2022年长春市中考数学模拟试题(5)(解析版).doc

2022年长春市中考数学模拟试题（5）
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）数轴上，到原点距离是8的点表示的数是（　　）
A．8和﹣8 B．0和﹣8 C．0和8 D．﹣4和4
【答案】A
【解析】数轴上距离原点是8的点有两个，
表示﹣8的点和表示+8的点．
故选：A．
2．（3分）下列把2034000记成科学记数法正确的是（　　）
A．2.034×106 B．20.34×105 C．0.2034×106 D．2.034×103
【答案】A
【解析】数字2034000科学记数法可表示为2.034×106．
故选：A．
3．（3分）如图是一根空心方管，它的主视图是（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】从正面看，是内外两个正方形，
故选：A．
4．（3分）关于x的不等式（m+1）x＞m+1的解集为x＜1，那么m的取值范围是（　　）
A．m＜﹣1 B．m＞﹣1 C．m＞0 D．m＜0
【答案】A
【解析】∵不等式（m+1）x＞m+1的解集为x＜1，
∴m+1＜0，即m＜﹣1，
故选：A．
5．（3分）明代大数学家程大位著《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问君多少能完成？”用现代的话说就是：有83000根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管3个或笔套5个，怎样安排笔管和笔套的短竹的数量，使制成的1个笔管与1个笔套正好配套？设用于制作笔管的短竹数为x根，用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】依题意，得：．
故选：B．
6．（3分）如图，某停车场入口的栏杆从水平位置AB绕点O旋转到A'B'的位置．已知AO＝4米，若栏杆的旋转角∠AOA'＝47°，则栏杆端点A上升的垂直距离A'H为（　　）

A．4sin47°米 B．4cos47°米 C．4tan47°米 D．米
【答案】A
【解析】在Rt△A′OH中，OA′＝4米，∠A′HO＝90°，∠AOA'＝47°，
∴sin∠AOA′＝，
∴A′H＝OA′•sin∠AOA′＝4sin47°（米）．
故选：A．
7．（3分）如图，△ABC中，AC＜BC，如果用尺规作图的方法在BC上确定点P，使PA+PC＝BC，那么符合要求的作图痕迹是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵PB+PC＝BC，而PA+PC＝BC，
∴PA＝PB，
∴点P在AB的垂直平分线上，
即点P为AB的垂直平分线与BC的交点．
故选：C．
8．（3分）如图所示是一块含30°，60°，90°的直角三角板，直角顶点O位于坐标原点，斜边AB垂直于x轴，顶点A在函数y1＝（x＞0）的图象上，顶点B在函数为y2＝（x＞0）的图象上，∠ABO＝30°，则＝（　　）

A．﹣3 B．3 C． D．﹣
【答案】A
【解析】令斜边AB垂直于x轴垂足为C，则图中△AOB、△AOC、△BOC都是含有30°角的直角三角形，
设AC＝a，
在Rt△AOC中，OC＝a，
在Rt△BOC中，BC＝•OC＝3a，；
∴A（a，a） B（a，﹣3a）
∵顶点A在函数y1＝（x＞0）的图象上，顶点B在函数为y2＝（x＞0）的图象上，
∴k1＝a•a，k2＝a•（﹣3a），
∴；
故选：A．

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9．（3分）化简：﹣3的结果是________．
【答案】．
【解析】原式＝2﹣＝．
10．（3分）分解因式：4a3b2﹣6a2b2＝________．
【答案】2a2b2（2a﹣3）．
【解析】4a3b2﹣6a2b2＝2a2b2（2a﹣3）．
11．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________．
【答案】k＞﹣1且k≠0．
【解析】∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0，
∴k＞﹣1，
∵x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0
∴k≠0，
∴k的取值范围是：k＞﹣1且k≠0．
12．（3分）如图，AB∥CD，过直线EF上的点G作GH⊥AB，已知∠1＝50°，则∠2＝________．

