2020北京初二(上)期中数学汇编：勾股定理.docx

2020北京初二（上）期中数学汇编
勾股定理2
一、单选题
1．（2020·北京·临川学校八年级期中）在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，则AB的长是(　　)
A．1 B．3 C．2 D．5
2．（2020·北京·首都师范大学附属中学八年级期中）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．（2020·北京铁路二中八年级期中）如图，在△ABC中, AB=5，BC=6，BC边上的中线AD=4，那么AC的长是（     ）

A．5 B．6 C．34 D．213
4．（2020·北京市第四十四中学八年级期中）如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是（　　）

A．217 B．25 C．42 D．7
5．（2020·北京市第十三中学分校八年级期中）直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为（        ）
A．96 B．49 C．24 D．48
二、填空题
6．（2020·北京市第四十四中学八年级期中）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝_____°（点A，B，P是网格线交点）.

7．（2020·北京市第十三中学分校八年级期中）已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为________．
8．（2020·北京·北师大二附中海淀学校八年级期中）根据下列已知条件，能确定△ABC的大小和形状的是_________
①AB＝3，BC＝4，AC＝5                  ②AB＝4，BC＝3，∠A＝30º
③∠A＝60º，∠B＝45º，AB＝4        ④∠C＝90º，AB＝6，AC=5
三、解答题
9．（2020·北京·北师大二附中海淀学校八年级期中）如图，在等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，D是线段AC上一点（CA>2CD），连接BD，过点C作BD的垂线，交BD的延长线于点E，交BA的延长线于点F.
（1）依题意补全图形；
（2）若∠ACE=α，求∠ABD的大小（用含α的式子表示）；
（3）若点G在线段CF上，CG=BD，连接DG.
①判断DG与BC的位置关系并证明；
②用等式表示DG,CG,AB之间的数量关系.

10．（2020·北京·临川学校八年级期中）课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两墙之间，如图．
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）从三角板的刻度可知AC=25cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相等）．

参考答案
1．B
【分析】
根据勾股定理即可得到结论．
【详解】

在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，
∴AB＝AC2-BC2= 22-12=3，
故选B．
【点睛】
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
2．A
【分析】
直接根据勾股定理求解即可．
【详解】
解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，
∴弦为32+42=5，
故选A．
【点睛】
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
3．A
【分析】
根据中线的性质及勾股定理逆定理可得△ABD是直角三角形，再由等腰三角形三线合一性质得出△ABC为等腰三角形，即可得出结果
【详解】
解：∵BC=6，AD是BC边上的中线，
∴BD=3，
∵32+42=52，
即BD2+AD2=AB2，
∴△ABD是直角三角形，
∴AD⊥BC，
∴△ABC为等腰三角形，
即AC=AB=5，
故选：A．
【点睛】
题目主要考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理逆定理，三角形的中线等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
4．A
【详解】
解：作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，

∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBE=90°
又∠DAB+∠ABD=90°
∴∠BAD=∠CBE，
{∠BAD=∠CBEAB=BC∠ADB=∠BEC，
∴△ABD≌△BCE
∴BE=AD=3
在Rt△BCE中，根据勾股定理，得BC=25+9=34，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC=34×2=217.
故选A．
5．C
【详解】
解：直角三角形的周长为24，斜边长为10，则两直角边的和为24-10=14，
设一直角边为x，则另一边14-x，根据勾股定理可知：x2+（14-x）2=100，
解得x=6或8，
所以面积为6×8÷2=24．
故选C．
6．45
【分析】
延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，求得PD2+DB2=PB2，于是得到∠PDB=90°，根据三角形外角的性质即可得到结论．
【详解】
解：延长AP交格点于D，连接BD，

则PD2=BD2=1+22=5，PB2=12+32=10，
∴PD2+DB2=PB2，
∴∠PDB=90°，
即△PBD为等腰直角三角形，
∴∠DPB=∠PAB+∠PBA=45°，
故答案为：45．
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
7．5或7
【分析】
已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论．
【详解】
解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时，
第三边的长为：42-32=7；
②长为3、4的边都是直角边时，
第三边的长为：42+32=5；
∴第三边的长为：7或5，
故答案为：7或5．
8．①③④
【详解】
①AB＝3，BC＝4，AC＝5 ，是勾股数，所以是直角三角形.
            ②AB＝4，BC＝3，∠A＝30º,不能,如图有多解情况.

