2022年长春市中考数学模拟试题(3)(解析版).doc

2022年长春市中考数学模拟试题（3）
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）如图，数轴上点C对应的数为c，则数轴上与数﹣2c对应的点可能是（　　）

A．点A B．点B C．点D D．点E
【答案】D
【解析】点C在原点的左侧，且到原点的距离接近1个单位，因此﹣2c在原点的右侧，且到原点的距离是点C到原点距离的2倍，
因此点E符合题意，
故选：D．
2．（3分）下列把2034000记成科学记数法正确的是（　　）
A．2.034×106 B．20.34×105 C．0.2034×106 D．2.034×103
【答案】A
【解析】数字2034000科学记数法可表示为2.034×106．
故选：A．
3．（3分）下列图形是正方体展开图的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】由正方体的展开图的特征可知，可以拼成正方体是下列三个图形：

故这些图形是正方体展开图的个数为3个．
故选：C．
4．（3分）不等式4x＜3x+1的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】4x＜3x+1，
移项得：4x﹣3x＜1，
合并同类项得：x＜1，
在数轴上表示为：

故选：C．
5．（3分）如图，某停车场入口的栏杆从水平位置AB绕点O旋转到A'B'的位置．已知AO＝4米，若栏杆的旋转角∠AOA'＝47°，则栏杆端点A上升的垂直距离A'H为（　　）

A．4sin47°米 B．4cos47°米 C．4tan47°米 D．米
【答案】A
【解析】在Rt△A′OH中，OA′＝4米，∠A′HO＝90°，∠AOA'＝47°，
∴sin∠AOA′＝，
∴A′H＝OA′•sin∠AOA′＝4sin47°（米）．
故选：A．
6．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠CDB＝28°，则∠AOC＝（　　）

A．56° B．118° C．124° D．152°
【答案】C
【解析】∵∠BOC＝2∠CDB＝2×28°＝56°，
∴∠AOC＝180°﹣∠BOC＝180°﹣56°＝124°．
故选：C．
7．（3分）在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝5．分别以B、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E、F两点，连接直线EF，分别交BC、AB于点M、N，连接CN，则△CMN的周长为（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝3，AB＝5，
∴AC＝＝＝4，
由作图可知，MN垂直平分线段BC，
∴BM＝CM＝，MN∥AC，
∴BN＝AN，
∴MN＝AC＝2，CN＝AB＝，
∴△MNC的周长＝++2＝6，
故选：B．
8．（3分）反比例函数y＝的图象向下平移1个单位，与x轴交点的坐标是（　　）
A．（﹣3，0） B．（﹣2，0） C．（2，0） D．（3，0）
【答案】D
【解析】∵反比例函数y＝的图象向下平移1个单位，
∴平移后的解析式为：y＝﹣1，
∴令y＝0，则﹣1＝0，
解得：x＝3，
∴所得图象的与x轴的交点坐标是：（3，0）．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9．（3分）若商场去年的总销售量为n，预计今年增加20%的销售量，则今年的销售量为________．
【答案】1.2n．
【解析】今年的销售量为n×（1+20%）＝1.2n．
10．（3分）因式分解：x2﹣1＝________．
【答案】（x+1）（x﹣1）．
【解析】原式＝（x+1）（x﹣1）．
11．（3分）若关于x的方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为________．
【答案】±4．
【解析】∵方程有两个相等的实数根，
而a＝1，b＝﹣k，c＝4，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣k）2﹣4×1×4＝0，
解得k＝±4．
12．（3分）如图，已知正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，DG平分正五边形的外角∠EDF，则∠G＝________度．

【答案】54．
【解析】如图：

由正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，可得∠DPG＝90°，
∴∠G+∠EDG＝90°，
∵∠EDF＝＝72°，DG平分正五边形的外角∠EDF，
∴∠EDG＝∠EDF＝36°，
∴∠G＝90°﹣∠EDG＝54°．
13．（3分）已知如图：△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，以AC为直径的圆交AB于D，若AD＝8cm，则阴影部分的面积为________．

【答案】32cm2．
【解析】连接CD，
∵△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC，
∴∠DAC＝45°，
∵以AC为直径的圆交AB于点D，
∴∠ADC＝90°，
∴CD⊥AB，
∴CD＝AD＝BD，
∵AD＝8cm，
∴图中阴影部分的面积为：
S△BDC＝BD•CD＝＝32（cm2）．