【答案】40．
【解析】∵AB∥CD，
∴∠1＝∠APF＝50°，
∴∠GPH＝∠APF＝50°，
又∵GH⊥AB，
∴∠2＝90°﹣50°＝40°，

13．（3分）如图，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF．若AF＝5，BF＝3，则AC的长为________．

【答案】4．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵AF＝5，BF＝3，
∴AB＝＝4，
∵将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF．
∴CF＝AF＝5，
∴BC＝8，
∴AC＝＝＝4，
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a＞0）与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于点M，P为抛物线的顶点，若直线OP交直线AM于点B，且M为线段AB的中点，则a的值为________．

【答案】．
【解析】∵抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a＞0）与y轴交于点A，
∴A（0，3），抛物线的对称轴为x＝1，
∴顶点P坐标为（1，3﹣a），点M坐标为（2，3），
∵点M为线段AB的中点，
∴点B坐标为（4，3），
设直线OP解析式为y＝kx（k为常数，且k≠0），
将点P（1，3﹣a）代入得3﹣a＝k，
∴y＝（3﹣a）x，
将点B（4，3）代入得3＝（3﹣a）×4，
解得a＝，
三．解答题（共10小题，满分78分）
15．（6分）先化简，再求值：（x﹣3）2﹣x（2x+1）+x2，其中x＝．
【答案】见解析
【解析】原式＝x2﹣6x+9﹣2x2﹣x+x2
＝﹣7x+9，
当x＝时，
原式＝﹣7×＝﹣1．
16．（6分）我校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加泰州市举行的某比赛．
（1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是________；
（2）求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率．
【答案】见解析
【解析】（1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，所选代表恰好为1名女生和1名男生的结果有8种，
∴所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率＝．
17．（6分）某地对一段长达2400米的河堤进行加固．在加固800米后，采用新的加固模式，每天的工作效率比原来提高25%，用26天完成了全部加固任务．
（1）原来每天加固河堤多少米？
（2）若承包商原来每天支付工人工资为1500元，提高工作效率后每天支付给工人的工资增加了20%，完成整个工程后承包商共支付工人工资多少元？
【答案】见解析
【解析】（1）设原来每天加固河堤x米，则采用新的加固模式后每天加固河堤（1+25%）x米，
由题意得：+＝26，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意，
答：原来每天加固河堤80米；
（2）由（1）得：（1+25%）x＝（1+25%）×80＝100（米），
∴承包商共支付工人工资为：×1500+×1500×（1+20%）＝43800（元），
答：完成整个工程后承包商共支付工人工资43800元．
18．（7分）如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作⊙O，点E在BC边上，连接AE交⊙O于点F，连接BF并延长交CD于点G，OA＝3．
（1）求证：△ABE≌△BCG；
（2）若∠AEB＝55°，求劣弧的长．（结果保留π）

【答案】见解析
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠BCG＝90°，
∵AB是直径，
∴∠AFB＝90°，
∴∠BAE+∠ABF＝90°，∠ABF+∠CBG＝90°，
∴∠BAE＝∠CBG，
在△ABE和△BCG中，
，
∴△ABE≌△BCG（ASA）．

