《备战2023年高考数学一轮复习》课时作业-第八章--第3节-椭-圆.docx

第3节　椭　圆

知识点、方法
基础巩固练
综合运用练
应用创新练
椭圆的定义及其应用
3,4,5

椭圆的标准方程
2,7,9

椭圆的几何性质
1,8
10,12,13

直线和椭圆的位置关系
6
11

综合问题

14,15
16

1.(2018·全国Ⅰ卷)已知椭圆C:x2a2+y24=1的一个焦点为(2,0),则C的离心率为(　C　)
A.13 B.12
C.22 D.223
解析:因为a2=4+22=8,所以a=22,
所以e=ca=222=22.故选C.
2.“2<m<6”是“方程x2m-2+y26-m=1表示椭圆”的(　B　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:若方程x2m-2+y26-m=1表示椭圆,
则有m-2>0,6-m>0,m-2≠6-m,所以2<m<6,且m≠4.
故“2<m<6”是“x2m-2+y26-m=1表示椭圆”的必要不充分条件.故选B.
3.已知椭圆x216+y29=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若P,F1,F2是一个直角三角形的三个顶点,P为直角顶点,则点P到x轴的距离为(　C　)
A.95 B.3 C.977 D.94
解析:由题意知|PF1|+|PF2|=8,|PF1|2+|PF2|2=4×7,
从而|PF1||PF2|=18.
因为S△PF1F2=12×18=12×27h(其中h为点P到x轴的距离),所以h=977.故选C.
4.(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1,F2是椭圆C:x29+y24=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为(　C　)
A.13 B.12 C.9 D.6
解析:由题a2=9,b2=4,则|MF1|+|MF2|=6,
所以|MF1|·|MF2|≤(|MF1|+|MF2|2)2=9(当且仅当|MF1|=|MF2|=3时, 取“=”).
故选C.
5.(2019·全国Ⅰ卷)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若│AF2│=2│F2B│,│AB│=│BF1│,则C的方程为(　B　)
A.x22+y2=1 B.x23+y22=1
C.x24+y23=1 D.x25+y24=1
解析:不妨设|F2B|=m,
故|F1B|=|AB|=|AF2|+|F2B|=3|F2B|=3m.
由椭圆定义得|F1B|+|F2B|=2a=4m,
故|F2B|=12a,|BF1|=32a,
|AF2|=a,|AF1|=2a-|AF2|=a.
在△AF1F2和△BF1F2中,分别可得
cos∠AF2F1=a2+4c2-a22×a×2c=1a,cos∠BF2F1=14a2+4c2-94a22×12a×2c=2-a2a.
由二角互补可得2-a2a=-1a,解得a2=3,故b2=2,方程为x23+y22=1.故选B.
6.直线3x+4y-7=0与椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)相交于两点A,B,线段AB的中点为M(1,1),则椭圆的离心率是(　A　)
A.12 B.22 C.32 D.34
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,作差得x12-x22a2+y12-y22b2 =0,即
(x1-x2)·(x1+x2)a2+(y1-y2)·(y1+y2)b2=0,两边同时除以x1-x2即得x1+x2a2+y1+y2b2·y1-y2x1-x2=0,因为x1+x2=2,y1+y2=2,y1-y2x1-x2=-34,代入得2a2+2×(-34)b2=0,所以b2a2=34,e=12.故选A.
7.设F1,F2为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,经过F1的直线交椭圆C于A,B两点,若△F2AB是面积为43的等边三角形,则椭圆C的方程为　　　　　　　　. 
解析:由题意知,|AF2|=|BF2|=|AB|=|AF1|+|BF1|,①又由椭圆的定义知|AF2|+|AF1|=|BF2|+|BF1|=2a,②
联立①②,解得|AF2|=|BF2|=|AB|=43a,|AF1|=|BF1|=23a,
所以S△F2AB=12|AB|·|AF2|sin 60°=43,
所以a=3,|F1F2|=32|AB|=23,
所以c=3,所以b2=a2-c2=6,
所以椭圆C的方程为x29+y26=1.
答案:x29+y26=1
8.椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=3(x+c)与椭圆的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率为　　　　.  
解析:由y=3(x+c)知直线的倾斜角为60°,
所以∠MF1F2=60°,∠MF2F1=30°,
所以∠F1MF2=90°.
所以|MF1|=c,|MF2|=3c.
又|MF1|+|MF2|=2a,
所以c+3c=2a,即e=23+1=3-1.
答案:3-1
9.分别求出满足下列条件的椭圆的标准方程.
(1)与椭圆x24+y23=1有相同的离心率且经过点(2,-3);
(2)已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上,且P到两焦点的距离分别为5,3,过点P且与长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点.
解:(1)由题意,设所求椭圆的方程为x24+y23=t1或y24+x23=t2(t1,t2>0),
因为椭圆过点(2,-3),
所以t1=224+(-3)32=2或t2=(-3)42+223=2512.
故所求椭圆的标准方程为x28+y26=1或y2253+x2254=1.
(2)由于焦点的位置不确定,所以设所求的椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)或y2a2+x2b2=1(a>b>0),
由已知条件得2a=5+3,4c2=52-32,
解得a=4,c=2,所以b2=12.
故椭圆方程为x216+y212=1或y216+x212=1.