14．（3分）设直线y＝2与抛物线y＝x2交于A，B两点，点P为直线y＝2上方的抛物线y＝x2上一点，若△PAB的面积为，则点P的坐标为________．
【答案】（2，4）或（﹣2，4）．
【解析】∵直线y＝2与抛物线y＝x2交于A，B两点，
∴当y＝2时，x1＝，x2＝﹣，
∴设点A的坐标为（﹣，2），点B的坐标为（，2），
∴AB＝2，
∵点P为直线y＝2上方的抛物线y＝x2上一点，△PAB的面积为，
∴设点P的坐标为（p，p2），
∴＝2，
解得p1＝2，p2＝﹣2，
∴点P的坐标为（2，4）或（﹣2，4），
三．解答题（共10小题，满分78分）
15．（6分）先化简，再求值：[（2x﹣y）2﹣y（2x+y）]÷2x，其中x＝2，y＝﹣1．
【答案】见解析
【解析】原式＝（4x2﹣4xy+y2﹣2xy﹣y2）÷2x
＝（4x2﹣6xy）÷2x
＝2x﹣3y．
当x＝2，y＝﹣1时，原式＝2×2﹣3×（﹣1）＝7．
16．（6分）我校准备从甲、乙2名女生和丙、丁2名男生中任选2人代表学校参加泰州市举行的某比赛．
（1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是________；
（2）求所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率．
【答案】见解析
【解析】（1）如果已经确定女生甲参加，再从其余的候选人中随机选取1人，则女生乙被选中的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，所选代表恰好为1名女生和1名男生的结果有8种，
∴所选代表恰好为1名女生和1名男生的概率＝．
17．（6分）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．
（1）在图①中，以格点为端点画一条长度为的线段MN；
（2）在图②中，A、B、C是格点，求∠ABC的度数．

【答案】见解析
【解析】（1）如图

根据勾股定理，得
MN＝＝＝；
（2）连接AC
∵，，，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°．
18．（7分）为防控新冠肺炎，某药店用1000元购进若干医用防护口罩，很快售完，接着又用2500元购进第二批口罩，已知第二批所购口罩的数量是第一批所购口罩数的2倍，且每只口罩的进价比第一批的进价多0.5元．求第一批口罩每只的进价是多少元？
【答案】见解析
【解析】设第一批口罩每只的进价是x元，则第二批口罩每只的进价是（x+0.5）元，
依题意，得：＝2×，
解得：x＝2，
经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意．
答：第一批口罩每只的进价是2元．
19．（7分）已知在平行四边形ABCD中，点E为AB边上一点，过点E作EF⊥BC于点F．
（1）如图1，连接EC，若点E为AB中点，tanB＝，AB＝10，EC＝4，求AD的长．
（2）如图2，作∠AEF的平分线交CD于点G，连接FG，若∠EGF＝2∠GFC，△EGH为等边三角形，且FG⊥HG，∠AGH＝∠GFC，求证：AE+AH＝AG．

【答案】见解析
【解析】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝10，BC＝AD，
∵AE＝EB＝5，EF⊥BF，tanB＝＝，
设EF＝4x，则BF＝3x，
在Rt△BEF中，由勾股定理得：（4x）2+（3x）2＝52，
解得：x＝1，
∴EF＝4，BF＝3，
在Rt△ECF中，CF＝＝＝8，
∴BC＝BF+CF＝11，
∴AD＝11；
（2）证明：如图2中，作GT∥CB交AB于T，交EF于K．
则∠FGT＝∠GFC，
∵∠EGF＝2∠GFC，
∴∠TGE＝∠GFC，
∵∠AGH＝∠GFC，
∴∠TGE＝∠AGH，
∵△EGH是等边三角形，
∴GE＝GH，∠EGH＝∠GEH＝∠EHG＝60°，
∵FG⊥GH，
∴∠FGH＝90°，
∴∠EGF＝30°，
∵∠EGF＝2∠GFC，
∴∠GFC＝15°，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC＝90°，
∴∠EFG＝75°，
∴∠FEG＝180°﹣30°﹣75°＝75°，
∴∠GEF＝∠GFE，
∴GE＝GF，
∵GT∥BC，EF⊥BC，∴GT⊥EF，
∴EK＝KF，
∴ET＝TB，
∵∠AEG＝∠GEF＝75°，
∴∠BEF＝30°，
∴∠B＝90°﹣30°＝60°，
∵TG∥BC，
∴∠ATG＝∠B＝60°，
∴△AGT是等边三角形，
∴AT＝AG，
在△AGH和△TGE中，，
∴△AGH≌△TGE（SAS），
∴AH＝TE，
∵AE+TE＝AT，
∴AE+AH＝AG．