（2）解：连接OF，

∵∠ABE＝90°，∠AEB＝55°，
∴∠BAE＝90°﹣55°＝35°，
∴∠BOF＝2∠BAE＝70°，
∵OA＝3，
∴的长＝＝．
19．（7分）4月23日是世界读书日，某校为了解学生课外阅读情况，随机抽取20名学生，对每人每周用于课外阅读的平均时间（单位：min）进行调查，过程如下：
【收集数据】
30
60
81
50
40
110
130
146
90
100
60
81
120
140
70
81
10
20
100
81
【整理数据】
课外阅读时间x（min）
0≤x＜40
40≤x＜80
80≤x＜120
120≤x＜160
等级
D
C
B
A
人数
3
a
8
b
【分析数据】
平均数
中位数
众数
80
m
n
请根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝________；b＝________；m＝________；n＝________．
（2）如果每周用于课外阅读的时间不少于80min达标，该校现有学生1000人，估计达标的学生有________人．
（3）假设平均阅读一本课外书的时间为260min，请你估计该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读多少本课外书？
【答案】见解析
【解析】（1）将原始数据进行统计可得，阅读时间在120≤x＜160的有4人，即b＝4，阅读时间在40≤x＜80的有5人，即a＝5，
将20位学生的阅读时间从小到大排列，处在中间位置的两个数都是81，因此中位数是81，即m＝81，出现次数最多的是81，因此众数是81，即n＝81，
故答案为：5，4，81，81；
（2）1000×＝600（人），
故答案为：600；
（3）80×52÷260＝16（本），
答：该校学生每人一年（按52周计算）平均阅读16本课外书．
20．（7分）如图，点A、B、C是4×4网格上的格点，连接点A、B、C得△ABC，请分别在下列图中使用无刻度的直尺按要求画图．

（1）在图1中，在AC上找一点M，使S△BCM＝S△ABC；
（2）在图2中，在△ABC内部（不含边界）找一点N，使S△BCN＝S△ABC．
【答案】见解析
【解析】（1）在图1中，点M即为所求；

（2）在图2中，点N即为所求．

21．（8分）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：
（1）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离；
（2）求线段CD对应的函数表达式；
（3）在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距15千米．

【答案】见解析
【解析】（1）由图象可得，
货车的速度为300÷5＝60（千米/小时），
则轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是60×4.5＝270（千米），
即轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是270千米；
（2）设线段CD对应的函数表达式是y＝kx+b，
∵点C（2.5，80），点D（4.5，300），
∴，
解得，
即线段CD对应的函数表达式是y＝110x﹣195（2.5≤x≤4.5）；
（3）当x＝2.5时，两车之间的距离为：60×2.5﹣80＝70，
∵70＞15，
∴在轿车行进过程，两车相距15千米时间是在2.5～4.5之间，
由图象可得，线段OA对应的函数解析式为y＝60x，
则|60x﹣（110x﹣195）|＝15，
解得x1＝3.6，x2＝4.2，
∵轿车比货车晚出发1.5小时，3.6﹣1.5＝2.1（小时），4.2﹣1.5＝2.7（小时），
∴在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米，
答：在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米．
22．（9分）教材呈现：华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．
例2：如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、AB的中点，AD、CE相交于点G，求证：．
证明：连结ED．
请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．
结论应用：
如图②，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为边BC的中点，AE、BD交于点F，过点F作FG⊥BC，垂足为点G，则BG：BC＝________．

【答案】见解析
【解析】（1）证明：如图①，连接ED，
∵D，E分别是边BC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AC，DE＝AC，
∴△DEG∽△ACG，
∴＝，
∴．
（2）解：∵四边形ABCD为正方形，对角线AC、BD交于点O，
∴O为边AC的中点，
∵E为边BC的中点，
∴点F是△ABC的重心，
由①得，
∵AB∥FG，
∴＝2，
∵点E是BC中点，
∴BG：BC＝2：6＝1：3，
故答案为：BG：BC＝1：3．

23．（10分）如图，在矩形ABCD中，AC和BD交于点O，AB＝2，∠BAC＝60°．P，Q两点同时从点A出发，点P以每秒1个单位的速度沿折线A→B→D向终点D运动，点Q以每秒1个单位的速度沿折线A→C→D向终点D运动．设运动的时间为x秒，△APQ的面积为y．（规定：点和线段是面积为0的三角形）
（1）当点P在AB上时，△APQ的形状是________．
（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）当直线CP平分△ABC的面积时，直接写出x的值．

【答案】见解析
【解析】（1）∵P，Q两点同时从点A出发，点P以每秒1个单位的速度向终点D运动，点Q以每秒1个单位的速度向终点D运动，
∴当点P在AB上时，AP＝AQ，
∵∠BAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形，
故答案为：等边三角形；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，BD＝AC，
在Rt△ABC中，AB＝2，∠BAC＝60°，
∴AC＝4，BC＝＝2，
∴AC＝4，
①当P在AB上，Q在AC上时，0≤x≤2，过P作PE⊥AC于E，如图：

