专题08-一元一次方程及其应用(原卷版).docx

专题08 一元一次方程及其应用

一、方程与整式、等式的区别
（1）从概念来看：
整式：单项式和多项式统称整式。
等式：用等号来表示相等关系的式子叫做等式。如2+3=5，m＝n＝n＋m等都叫做等式，而像－3a+2b，3 m2n不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。
方程：含有未知数的等式叫做方程。如5x＋3＝11。理解方程的概念必须明确两点：①是等式；②含有未知数。两者缺一不可。
（2）从是否含有等号来看：方程首先是一个等式，它是用“＝”将两个代数式连接起来的等式，而整式仅用运算符号连接起来，不含有等号。
（3）从是否含有未知量来看：等式必含有“＝”，但不一定含有未知量；方程既含有“＝”，又必须含有未知数。但整式必不含有等号，不一定含有未知量，分为单项式和多项式。
二、一元一次方程的概念
1.一元一次方程：一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。
要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件：
（1）只含有一个未知数；
（2）未知数的次数是1次；
（3）整式方程．
注意：方程要化为最简形式，且一次项系数不能为零。
2.方程的解：判断一个数是否是某方程的解,将其代入方程两边，看两边是否相等．
三、一元一次方程的解法
1.方程的同解原理（等式的基本性质）
性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
性质2：等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。
注意：分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。
2.解一元一次方程的一般步骤：
（1）去分母。在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，依据等式基本性质2，注意防止漏乘（尤其整数项），注意添括号。
（2）去括号。一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号，依据去括号法则、分配律，注意变号，防止漏乘。
（3）移项。把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)，依据等式基本性质1，移项要变号，不移不变号。
（4）合并同类项。把方程化成ax＝b(a≠0)的形式，依据合并同类项法则，计算要仔细，不要出差错。
（5）系数化为1。在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x＝b/a ,依据等式基本性质2，计算要仔细，分子分母勿颠倒。
说明：理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:
①a≠0时，方程有唯一解x＝b/a ；
②a=0，b=0时，方程有无数个解；
③a=0，b≠0时，方程无解。
四、列一元一次方程解应用题
1.列一元一次方程解应用题的一般步骤：
（1）审—审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系。
（2）设—设出未知数：根据提问，巧设未知数．
（3）列—列出方程：设出未知数后，利用等量关系写出等式，即列方程。
（4）解—解方程：解所列的方程，求出未知数的值．
（5）答—检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，
检验后写出答案，注意带上单位。
2.常见的一些等量关系
（1）行程问题：距离=速度·时间
（2）工程问题：工作量=工效·工时
（3）比率问题：部分=全体·比率
（4）顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度
（5）商品价格问题：售价=定价·折·，利润=售价-成本，
（6）周长、面积、体积问题：
C圆=2πR，C长方形=2(a+b)，C正方形=4a，
S圆=πR2，S长方形=ab， S正方形=a2，S环形=π(R2-r2),
V长方体=abc，V正方体=a3，V圆柱=πR2h ，V圆锥=πR2h.

【例题1】（2020•重庆）解一元一次方程12（x+1）＝1-13x时，去分母正确的是（　　）
A．3（x+1）＝1﹣2x B．2（x+1）＝1﹣3x
C．2（x+1）＝6﹣3x D．3（x+1）＝6﹣2x
【对点练习】解方程：
（1）4﹣x=3（2﹣x）；
（2）．
【例题2】（2020•杭州）以下是圆圆解方程x+12-x-33=1的解答过程．解：去分母，得3（x+1）﹣2（x﹣3）＝1．
去括号，得3x+1﹣2x+3＝1．
移项，合并同类项，得x＝﹣3．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．
【对点练习】（2019湖南湘西）若关于x的方程3x﹣kx+2＝0的解为2，则k的值为　　．
【例题3】（2020•内江）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则符合题意的方程
是（　　）
A．12x＝（x﹣5）﹣5 B．12x＝（x+5）+5
C．2x＝（x﹣5）﹣5 D．2x＝（x+5）+5
【对点练习】（2019•襄阳）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，所列方程正确的是（　　）
A．5x﹣45＝7x﹣3 B．5x+45＝7x+3 C．＝ D．＝
【例题4】（2019▪湖北黄石）“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”（出自《九章算术》）意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题：
（1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？即：走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？
（2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走200步，请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？
【对点练习】（2019•湖南岳阳）岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放40年地方改革创新40案例．据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩．
（1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？
（2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的，求休闲小广场总面积最多为多少亩？

一、选择题
1．（2020•金华）如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为x．则列出方程正确的是（　　）

A．3×2x+5＝2x B．3×20x+5＝10x×2
C．3×20+x+5＝20x D．3×（20+x）+5＝10x+2
2.（2019▪贵州毕节）如果3ab2m﹣1与9abm+1是同类项，那么m等于（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．0
3.（2019•杭州）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x人，则（　　）
A．2x+3（72﹣x）＝30 B．3x+2（72﹣x）＝30
C．2x+3（30﹣x）＝72 D．3x+2（30﹣x）＝72
4．（2020湖南长沙模拟）某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（　　）
A．2×1000（26﹣x）=800x B．1000（13﹣x）=800x
C．1000（26﹣x）=2×800x D．1000（26﹣x）=800x
二、填空题
5．（2020•衢州）一元一次方程2x+1＝3的解是x＝　　．
6．（2020•株洲）关于x的方程3x﹣8＝x的解为x＝　　．
7．（2020•武威）暑假期间，亮视眼镜店开展学生配镜优惠活动．某款式眼镜的广告如下，请你为广告牌填上原价．
原价：　　元
暑假八折优惠，现价：160元
8.（2019•张家界）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多　　步．
9.方程﹣（1﹣2x）=（3x+1）的解为___________.
10.（2019贵州黔西南州）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是　　元．
11.（2019▪贵州毕节）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是　　元．
12.（2019•湖南湘西州）若关于x的方程3x﹣kx+2＝0的解为2，则k的值为　　．
三、解答题
13.解方程：

14．解方程
（1）4（x﹣1）﹣3（20﹣x）=5（x﹣2）；
（2）x﹣=2﹣．
15．（2020•攀枝花）课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组6人，后来重新编组，每组8人，这样就比原来减少2组，问这些学生共有多少人？
16．（2020•凉山州）解方程：x-x-22=1+2x-13．
17.（2019•甘肃）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？
18.(2019安徽)为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？