20．（7分）空气质量按照空气质量指数大小分为六个级别，分别为：一级优，二级良，三级轻度污染，四级重度污染，五级重度污染，六级严重污染．级别越高，说明污染的情况越严重，对人体的健康危害也越大．空气质量达到一级优或二级良的天气为达标天气，如图是长春市从2014年到2019年的空气质量级别天数的统计图表．
2014﹣2019年长春市空气质量级别天数统计表
空气质量级别
天数
年份
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
2014
30
215
73
28
13
6
2015
43
193
87
19
15
8
2016
51
237
58
15
5
0
2017
65
211
62
16
9
2
2018
123
202
39
0
1
0
2019
126
180
38
16
5
0
根据上面的统计图表回答下列问题：

（1）长春市从2014年到2019年空气质量为“达标”的天数最多的是________年．
（2）长春市从2014年到2019年空气质量为“严重污染”的天数的中位数为________天，平均数为________天．
（3）长春市从2015年到2019年，和前一年相比，空气治理质量为“优”的天数增加最多的是________年，这一年空气质量为“优”的天数的年增长率约为________（精确到1%）．
（空气质量为“优”的天数的增长率＝×100%）
（4）你认为长春市从2015年到2019年哪一年的空气质量好？试说明理由．
【答案】见解析
【解析】（1）从折线统计图中“达标”天数的折线的最高点，相应的年份为2018年，
故答案为：2018；
（2）将这6年的“重度污染”的天数从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝7，因此中位数是7天，
这6年的“重度污染”的天数的平均数为＝8（天），
故答案为：7，8；
（3）前一年相比，空气质量为“优”的天数增加量为：
2015年，43﹣30＝13天；
2016年，51﹣43＝8天；
2017年，65﹣51＝14天；
2018年，123﹣65＝58天；
2019年，126﹣123＝3天，
因此空气质量为“优”的天数增加最多的是2018年，增长率为×100%≈89%，
故答案为：2018，89%；
（4）从统计表中数据可知，2018年空气质量好，
理由：2018年“达标天数”最多，重度污染、中度污染、严重污染的天数最少．
21．（8分）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：
（1）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离；
（2）求线段CD对应的函数表达式；
（3）在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距15千米．

【答案】见解析
【解析】（1）由图象可得，
货车的速度为300÷5＝60（千米/小时），
则轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是60×4.5＝270（千米），
即轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是270千米；
（2）设线段CD对应的函数表达式是y＝kx+b，
∵点C（2.5，80），点D（4.5，300），
∴，
解得，
即线段CD对应的函数表达式是y＝110x﹣195（2.5≤x≤4.5）；
（3）当x＝2.5时，两车之间的距离为：60×2.5﹣80＝70，
∵70＞15，
∴在轿车行进过程，两车相距15千米时间是在2.5～4.5之间，
由图象可得，线段OA对应的函数解析式为y＝60x，
则|60x﹣（110x﹣195）|＝15，
解得x1＝3.6，x2＝4.2，
∵轿车比货车晚出发1.5小时，3.6﹣1.5＝2.1（小时），4.2﹣1.5＝2.7（小时），
∴在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米，
答：在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米．
22．（9分）如图，矩形ABCD中，BC＞AB，E是AD上一点，△ABE沿BE折叠，点A恰好落在线段CE上的点F处．
（1）求证：CF＝DE．
（2）设＝m．
①若m＝，试求∠ABE的度数；
②设＝k，试求m与k满足的关系．

【答案】见解析
【解析】（1）证明：由折叠的性质可知，∠BEA＝∠BEF，
∵AD∥BC，
∴∠BEA＝∠EBC，∠BCF＝∠CED，
∴∠BEF＝∠EBC，
∴BC＝CE，
∵∠BFC＝∠D＝90°，
∴△BFC≌△CDE（AAS），
∴CF＝DE．

（2）解：①由翻折可知BA＝BF，∠BFE＝∠A＝90°，
在Rt△BFC中，sin∠BCF＝＝＝＝，
∴∠BCF＝60°，
∴∠CBF＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABF＝90°﹣30°＝60°，
∵∠ABE＝∠FBE，
∴∠ABE＝∠ABF＝30°．

②∵＝k，＝m，
∴AE＝kAD，AB＝mAD，
∴DE＝AD﹣AE＝AD（1﹣k），
在Rt△CED中，CE2＝CD2+DE2，即AD2＝（mAD）2+[AD（1﹣k）]2，
整理得，m2＝2k﹣k2．

23．（10分）如图1，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，D为OB边上一点，过D点作DC⊥AB交AB于C，连接AD，E为AD的中点，连接OE、CE．
观察猜想
（1）①OE与CE的数量关系是________；
②∠OEC与∠OAB的数量关系是________；
类比探究
（2）将图1中△BCD绕点B逆时针旋转45°，如图2所示，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
拓展迁移
（3）将△BCD绕点B旋转任意角度，若BD＝，OB＝3，请直接写出点O、C、B在同一条直线上时OE的长．