由（1）知此时△APQ是等边三角形，AP＝AQ＝x，
在Rt△APE中，PE＝AP•sin60°＝x，
∴y＝AQ•PE＝x2；
②当P在BO上，Q在AC上时，2＜x≤4，过P作PF⊥AC于F，如图：

∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB，
∵∠BAC＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠POF＝60°，OA＝OB＝AB＝2，
∵AB+BP＝AQ＝x，
∴OP＝4﹣x，
在Rt△POF中，PF＝OP•sin60°＝（4﹣x），
∴y＝AQ•PF＝x（4﹣x）＝﹣x2+x；
③当P在OD上，Q在CD上时，4＜x≤6，过P作PG⊥AD于G，过Q作QH⊥BD于H，如图：

∵AB+BP＝AC+CQ＝x，
∴DP＝DQ＝6﹣x，
而∠CDB＝∠ABD＝60°，
∴∠PDG＝30°，
在Rt△PDG中，PG＝PD＝（6﹣x），
在Rt△QDH中，QH＝DQ•sin60°＝（6﹣x），
∴S△APD＝AD•PG＝×2×（6﹣x）＝3﹣x，
S△PDQ＝PD•QH＝×（6﹣x）×（6﹣x）＝（6﹣x）2，
而S△ADQ＝AD•DQ＝×2×（6﹣x）＝6﹣x，
∴y＝S△ADQ﹣S△APD﹣S△PDQ＝（6﹣x）﹣（3﹣x）﹣（6﹣x）2＝﹣x2+x﹣6，
终上所述，y＝；
（3）如图：

当P为AB中点时，直线CP平分△ABC的面积，此时x＝1，
连接CP交BD于P'，当P运动到P'时，直线CP'平分△ABC的面积，
∵AB∥CD，
∴＝＝，
∴BP'＝DP'，
∴BP'＝BD＝，
∴AB+BP'＝，
∴x＝，
综上所述，直线CP平分△ABC的面积，x的值为1或．
24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝（x﹣2）2的顶点为C，与y轴正半轴交于点B，一次函数y＝kx+4（k≠0）图象与抛物线交于点A、点B，与x轴负半轴交于点D，若AB＝3BD．
（1）求点A的坐标；
（2）联结AC、BC，求△ABC的面积；
（3）如果将此抛物线沿y轴正方向平移，平移后的图象与一次函数y＝kx+4（k≠0）图象交于点P，与y轴相交于点Q，当PQ∥x轴时，试问该抛物线平移了几个单位长度？

【答案】见解析
【解析】（1）作AE⊥x轴与点E，则BO∥AE，

将x＝0代入y＝（x﹣2）2得y＝4，
∴点B坐标为（0.4）．
∵AB＝3BD，
∴＝＝，
∴AE＝4BO＝16，
将y＝16代入y＝（x﹣2）2得16＝（x﹣2）2，
解得x＝6或x＝﹣2（舍），
∴点A坐标为（6，16）．
（2）作CF∥y轴交AB于点F，

将（6，16）代入y＝kx+4得16＝6k+4，
解得k＝2，
∴y＝2x+4，
将x＝2代入y＝2x+4得y＝8，
∴点F坐标为（2，8），
∴FC＝8，
∴S△ABC＝S△BCF+S△ACF＝FC•（xC﹣xB）+FC•（xA﹣xC）＝×8×（2﹣0）+×8×（6﹣2）＝24．
（3）设抛物线向上平移m个单位，则点Q坐标为（0，4+m），
由题意可得P，Q关于对称轴对称，
∴点P坐标为（4，4+m），
将（4，4+m）代入y＝2x+4得4+m＝8+4，
解得m＝8，
∴该抛物线平移了8个单位．