2017-2021北京初三(上)期中数学汇编：点和圆、直线和圆的位置关系.docx

2017-2021北京初三（上）期中数学汇编
点和圆、直线和圆的位置关系3
一、单选题
1．（2021·北京大兴·九年级期中）已知⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，则直线L与⊙O的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
2．（2021·北京大兴·九年级期中）四边形ABCD内接于⊙O，则∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是(   )
A．2∶3∶4∶5 B．2∶4∶3∶5 C．2∶5∶3∶4 D．2∶3∶5∶4
3．（2018·北京海淀·九年级期中）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点．若大圆半径为2，小圆半径为1，则AB的长为（　　）

A．2 B．2 C． D．2
4．（2018·北京西城·九年级期中）如图，O为锐角三角形ABC的外心，四边形OCDE为正方形，其中E点在△ABC的外部，判断下列叙述何者正确（   ）

A．O是△AEB的外心，O是△AED的外心
B．O是△AEB的外心，O不是△AED的外心
C．O不是△AEB的外心，O是△AED的外心
D．O不是△AEB的外心，O不是△AED的外心
二、填空题
5．（2017·北京海淀·九年级期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，则∠ADE的度数为_____．

6．（2019·北京海淀·九年级期中）如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P=46°，则∠BAC=_____度．

7．（2018·北京海淀·九年级期中）已知为△的外接圆圆心，若在△外，则△是________（填“锐角三角形”或“直角三角形”或“钝角三角形”）．
8．（2018·北京海淀·九年级期中）如图，四边形内接于⊙O，E为直径CD延长线上一点，且AB∥CD，若∠C=70°，则∠ADE的大小为________．

9．（2019·北京海淀·九年级期中）如图，在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，∠BOD=160°，则∠BCD的度数为_____.

10．（2020·北京丰台·九年级期中）如图，点P是⊙的直径BA的延长线上一点，PC切⊙ 于点C，若 ，PB=6，则PC等于_____．

三、解答题
11．（2018·北京海淀·九年级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作AC的垂线交AC于点E，交AB的延长线于点F．

（1）求证：DE与⊙O相切；
（2）若CD＝BF，AE＝3，求DF的长．
12．（2021·北京大兴·九年级期中）如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC=4，求⊙O的直径．

13．（2019·北京海淀·九年级期中）如图，已知AB为⊙O的直径，AB=8，点C和点D是⊙O上关于直线AB对称的两个点，连接OC、AC，且∠BOC＜90°，直线BC和直线AD相交于点E，过点C作直线CG与线段AB的延长线相交于点F，与直线AD相交于点G，且∠GAF＝∠GCE
（1）求证：直线CG为⊙O的切线；
（2）若点H为线段OB上一点，连接CH，满足CB＝CH，
①△CBH∽△OBC；
②求OH＋HC的最大值

14．（2019·北京海淀·九年级期中）如图，已知AB是圆O的直径，弦CD交AB于点E，∠CEA=30°，OE=4，DE=5，求弦CD及圆O的半径长.

15．（2018·北京西城·九年级期中）如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O交CA于点E，点G是AD的中点．
（1）求证：GE是⊙O的切线；
（2）若AC⊥BC，且AC=8，BC=6，求切线GE的长．

16．（2017·北京海淀·九年级期中）如图，AB为⊙O上，过点O作OD⊥BC于点E，交⊙O于点D，CD∥AB．
（1）求证：E为OD的中点；
（2）若CB＝6，求四边形CAOD的面积．

17．（2017·北京海淀·九年级期中）对于平面直角坐标系 中的点，给出如下定义：记点到轴的距离为，到轴的距离为若≤，则称为点的“引力值”；若，则称为点的“引力值”.特别地，若点在坐标轴上，则点的“引力值”为0.
例如，点P（-2,3)到轴的距离为3 ，到轴的距离为2 ，因为2<3，所以点的“引力值”为2.
(1)①点的“引力值”为 ；②若点的“引力值”为2，则的值为 ；
(2)若点C在直线上，且点C的：“引力值”为2，求点C的坐标；
(3)已知点M是以D（3,4）为圆心，半径为2的圆上的一个动点，那么点M的“引力值”的取值范围是