【答案】见解析
【解析】（1）①如图1中，

∵CD⊥AB，
∴∠ACD＝90°，
∵∠AOD＝90°，AE＝DE，
∴OE＝AD，EC＝AD，
∴OE＝EC．
②∵EO＝EA，EC＝EA，
∴∠EAO＝∠EOA，∠EAC＝∠ECA，
∵∠OED＝∠EAO+∠EOA＝2∠EAO，∠DEC＝∠EAC+∠ECA＝2∠EAC，
∵OA＝OB，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝45°，
∴∠OEC＝2（∠OAE+∠EAC）＝90°，
∴∠OEC＝2∠OAB，
故答案为OE＝EC，∠OEC＝2∠OAB．

（2）结论成立．
理由：如图2中，延长OE到H，使得EH＝OE，连接DH，CH，OC．

由题意△AOB，△BCD都是等腰直角三角形，
∴∠A＝∠ABO＝∠DBC＝∠CDB＝45°，
∵AE＝ED，∠AEO＝∠DEH，OE＝EH，
∴△AEO≌△DEH（SAS），
∴AO＝DH，∠A＝∠EDH＝45°，
∴∠CDH＝∠OBC＝90°，
∵OA＝OB，BC＝CD，
∴DH＝OB，
∴△HDC≌△OBC（SAS），
∴CH＝OC，∠HCD＝∠OCB，
∴∠HCO＝∠DCB＝90°，
∴∠COE＝∠CHE＝45°，
∵OE＝EH，
∴CE⊥OE，
∴∠OEC＝90°，
∴∠OEC＝2∠OAB，OE＝EC．
解法二：过O做OM⊥AB交AB于点M，过C做CN⊥AB，交AB于点N，可得OM＝AM＝AB，DN＝BN＝DB，又AE＝DE，所以得EN＝AB＝OM＝AM，可得EM＝DN＝NC，又∠OME＝∠ENC＝90°，
所以△OEM≌△ECN，所以得OE＝EC，OE⊥EC．

（3）①如图3﹣1中，当点C落在OB上时，连接EC．

由（1）（2）可知△OEC是等腰直角三角形，
∵BC＝BD＝1，OB＝3，
∴OC＝OB﹣BC＝3﹣1＝2，
∴OE＝OC＝．

②如图3﹣2中，当点C落在OB的延长线上时，连接EC．同法可得OE＝OC＝（3+1）＝2，

综上所述，OE的长为或2．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C，点D（3，4）在抛物线上，点P是抛物线上一动点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，连接OD，若OP平分∠COD，求点P的坐标；
（3）如图2，连接AC，BC，抛物线上是否存在点P，使∠CBP+∠ACO＝45°？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】见解析
【解析】（1）∵点B（4，0），点D（3，4）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4；
（2）作PE∥y轴，交OD于点Q，交x轴于点E，如图1所示：

∵PE∥y轴，
∴∠OPQ＝∠POC，
∵OP平分∠COD，
∴∠POC＝∠POQ，
∴PQ＝OQ，
设OD的解析式为y＝kx，
将D（3，4）代入，得k＝，
∴OD的解析式为y＝x，
设点P的横坐标为t，则有P（t，﹣t2+3t+4），Q（t，t），E（t，0），
∴PQ＝﹣t2+3t+4﹣t＝﹣t2+t+4，
∴t＝﹣t2+t+4，
解得：t1＝2，t2＝﹣2（舍去），
∴t＝2，
∴﹣t2+3t+4＝﹣4+6+4＝6，
∴点P的坐标为（2，6）；
（3）存在，P（3，4）或P（﹣，），
将△AOC绕点O顺时针方向旋转90°，至△A'OB，如图2所示：
则A'O＝AO＝1，∠ACO＝∠A'BO，
∴A'（0，1），
由题意知直线BP过点A'，设直线BP的解析式为y＝mx+n，
将B（4，0），A'（0，1），代入，得：，
解得：，
∴直线BP的解析式为y＝﹣x+1，
联立，
解得：或，
∴P（﹣，），
此时使∠CBP+∠A'BO＝∠CBP+∠ACO＝45°，

如图2所示，过C作CF∥x轴，过B作BF∥y轴，CF与BF交于点F，则四边形OBFC为正方形，
作A'关于BC的对称点G，点G在CF上，作直线BG，则直线BG与抛物线的交点满足条件，
∴GF＝OA'＝1，CG＝CF﹣FG＝4﹣1＝3，BF＝OC＝4，
∴G（3，4），与点D重合，
∵点D（3，4）在抛物线上，
∴P（3，4）．
∴抛物线上存在点P，使∠CBP+∠ACO＝45°，点P的坐标为P（3，4）或P（﹣，）．