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微专题68 带电粒子在直线边界磁场中的运动
1．一般步骤：画轨迹，定圆心，求半径或圆心角.2.在直线边界，粒子进出磁场具有对称性，同一直线边界，出射角等于入射角.3.平行边界存在临界条件：与边界相切是过不过边界的临界条件．
1.(多选)如图，虚线上方空间分布着垂直纸面向里的匀强磁场，在纸面内沿不同的方向从粒子源O先后发射速率均为v的质子和α粒子，质子和α粒子同时到达P点．已知OP＝l，α粒子沿与PO成30°角的方向入射，不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，则下列说法正确的是( )
A．质子在磁场中运动的半径为
B．α粒子在磁场中运动的半径为l
C．质子在磁场中运动的时间为
D．质子和α粒子发射的时间间隔为
答案 ACD
解析 根据题意作出α粒子运动轨迹如图所示；
由几何知识可知，粒子在磁场中做圆周运动的轨道半径 r＝l，因为粒子做圆周运动的半径为r＝，质子与α粒子的荷质比为2∶1，所以其运动的半径之比为1∶2，质子运动的半径为.故A正确，B错误；粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝＝，由几何知识可知，α粒子在磁场中转过的圆心角θ1＝300°，α粒子在磁场中的运动时间t1＝T＝，质子从O射入P点射出，又质子运动的半径为，可知O点射入的速度方向必与OP边界垂直，θ2＝180°，故t2＝.所以质子和α粒子发射的时间间隔为t1－t2＝，故C、D正确．
2.如图所示，在x轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，在xOy平面内，从原点O处沿与x轴正方向成θ角(0＜θ＜π)以速率v发射一个带正电的粒子(重力不计)．则下列说法正确的是( )
A．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
B．若θ一定，v越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大
C．若v一定，θ越大，则粒子在磁场中运动的时间越短
D．若v一定，θ越大，则粒子在离开磁场的位置距O点越远
答案 C
解析 粒子运动周期T＝，当θ一定时，粒子在磁场中运动时间：t＝T＝T，ω＝，由于t、ω均与v无关，故A、B错误，C正确；当v一定时，由r＝知，r一定；当θ从0变至的过程中，θ越大，粒子离开磁场的位置距O点越远；当θ大于时，θ越大，粒子离开磁场的位置距O点越近，故D错误．
3.如图所示，竖直线MN∥PQ，MN与PQ间距离为a，其间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，O是MN上一点，O处有一粒子源，某时刻放出大量速率均为v(方向均垂直磁场方向)、比荷一定的带负电粒子(粒子重力及粒子间的相互作用力不计)，已知沿图中与MN成θ＝60°角射出的粒子恰好垂直PQ射出磁场，则粒子在磁场中运动的最长时间为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 当θ＝60°时，粒子的运动轨迹如图甲所示，根据几何关系有a＝Rsin 30°，解得R＝2a，设带电粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角为α，则其在磁场中运动的时间为t＝T，即α越大，粒子在磁场中运动的时间越长，α最大时粒子的运行轨迹恰好与磁场的右边界相切，如图乙所示，因R＝2a，此时圆心角αm为120°，即最长运动时间为，因T＝＝，所以粒子在磁场中运动的最长时间为.故选C.