10.已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与圆C2:x2+y2=b2,若在椭圆C1上存在点P,使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直,则椭圆C1的离心率的取值范围是(　C　)
A.[12,1) B.[22,32]
C.[22,1) D.[32,1)
解析:从椭圆上长轴端点P′向圆引两条切线P′A,P′B,则两切线形成的∠AP′B最小.
若椭圆C1上存在点P,所作圆C2的两条切线互相垂直,则只需 ∠AP′B≤90°,
即α=∠AP′O≤45°,
所以sin α=ba≤sin 45°=22.
又b2=a2-c2,
所以a2≤2c2,所以e2≥12,即e≥22.
又0<e<1,
所以22≤e<1,即e∈[22,1).故选C.
11.已知O为坐标原点,F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为(　A　)
A.13 B.12 C.23 D.34
解析: 由题意知过点A的直线l的斜率存在且不为0,故可设直线l的方程为y=k(x+a),当x=-c时,y=k(a-c),当x=0时,y=ka,所以M(-c,k(a-c)),E(0,ka).如图,设OE的中点为N,则N(0,ka2),由于B,M,N三点共线,所以kBN=kBM,

即ka2-a=k(a-c)-c-a,所以12=a-ca+c,即a=3c,所以e=13.故选A.
12.(多选题)(2021·广东韶关高三一模)设P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一点,F1,F2是椭圆的左、右焦点,焦距为2c(c>0),若∠F1PF2是直角,则(　ABC　)
A.|OP|=c(O为原点)
B.S△F1PF2=b2
C.△F1PF2的内切圆半径r=a-c
D.|PF1|max=a+c
解析:Rt△F1PF2中,O为斜边F1F2的中点,所以|OP|=12|F1F2|=c,故A正确;
设|PF1|=m,|PF2|=n,则有m2+n2=(2c)2,
m+n=2a,
所以mn=12[(m+n)2-(m2+n2)]=2b2,
所以S△F1PF2=12mn=b2,故B正确;
S△F1PF2=12(m+n+2c)·r=b2,r=2S△F1PF2m+n+2c=2b22a+2c=2(a2-c2)2(a+c)=a-c,故C正确;
|PF1|=a+c,当且仅当P为椭圆右顶点,此时P,F1,F2不构成三角形,故D错误.
故选ABC.
13.(多选题)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,点M(2,1)在椭圆C上,直线l平行于OM且在y轴上的截距为m,直线l与椭圆C交于A,B两个不同的点.下面结论正确的有(　ABC　)
A.椭圆C的方程为x28+y22=1
B.kOM=12
C.-2<m<2
D.m≤-2或m≥2
解析:由题意,得a2-b2a=32,4a2+1b2=1,解得a2=8,b2=2.
故椭圆C的方程为x28+y22=1,A正确;由于kOM=1-02-0=12,B正确;因为直线l的斜率k=kOM=12,又l在y轴上截距为m,所以l的方程为y=12x+m.
由y=12x+m,x28+y22=1,得x2+2mx+2m2-4=0.
因为直线l与椭圆C交于A,B两个不同的点,所以Δ= (2m)2-4(2m2-4)>0,解得-2<m<2.所以C正确,D错误.故选ABC.
14.(2021·全国甲卷)已知F1,F2为椭圆C:x216+y24=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为　　　　. 
解析:因为P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,
所以四边形PF1QF2为矩形,
设|PF1|=m,|PF2|=n,
则m+n=8,m2+n2=48,