参考答案
1．A
【详解】
试题分析：根据圆O的半径和，圆心O到直线L的距离的大小，相交：d＜r；相切：d=r；相离：d＞r；即可选出答案．
解：∵⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，
∵3＞2，即：d＜r，
∴直线L与⊙O的位置关系是相交．
故选A．
考点：直线与圆的位置关系．
2．D
【分析】
利用圆内接四边形的对角互补判断即可．
【详解】
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A+∠C=180°=∠B+∠D，
故选D．
【点睛】
考查了圆内接四边形的性质，关键是根据内接四边形的对角互补的性质解答．
3．A
【分析】
连接OA、OB、OP，OP即为小圆半径，易证△OAP≌△OBP，通过构建直角三角形，可解答．
【详解】
解：连接OA、OB、OP，OP即为小圆半径，

∵OA=OB，∠OAB=∠OBA，∠OPA=∠OPB=90°，
∴△OAP≌△OBP，
∴在直角△OPA中，OA=2，OP=1，
∴AP=,
∴AB=2．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了切线、勾股定理的应用，本题综合性较强；掌握其定理、性质，才能熟练解答．
4．B
【分析】
根据三角形的外心的性质，可以证明O是△ABE的外心，不是△AED的外心．
【详解】
如图，连接OA、OB、OD.

∵O是△ABC的外心，
∴OA=OB=OC，
∵四边形OCDE是正方形，
∴OA=OB=OE，
∴O是△ABE的外心，
∵OA=OE≠OD，
∴O不是△AED的外心，
故选:B.
【点睛】
考查三角形外心的概念，三角形的外心是三角形外接圆的圆心，是三条垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等.
5．110°．
【分析】
根据圆内接四边形的性质即可求解.
【详解】
∵四边形ABCD内接于⊙O，且∠B＝110°
∴∠ADE=∠B＝110°
故填：110°.
【点睛】
本题主要考查圆内接四边形的性质：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角.
6．23．
【分析】
由PA、PB是圆O的切线，根据切线长定理得到PA=PB，即三角形APB为等腰三角形，由顶角的度数，利用三角形的内角和定理求出底角的度数，再由AP为圆O的切线，得到OA与AP垂直，根据垂直的定义得到∠OAP为直角，再由∠OAP-∠PAB即可求出∠BAC的度数
【详解】
∵PA，PB是⊙O是切线，
∴PA=PB.
又∵∠P=46°，
∴∠PAB=∠PBA=.
又∵PA是⊙O是切线，AO为半径，
∴OA⊥AP.
∴∠OAP=90°.
∴∠BAC=∠OAP﹣∠PAB=90°﹣67°=23°.
故答案为：23
【点睛】
此题考查了切线的性质，切线长定理，等腰三角形的性质，以及三角形的内角和定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．
7．钝角三角形
【分析】
根据钝角三角形的外心在其三角形的外部是钝角三角形．
【详解】
解：锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是其斜边的中点，钝角三角形的外心在其三角形的外部；
由此可知若三角形的外心在它的外边上，那么这个三角形是钝角三角形．
故答案为钝角三角形.
【点睛】
掌握锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心是其斜边的中点，钝角三角形的外心在其三角形的外部即可.
8．110°
【分析】
由四边形ABCD内接于⊙O，可得∠B+∠ADC=180°，又由∠ADC+∠ADE=180°，即可求得∠B=∠ADE=110°．
【详解】
解：∵AB∥CD，∠C=70°，
∴∠B=110°
∵∠ADC+∠ADE=180°，∠B+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADE=110°．
故答案为110°．
【点睛】
此题考查了圆的内接多边形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
9．100°.
【详解】
试题分析：∵∠BOD=160°，
∴∠BAD=∠BOD=80°，
∵A、B、C、D四点共圆，
∴∠BCD+∠BAD=180°，
∴∠BCD=100°，
故答案为100°．
考点：圆内接四边形的性质．
10．．
【详解】
解：连结CO，

