分别以点A，C为圆心，为半径画弧，两弧交于点D，连接，四边形就是平行四边形．小云判定四边形平行四边形的依据是___________；

（2）探究：“四边形中，若，对角线与交于点O，且，四边形是平行四边形吗？”
①在图2中作出符合条件的图形（尺规作图，保留作图痕迹）；
②结合所作图形，符合条件的四边形________（填写“是”、“不是”或“不一定是”）平行四边形．
（3）探究：“四边形中，若，对角线与交于点O，且，，当与满足什么条件时，四边形一定是平行四边形？”直接写出与满足的条件是： ____________．
【答案】（1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形
（2）①见解析②不一定是
（3）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的判定方法即可求解；
（2）根据题意作出符合条件的图形即可回答问题；
（3）添加的条件只要能证明，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形即可．
【小问1详解】
∵在中，分别以点A，C为圆心，为半径画弧，两弧交于点D，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【小问2详解】
以点为圆心，以线段的长为半径画圆，连接并延长与圆弧的交点即符合条件的点、，如图所示，

由作图可知，四边形不是平行四边形，四边形是平行四边形，
∴符合条件的四边形不一定是平行四边形，
故答案为：不一定是
【小问3详解】
与满足的条件是：．
理由如下：
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
又∵
∴四边形是平行四边形．
故答案为：
【点睛】本题考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
26. 已知在中，于点E，，平分交线段于点F．

（1）如图1，若，
①当时，________，_________；
②请直接写出线段、、之间的数量关系：_________________．
（2）如图2，若且，请写出线段之间的数量关系，并证明．

【答案】（1）①；②，理由见解析
（2）；理由见解析
【解析】
【分析】（1）①利用平行四边形的性质求得，再根据得到，利用30°的角所对的直角边等于斜边的一半即可求得AB，可得CD的长，再证明，利用全等三角形的对应边相等即可求得AF的长；
②延长EA到G，使得AG＝BE，连接DG，根据四边形ABCD是平行四边形，推出AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，求出∠DAG＝90°＝∠GAD，根据SAS证△ABE≌△DAG，推出DG＝AB＝CD，∠1＝∠2，求出∠AFD＝∠GDF，推出DG＝GF＝AF＋AG即可；
（2）与（1）证法类似，根据SAS证△ABE≌△DGA，推出DG＝AB＝CD，∠1＝∠2，求出∠GFD＝∠GDF，推出DG＝GF＝AF＋AG即可；
【小问1详解】
∵四边形是平行四边形，，
∴，，，，
∵，
∴， ，
∵，
∴，
∵，，
∴
∴，
∵，平分，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴
故答案为：；
CD＝AF＋BE，
理由是：延长EA到G，使得AG＝BE，连接DG，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
∴∠AEB＝∠DAE＝90°，
∴∠DAG＝90°，
在△ABE和△DGA中

∴△ABE≌△DGA（SAS），
∴DG＝AB＝CD，∠1＝∠2，
∵平行四边形ABCD，AE⊥BC，
∴∠B＝∠ADC＝60°＝∠G，AE⊥AD，
∴∠1＝∠2＝30°，
∵DF平分∠ADC，
∴∠3＝∠4＝30°，
∴∠AFD＝60°＝∠GDF，
∴DG＝GF＝AF＋AG，
∴CD＝AB＝DG＝AF＋BE，
即CD＝AF＋BE．
【小问2详解】
解：（1）中的结论仍然成立．
证明：延长EA到G，使得AG＝BE，连接DG，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD＝BC，
∵AE⊥BC于点E，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
∴∠AEB＝∠DAG＝90°，
∴∠DAG＝90°，
在△ABE和△DGA中

∴△ABE≌△DGA（SAS），
∴∠1＝∠2，DG＝AB，∠B＝∠G，
∵四边形ABCD平行四边形，
∴∠B＝∠ADC，
∵∠B＋∠1＝∠ADC＋∠2＝90°，∠3＝∠4，
∴∠GDF＝90°−∠4，∠GFD＝90°−∠3，
∴∠GDF＝∠GFD，
∴GF＝GD＝AB＝CD，
∵GF＝AF＋AG＝AF＋BE，
∴CD＝AF＋BE．
【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，角平分线定义，平行线的性质，平行四边形的性质等知识点的运用，本题综合性比较强，有一定的难度，但主要考查学生的类比推理的思想，主要检查学生能否找出解（1）（2）的解题思路，注意：解题思路的相似之处啊．
27. 已知正方形，若一个等边三角形的三个顶点均在正方形的内部或边上，则称这个等边三角形为正方形的内等边三角形．

（1）若正方形的边长为10，点E在边上，是正方形的内等边三角形．
①如图1，当点E为边的中点时，线段的长度为__________；
②当点E为边上任意一点时，连接，则线段的最小值是________，线段的取值范围是________．
（2）和都是正方形的内等边三角形，当的长最大时，画出和（点A，M，N按逆时针方向排序），连接．图中与线段相等的所有线段（不添加字母）有______．

【答案】（1）①；②5，；
（2）与线段NP相等的线段有BN，DM．
【解析】
【分析】（1）①连接DF，过点E作EG⊥DF，垂足为G，根据等边三角形性质可得∠AFE=∠AEF=60°，AE=EF，根据中点性质可推导出，由外角性质可得∠DEF=120°，根据等腰三角形“三线合一”的性质可得，，在Rt△DGE中，解直角三角形即可求解；
②由题意可得点F在与AD成60°的直线AF上移动，则当BF⊥AF时，BF有最小值，当DF⊥AF时，DF有最小值，当点E与点D重合时，DF有最大值，最大值为10，即可求解；
（2）根据题意画出图形，分别证明Rt△ADM≌Rt△ABN，△ADM≌△APN，进而即可求解．
【小问1详解】
①如图所示，连接DF，过点E作EG⊥DF，垂足为G，

∵△AEF是内等边三角形
∴∠AFE=∠AEF=60°，AE=EF，
∵点E为边的中点时，
又正方形的边长为10，
∴，
∴，
∵∠DEF是△AEF的外角，
∴∠DEF=120°，
∵EG⊥DF，
∴，， ，
在Rt△DGE中，，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
②∵△AEF是等边三角形，
∴∠EAF＝60°，
∴点F在与AD成60°的直线AF上移动，
∴当BF⊥AF时，BF有最小值，
此时，∵∠FAB＝∠DAB−∠EAF＝30°，
∴BF＝AB＝5，
∴BF的最小值为5，
当DF⊥AF时，DF有最小值，
此时，∠ADF＝30°，
∴AF＝AD＝5，，
当点E与点D重合时，DF有最大值，最大值为10，
∴线段DF长的取值范围为，
故答案为：5，；
【小问2详解】
△ADP和△AMN，如图所示：

∵△AMN是等边三角形，
∴AM＝AN＝MN，∠MAN＝60°，
∵边AM的长最大，
∴点M在DC上，点N在BC上，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB＝CD＝BC，∠B＝∠C＝∠ADC＝∠DAB＝90°，
∴Rt△ADM≌Rt△ABN（HL），
∴BN=DM，
∵△ADP和△AMN是等边三角形，
∴AD=AP，AM=AN，∠DAP=∠MAN=60°，
∴∠DAM=∠PAN，
∴△ADM≌△APN（SAS），
∴DM=PN，
∴NP=DM=BN，即：与线段NP相等的线段有BN，DM．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确画出图形．
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