所以64=(m+n)2=m2+2mn+n2=48+2mn,
所以mn=8.
答案:8
15.椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点、上顶点分别为A,B,且|AB|=52|BF|.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若斜率为2的直线l过点(0,2),且l交椭圆C于P,Q两点,OP⊥OQ,求直线l的方程及椭圆C的方程.
解:(1)由已知|AB|=52|BF|,即a2+b2=52a,4a2+4b2=5a2, 4a2+4(a2-c2)=5a2,所以3a2=4c2.
所以e=ca=32.
(2)由(1)知a2=4b2,所以椭圆C:x24b2+y2b2=1.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
直线l的方程为y-2=2(x-0),即2x-y+2=0.
由2x-y+2=0,x24b2+y2b2=1,消去y,
得x2+4(2x+2)2-4b2=0,
即17x2+32x+16-4b2=0.
Δ=322+16×17(b2-4)>0,解得b>21717.
x1+x2=-3217,x1x2=16-4b217.
因为OP⊥OQ,所以OP→·OQ→=0,
即x1x2+y1y2=0,x1x2+(2x1+2)(2x2+2)=0,
5x1x2+4(x1+x2)+4=0.
从而5(16-4b2)17-12817+4=0,
解得b=1,满足b>21717.
所以椭圆C的方程为x24+y2=1.
综上可知,直线l的方程为2x-y+2=0,
椭圆C的方程为x24+y2=1.

16.已知椭圆C的方程为x2a2+y23=1,斜率为k(k≠0)的直线与C相交于M,N两点.

(1)若G为MN的中点,且kOG=-34k,求椭圆C的方程;
(2)在(1)的条件下,若Р是椭圆C的左顶点,kPM·kPN=-14,F是椭圆的左焦点,要使F在以MN为直径的圆内,求k的取值范围.
解:(1)设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点G(x0,y0),代入椭圆方程得
x12a2+y123=1,①x22a2+y223=1,②
①-②得
(x1+x2)·(x1-x2)a2+(y1+y2)·(y1-y2)3=0,
可得kMN=y1-y2x1-x2=-3a2·x1+x2y1+y2=-3a2·2x02y0=-3a2·x0y0=k,
因为kOG=-34k=y0x0,所以-3a2·(-4k3)=k,
所以a2=4,
椭圆C的方程为x24+y23=1.
(2)设MN方程为y=kx+m,
则3x2+4y2=12,y=kx+m,
(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,
x1+x2=-8km3+4k2,x1x2=4m2-123+4k2,
y1+y2=k(x1+x2)+2m=k·(-8km3+4k2)+2m=6m3+4k2,
y1·y2=(kx1+m)·(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=k2·4m2-123+4k2+km(-8km3+4k2)+m2
=3m2-12k23+4k2,
kPM·kPN=y1x1+2·y2x2+2=y1·y2(x1+2)·(x2+2)=y1·y2x1·x2+2(x1+x2)+4
=3m2-12k24m2-16km+16k2=-14,
解得m=2k(舍去)或m=-k,
若F在以MN为直径的圆内,则FM→·FN→<0,
即FM→·FN→=(x1+1,y1)·(x2+1,y2)=x1x2+x1+x2+1+y1y2<0,
4m2-123+4k2-8km3+4k2+3m2-12k23+4k2+1<0,
即4k2-12+8k2+3k2-12k2+3+4k2<0,
即7k2-9<0,且k≠0,解得-377<k<377,且k≠0.
所以k的取值范围为(-377,0)∪(0,377).