∵PC切⊙于点C，
∴∠PCO=90°，
∵，
∴PO=2OC，
∵PB=6，
∴PO+OB=PO+CO=3CO=6，
∴CO=2，
∴PO=6－2=4，
∵，
故答案为．
11．（1）见解析；（2）DF＝2．
【分析】
（1）连接OD，求出AC∥OD，求出OD⊥DE，根据切线的判定得出即可；
（2）求出∠1=∠2=∠F=30°，求出AD=DF，解直角三角形求出AD，即可求出答案．
【详解】
（1）证明：连接OD，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
又∵AB＝AC，
∴∠1＝∠2，
∵OA＝OD，
∴∠2＝∠ADO，
∴∠1＝∠ADO，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠ODF＝∠AED＝90°，
∴OD⊥ED，
∵OD过O，
∴DE与⊙O相切；
（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠1＝∠2，CD＝BD，
∵CD＝BF，
∴BF＝BD，
∴∠3＝∠F，
∴∠4＝∠3+∠F＝2∠3，
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠4＝2∠3，
∵∠ODF＝90°，
∴∠3＝∠F＝30°，∠4＝∠ODB＝60°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠2＝∠1＝30°，
∴∠2＝∠F，
∴DF＝AD，
∵∠1＝30°，∠AED＝90°，
∴AD＝2ED，
∵AE2+DE2＝AD2，AE＝3，
∴AD＝2，
∴DF＝2．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，圆周角定理，切线的判定定理，解直角三角形等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
12．8.
【分析】
根据三角形内角和定理可求得∠C＝∠BAC＝30°，再根据圆周角定理及直角三角形的性质即可求得BD的长．
【详解】
解：连接BO并延长交圆O于点D，连接AD，
∵∠BAC=120°，AB=AC=4，
∴∠C=30°，
∴∠BOA=60°．
又∵OA=OB，
∴△AOB是正三角形．
∴OB=AB=4，
∴BD=8．
∴⊙O的直径为8

【点睛】
此题综合运用了三角形的内角和定理、等腰三角形的性质、圆周角定理的推论和30°的直角三角形的性质．
13．（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②5．
【分析】
（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，由圆的性质可知：∠CAB=∠OCA，所以∠OCA=∠GCE，从而可证明直线CG是⊙O的切线；
（2）①由于CB=CH，所以∠CBH=∠CHB，易证∠CBH=∠OCB，从而可证明△CBH∽△OBC；
②由△CBH∽△OBC可知：，所以HB=，由于BC=HC，所以OH+HC=4−+BC，利用二次函数的性质即可求出OH+HC的最大值．
【详解】
解：（1）由题意可知：∠CAB=∠GAF，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠OCA，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
∵∠GAF=∠GCE，
∴∠GCE+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴直线CG是⊙O的切线；
（2）①∵CB=CH，
∴∠CBH=∠CHB，
∵OB=OC，
∴∠CBH=∠OCB，
∴△CBH∽△OBC
②由△CBH∽△OBC可知：
∵AB=8，
∴BC2=HB•OC=4HB，
∴HB=，
∴OH=OB-HB=4-
∵CB=CH，
∴OH+HC=4−+BC，
当∠BOC=90°，
此时BC=4
∵∠BOC＜90°，
∴0＜BC＜4，
令BC=x则CH=x，BH=

当x=2时，
∴OH+HC可取得最大值，最大值为5
【点睛】
本题考查圆的综合问题，涉及二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，切线的判定等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所知识．
14．弦CD的长为6，⊙O的半径长为.
【详解】
分析：过点作于，连接解，得到,根据求得的长，根据垂径定理即可求出弦的长，根据勾股定理即可求出圆的半径.
详解：过点作于，连接

