解析：广东省广州市天河区2020-2021学年高一下学期期末数学试题(原卷版).doc

2020~2021学年广东省广州市天河区高一(下)
期末数学试卷
一､选择题(共8小题，每题5分，共40分).
1. 已知复数，若是纯虚数，则的共轭复数（ ）
A. B. C. 1 D.
2. 把颜色分别为红､黄､白､紫的四个小球随机地分发给甲､乙､丙､丁四个人，每人分得一个.事件“甲分得红色球”与事件“乙分得红色球”是（ ）
A. 对立事件 B. 相互独立事件
C. 互斥但非对立事件 D. 以上都不对
3. 某校高一甲、乙两个班分别有男生名、名，现用比例分配的分层随机抽样方法从两班男生中抽取样本量为的样本，对两个班男生的平均身高进行评估．已知甲班、乙班男生身高的样本平均数分别为175cm、177.6cm，以所抽取样本的平均身高作为两个班男生的平均身高，则两个班男生的平均身高为（ ）
A. 176cm B. 176.3cm C. 176.6cm D. 176.9cm
4. 复平面内的平行四边形的项点和(是坐标原点)对应的复数分别为和，则点对应的复数为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在棱长为2的正方体中，､分别为棱､的中点，则与平面所成角的正切值是（ ）

A. B. C. D.
6. 为考查A､B两名运动员的训练情况，下面是A､B两名运动员连续10天完成训练指标任务的综合得分的折线图，给出下列四个结论，其中错误的结论是（ ）

A. 第3天至第10天两名运动员综合得分均超过80分
B. 第2天至第7天B运动员的得分逐日提高
C. 第2天至第3天A运动员得分增量大于B运动员的得分增量
D. A运动员第1天至第3天的得分方差大于第2天至第4天的得分的方差
7. 关于空间两条不同直线a，b和两个不同平面α，β，下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则 B. 若，，，则
C. 若，，则 D. 若，，，则
8. 如图，在中，，，，，， 则（ ）

A. B. C. D.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 某圆锥的底面半径为4，母线长为5，则下列关于此圆锥的说法正确的是（ ）
A. 圆锥的体积为
B. 圆锥的侧面展开图的圆心角为
C. 圆锥的侧面积为
D. 过圆锥两条母线的截面面积最大值为
10. 给定组数5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，则（ ）
A. 中位数为3 B. 标准差为
C. 众数为2和3 D. 第85百分位数为4.5
11. 在中，角、、所对的边分别为，，．则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，，则
B. 若，则
C. 若，则为钝角三角形
D. 若，，，的面积为3
12. 下列命题中正确的是（ ）
A. 设向量，，则是与垂直的单位向量
B. 若，且，则与共线
C. 若四边形满足，，则该四边形是菱形
D. 若是所在平面上一定点，动点满足，，则直线一定经过内心
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知复数满足，则___________.
14. 已知向量，，若，则向量､的夹角为___________.
15. 为了普及安全教育，某校组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.在竞赛中，甲､乙两班代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概率分别为，，，且两队各人回答问题正确与否互不影响，则乙队总得分为3分的概率是___________，甲队总得分为2分且乙队总得分为3分的概率是___________.
16. 已知三棱锥所有顶点都在球的球面上，且平面，，，，则球的表面积为___________.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 某数学学习小组有男生4名(记为，，，)，女生2名(记为，)，现从中随机选出2名学生去参加学校的数学竞赛(每人被选到的可能性相同).
（1）求参赛学生中恰有1名男生的概率；
（2）求参赛学生中至少有1名女生的概率.
18. 已知中，角､､的对边分别为，，，若.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的值.
19. 如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，．点，分别在棱，的中点．

（1）证明：平面．
（2）若，求点到平面的距离．
20. 某校为了对学生的阅读素养进行监测，随机抽取了名学生进行阅读素养评分.评分规则规定实行百分制计分，现将所得的成绩按照，，，，，分成6组，并根据所得数据作出了如下所示的频数与频率的统计表和频率分布直方图.由于一些特殊原因，统计表和直方图都已残缺，请对照图中现有信息按要求还原数据.
分组
频数
频率

5

25

0.30

合计

1

（1）求出表中，及图中，的值；
（2）估计该校学生阅读素养成绩中位数以及平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值).
21. 直四棱柱中，是等腰梯形，，，，为的中点.

（1）求证：面；
（2）求直线与直线所成角的余弦值.
22. 如图，某湖有一半径为百米的半圆形岸边，现决定在圆心处设立一个水文监测中心（大小忽略不计），在其正东方向相距百米的点处安装一套监测设备.为了监测数据更加准确，在半圆弧上的点以及湖中的点处，再分别安装一套监测设备，且满足，.定义：四边形及其内部区域为“直接监测覆盖区域”；的长为“最远直接监测距离”.设.

（1）若，求“直接监测覆盖区域”面积；
（2）试确定的值，使得“最远直接监测距离”最大.

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