③∠A＝60º，∠B＝45º，AB＝4, 如图利用特殊三角形，AB=4,所以BD=2，AD=23，所以DC=23,所以AC=26，所以可以确定三角形.

④∠C＝90º，AB＝6，AC=5,利用HL可确定三角形.
故答案为①③④.
9．（1）补全图形，如图见解析；（2）∠ABD=45°+α；（3）①DG与BC的位置关系: DG⊥BC.见解析；②2CG2=DG2+AB2.
【分析】
（1）根据题意画出图形解答即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质进行解答即可；
（3）①根据全等三角形的判定和性质以及垂直的判定解答即可；②如图：构造等腰Rt△BPD得PD2=2BD2．利用三角形全等证明△PGD为直角三角形，PG=AB即可得到结论.
【详解】
解：（1）补全图形，如图所示：

（2）∵AB=BC，∠ABC=90∘，
∴∠BAC=∠BCA=45∘，
∵∠ACE=α，
∴∠ECB=45∘+α，
∵CF⊥BD交BD的延长线于点E，
∴∠BEF=90∘，
∴∠F+∠ABD=90∘，
∵∠F+∠ECB=90∘，
∴∠ABD=∠ECB=45∘+α；
（3）①DG与BC的位置关系：DG⊥BC，证明如下：
连接BG交AC于点M，延长GD交BC于点H，如图2，

∵AB=BC，∠ABD=∠ECB，BD=CG，
∴△ABD≌△BCGSAS，
∴∠CBG=∠BAD=45∘，
∴∠ABG=∠CBG=∠BAC=45∘，
∴AM=BM，∠AMB=90∘，
∵AD=BG，
∴DM=GM，
∴∠MGD=∠GDM=45∘，
∴∠BHG=90∘，
∴DG⊥BC；
②如图：作等腰Rt△BPD，连接PG、PD，

由①得BG⊥AC，∠PBD=90°，
∴∠ADB+∠DBM=90°，∠DBM+∠GBP=90°，
∴∠ADB=∠GBP，
在△ADB和△GBP中，
BG=DA∠ADB=∠GBPBD=BP,
∴△ADB≌△GBP（SAS），
∴AB=PG，∠PGB=∠DAB=45°，
由①得∠MGD=∠GDM=45∘，
∴∠PGB+∠MGD=90°，即△PGD为直角三角形，
∴PD2+DG2=PD2
∵PD2=2BD2,BD=CG
∴DG2+AB2=2CG2
【点睛】
此题是三角形综合题，主要根据等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形解答．
10．（1）证明见解析；（2）5cm．
【解析】
【分析】
（1）根据题意可知AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC=∠CEB=90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE=∠DAC，从而得到结论；
（2）根据题意得：AD=4a，BE=3a，根据全等可得DC=BE=3a，由勾股定理可得（4a）2+（3a）2=252，再解即可．
【详解】
（1）根据题意得：AC=BC，∠ACB=90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠ACD+∠DAC=90°，
∴∠BCE=∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
∠ADC=∠CEB∠DAC=∠BCEAC=BC，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）由题意得：AD=4a，BE=3a，
由（1）得：△ADC≌△CEB，
∴DC=BE=3a，
在Rt△ACD中：AD2+CD2=AC2，
∴（4a）2+（3a）2=252，
∵a＞0，
解得a=5，
答：砌墙砖块的厚度a为5cm．
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定，余角的性质和勾股定理，其中熟练掌握三角形全等的判定方法和勾股定理是解题关键.
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