∵ ∴.
在中，   
∴，．
∵，∴．
∵过圆心,∴.
∴
∵
∴在中，
∴ 弦CD的长为，⊙O的半径长为．
点睛：属于圆的综合题，考查解直角三角形，勾股定理，垂径定理等，题目比较基础，熟练掌握各个知识点是解题的关键.
15．（1）见解析；（2）
【详解】
试题分析：
（1）连接OE、OG，由已知易证OG是△ACD的中位线，由此可得OG∥AC，结合OE=OC，由平行线的性质和等腰三角形的性质可证得∠EOG=∠DOG，从而可证得△EOG≌△DOG，由此可得∠OEG=∠ODG=90°，即可证得EG是⊙O的切线；
（2）由已知条件易得AB=10，GD是⊙O的切线，则GE=GD，在Rt△ACD和Rt△BCD中，由AC2-AD2=CD2，BC2-BD2=CD2可得AC2-AD2=BC2-BD2，设BD=x，则AD=10-x，列出方程解得x的值，即可得到AD的长，从而得到GD的长就可得到GE的长了.
试题解析：
（1）连接OE，OG；

∵AG=GD，CO=OD，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OG∥AC．
∴∠OEC=∠GOE，∠ACD=∠GOD．
∵OE=OC，
∴∠ACD=∠OEC．
∴∠GOD=∠GOE．
∵OE=OD，OG=OG，
∴△OEG≌△ODG．
∴∠OEG=∠ODG=90°．
∴GE是⊙O的切线．
（2）∵AC=8，BC=6，
∴AB==10．
∴OD⊥GD．
∴GD也是圆O的切线．
∴GD=GE．
设BD=x，则AD=10﹣x，
在Rt△CDA和Rt△CDB中，
由勾股定理得：CD2=82﹣（10﹣x）2，CD2=62﹣x2
∴82﹣（10﹣x）2=62﹣x2
解得x＝，
∴AD=10﹣=．
又∵点G是AD的中点，
∴GE=GD=AD=．
即切线GE的长为．
16．（1）证明见解析；（2）
【详解】
试题分析：（1）由垂径定理得，由两直线平行，内错角相等，得，由角边角可证得与，由全等三角形的对应边相等，即可得证；
（2）连接，由直径所对的圆周角是°，得°，由垂径定理，得∴=，
∥，所以四边形是平行四边形，由线段垂直平分线的性质可得，可证是等边三角形，°.在中，由勾股定理得，.由此，，可得四边形CAOD的面积为.
试题解析：（1）∵在⊙O中，于，
∴ ，
∵CD∥AB，
∴.
在与中，，
∴≌
∴，
∴为的中点；
（2）连接，

∵是⊙O的直径，
∴°，
∵，
∴°=，
∴∥，
∵∥，
∴四边形是平行四边形
∵是的中点，，
∴
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴°，
∴°°，
∴在中，.
∵
∴.
∵，
∴，.
∴
∴.
17．（1）①1，   ② ；(2) 点Ｃ的坐标为（－2,8）或（3，－2）;(3)
【详解】
试题分析：（1）根据“引力值”的定义进行解答即可；
（2）设出C点坐标，由C在直线上，且“引力值”为2，可分情况讨论；
（3）在圆上找到和两坐标轴最近和最远的点，比较即可.
试题解析：（1）①点到轴的距离为4 ，到轴的距离为1，因为1<4，所以点的“引力值”为1；
②点的“引力值”为2，则，a；
（2）设点C的坐标为（）.
由于点C的“引力值｜”为2，则或，即，或，
当时，，此时点C的“引力值”为0，舍去；
当时，此时C点坐标为（－2，8）；
当时，解得，此时点C的“引力值”为1，舍去；
当时，，，此时C点坐标为（3，－2）；
综上所述，点C的坐标为（－2，8）或（3，－2）.
（3）以D（3，4）为圆心，半径为2的圆上的点中，距离x轴最近和最远的点分别为（3，2），（3，6），距离y轴最近和最远的点分别为（1，4），（5，4），所以点M的“引力值”的取值范围是1≤d≤6.
点睛：此题考查引力值的定义、圆的有关知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决数学问题.
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