4．(多选)如图所示，边长为L的正三角形abc区域内存在方向垂直纸面向外的匀强磁场(图中未画出)，正三角形中心O有一粒子源，可以沿abc平面任意方向发射相同的带电粒子，粒子质量为m，电荷量为q.粒子速度大小为v时，恰好没有粒子穿出磁场区域，不计粒子的重力及粒子间的相互作用力．下列说法正确的是( )
A．磁感应强度大小为
B．磁感应强度大小为
C．若发射粒子速度大小为2v时，在磁场中运动的最短时间为
D．若发射粒子速度大小为2v时，在磁场中运动的最短时间为
答案 BC
解析 磁场垂直纸面向外，粒子恰好没有穿出磁场区域，因此粒子的直径等于O点垂直于ab的线段大小，设垂足为d，由几何关系得Od＝L，所以半径为r＝L，由于洛伦兹力提供向心力，即有qvB＝m得B＝＝，A错误，B正确；当发射粒子速度为2v时，由洛伦兹力提供向心力，有q·2vB＝m得r′＝＝，求最短时间，也就是在磁场中转过最小的角度，当粒子从垂足d出去时，时间最短，由几何关系可得，转过的角度为θ＝60°，则时间t＝，又因为T＝＝＝，即有t＝＝，D错误，C正确．
5．(多选)如图所示，在直角三角形abc区域内存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B.大量质量为m、电荷量为＋q的同种粒子以相同的速度沿纸面垂直于ab边射入场区，结果在bc边仅有一半的区域内有粒子射出．已知bc边的长度为L，bc和ac的夹角为60°，不计粒子重力及粒子间的相互作用力．下列说法正确的是( )
A．粒子的入射速度为
B．粒子的入射速度为
C．粒子在磁场中运动的最大轨迹长度为
D．从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为
答案 AC
解析 粒子进入磁场后做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，r＝，因bc边只有一半区域有粒子射出，在bc边中点射出的粒子轨迹如图中实线所示，由几何关系可得r＝，则粒子的入射速度v＝，所以A项正确，B项错误；粒子在磁场中运动的最长轨迹为s＝πr＝，所以C项正确；与bc边相切，恰从bc边射出的粒子对应的圆心角最大为，从bc边射出的粒子在磁场内运动的最长时间为t＝，所以D项错误．
6．(多选)如图所示，ab为有界磁场的边界，ab上的O点为粒子源，粒子以速率v0均匀对称地射入磁场，粒子速度方向分布在与ab夹角为30°至150°之间所有方向．已知磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，粒子电荷量为－q(q>0)，质量为m，不计粒子重力及粒子间的相互作用力．下列说法正确的是( )
A．粒子离开ab时，射出点距O点的最大距离x＝
B．粒子在磁场中运动，距ab的最远距离y＝(1＋)
C．粒子在磁场中运动，时间最短的粒子用时t1＝
D．粒子在磁场中运动，时间最长的粒子用时t2＝
答案 BC
解析 粒子在磁场中运动的轨迹半径r＝，周期T＝，粒子离开ab时，射出点距O点的最大距离为直径，即x＝，A错误；粒子在磁场中运动时，距ab的最远距离y＝r＋r＝(1＋)，B正确；当粒子沿着最右的方向射入时，偏转角最小为60°，时间最短为周期，即t1＝，C正确；粒子沿着最左的方向射入时，偏转角最大为300°，最长时间为周期，即t2＝，选项D错误．
7．(多选)如图所示，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内，O点是cd边的中点．一个带正电的粒子仅在磁场力的作用下，从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0后刚好从c点射出磁场．现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向，以不同的速率射入正方形内，下列说法中正确的是( )
A．所有从cd边射出磁场的该带电粒子在磁场中经历的时间都是t0
B．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从ad边射出磁场
C．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0，则它一定从bc边射出磁场
D．若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0<t<t0，则它一定从ab边射出磁场
答案 ACD
解析 如图所示，作出带电粒子以与Od成30°角的方向的速度射入正方形内时，刚好从ab边射出的轨迹①、刚好从bc边射出的轨迹②、从cd边射出的轨迹③和刚好从ad边射出的轨迹④.由从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内，经过时间t0刚好从c点射出磁场可知，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t0.由图中几何关系可知，从ad射出磁场经历的时间一定小于t0；从ab边射出磁场经历的时间一定大于t0，小于t0；从bc边射出磁场经历的时间一定大于t0，小于t0；从cd边射出磁场经历的时间一定是t0.故选A、C、D.
8.如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界．现有质量为m、电荷量为q的带电粒子沿与MM′成45°角的方向垂直射入磁场．要使粒子不能从边界NN′射出，则粒子入射速率v的最大值可能是多少(不计粒子重力)．
答案 (2＋)(q为正电荷)或(2－)(q为负电荷)
解析 若q为正电荷，轨迹是如图所示的上方与NN′相切的圆弧，设轨道半径为R，根据几何知识有d＝R－
解得R＝(2＋)d
粒子在磁场中运动时由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB＝
解得v＝(2＋)
若q为负电荷，轨迹为如图所示的下方与NN′相切的圆弧，设轨道半径为R′，根据几何知识有d＝R′＋R′
解得R′＝(2－)d
由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得qvB＝，解得v′＝(2－)
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