2023届高考数学特训营-第7节-解三角形应用举例.doc

第7节　解三角形应用举例

A级(基础应用练)
1.(2022•成都诊断)如图所示的是改革开放四十周年大型展览的展馆——国家博物馆．现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P离地面的高度OP(点O在柱楼底部)．在地面上的A，B两点测得点P的仰角分别为30°，45°，且∠ABO＝60°，AB＝50米，则OP为(　　)

A．15米 B．25米
C．35米 D．45米
答案：B
解析：如图所示，

由于∠OAP＝30°，∠PBO＝45°，∠ABO＝60°，AB＝50米，OP⊥AO，OP⊥OB.
设OP＝x，则OA＝x，OB＝x.
在△OAB中，由余弦定理得OA2＝OB2＋AB2－2OB•AB•cos∠ABO，
即(x)2＝502＋x2－2×50x×，
所以x2＋25x－1250＝0，解得x＝25或x＝－50(舍)．
2．(2022•安徽省模拟)在△ABC中，AD为△ABC中∠BAC的平分线．若AB＝3，AC＝2，AD＝，则边BC的长为(　　)
A．2 B．
C. D．2
答案：C
解析：由S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，可得×2×3sin A＝×2×sin ＋×3×sin ，
所以6sin A＝5 sin ，所以cos ＝，
所以cos A＝2cos2－1＝2×－1＝－，
所以BC＝＝.
3．(2022•深圳模拟)圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆(称为“表”)和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭”)．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为26.5°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即BD的长)为a，则表高(即AC的长)为(　　)

A. B．
C. D．
答案：D
解析：由题意得∠BAD＝73.5°－26.5°＝47°.在△ABD中，由正弦定理可得＝，即＝，则AD＝.
在△ACD中，＝sin∠ADC＝sin 73.5°，所以AC＝.故选D.
4．(2021•全国乙卷)魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”，则海岛的高AB＝(　　)

A.＋表高 B．－表高
C.＋表距 D．－表距
答案：A
解析：如图所示：

由平面相似可知＝，＝，而DE＝FG，
所以＝＝＝＝，
而CH＝CE－EH＝CG－EH＋EG，
即AB＝×DE＝＋DE＝＋表高．
5．(2022•东北三省四市教研联合体模拟)圣•索菲亚教堂(英语：SAINT SOPHIA CATHEDRAL)坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为(15 －15)m，在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为(　　)

A．20 m B．30 m
C．20 m D．30 m
答案：D
解析：由题意知∠CAM＝45°，∠AMC＝105°，
所以∠ACM＝30°.
在Rt△ABM中，AM＝＝，
在△ACM中，由正弦定理得＝，
所以CM＝＝，
在Rt△DCM中，CD＝CM•sin 60°＝＝＝30 .
6．(2022•黑龙江省哈尔滨市模拟)常用的A4打印纸的长宽比例是∶1，从A4纸中剪去一个最大的正方形后，剩下的矩形长与宽之比称为“白银比例”．白银比例具有很好的美感，在设计和建筑领域有着广泛的应用．已知某高塔自下而上依次建有第一观景台和第二观景台，塔顶到塔底的高度与第二观景台到塔底的高度之比，第二观景台到塔底的高度与第一观景台到塔底的高度之比，都等于白银比例．若两观景台之间的高度差为60米，则下列选项中与该塔的实际高度最接近的是(　　)
A．285米 B．268米
C．255米 D．248米
答案：D
解析：由题意可知，白银比例为1∶(－1)＝＋1.
设塔底为点A，第一观景台为点B，第二观景台为点C，塔顶为点D，
则＝＋1，＝＋1.
∵BC＝AC－AB＝(＋1)AB－AB＝AB＝60，
∴AB＝30 米，
∴AD＝(＋1)AC＝(＋1)2AB＝30 ×(3＋2 )＝120＋90 ≈247.26(米)，
∴选项中与塔的实际高度最接近的是248米．
故选D.
7.(2022•宁夏石嘴山市模拟)如图，为测量两座山顶之间的距离MC，已知山高BC＝5 km，MN＝7.5 km，从观测点A分别测得M点的仰角∠MAN＝30°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝60°，则两座山顶之间的距离MC＝________km.

答案：5
解析：在Rt△AMN中，MN＝7.5，∠MAN＝30°，
∴AM＝2MN＝15.
在Rt△ABC中，BC＝5 ，∠CAB＝45°，
∴AC＝BC＝10.
在△AMC中，MC 2＝AM 2＋AC 2－2AM•ACcos ∠MAC＝152＋102－2×15×10×＝175，∴MC＝5 km.
8.(2022•河南省新安县模拟)如图，在△ABC中，AB＝6，cos B＝，点D在边BC上，AD＝4，∠ADB为锐角．若CD＝7，则S△ACD＝________．

答案：
解析：在△ABD中，cos B＝，即＝，所以BD2－9BD＋20＝0，解得BD＝4或BD＝5.
当BD＝4时，cos ∠ADB＝＝＝－<0，即∠ADB为钝角，不符合题意，舍去；
当BD＝5时，cos ∠ADB＝＝＝，即∠ADB为锐角，符合题意．
所以sin ∠ADB＝＝，
则sin ∠ADC＝sin(π－∠ADB)＝sin∠ADB＝，
所以S△ACD＝•AD•DC•sin∠ADC＝×4×7×＝.
故答案为.
9．(2022•浙江省宁波模拟)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3acos C＝4csin A．已知△ABC的面积等于10，b＝4，则tan C＝________，a的值为________．
答案：　
解析：因为3acos C＝4csin A，
由正弦定理得3sin Acos C＝4sin Csin A.
在△ABC中，sin A≠0，
所以3cos C＝4sin C，即tan C＝.
又sin2C＋cos2C＝1，所以sin C＝.
又△ABC的面积等于10，b＝4，
所以S△ABC＝absin C＝a×4×＝＝10，
所以a＝.
10．(2022•四川省华蓥模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝35 m，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点的距离为________m.

答案：35
解析：因为∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，
所以∠ADC＝150°，∠DAC＝∠DCA＝15°，
所以AD＝CD＝35.又因为∠ACB＝120°，
所以∠BCD＝135°，∠CBD＝30°.
由正弦定理得＝，
即＝，解得BD＝35 .
在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD•BDcos ∠ADB，
所以AB2＝352＋(35 )2－2×35×35 ×(－)，
解得AB＝35 m.

B级(综合创新练)
11．(2021•新高考全国Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin ∠ABC＝asin C.
(1)证明：BD＝b.
(2)若AD＝2DC，求cos ∠ABC.

解：(1)由题设知BD＝，
由正弦定理知＝，即＝，
∴BD＝.又b2＝ac，∴BD＝b，得证．
(2)由题意知BD＝b，AD＝，DC＝，
∴cos ∠ADB＝＝，
同理cos ∠CDB＝＝.
∵∠ADB＝π－∠CDB，
∴＝，整理得2a2＋c2＝.
又b2＝ac，∴2a2＋＝，整理得6a4－11a2b2＋3b4＝0，
解得＝或＝.
由余弦定理知cos ∠ABC＝＝－.
当＝时，cos ∠ABC＝>1，不合题意；
当＝时，cos ∠ABC＝.
综上所述，cos ∠ABC＝.
12．(2022•山东省肥城市模拟)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足＝.
(1)求角B的大小；
(2)从①a＝2c，②b＝2，③A＝这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决问题．
问题：已知________，________．若△ABC存在，求△ABC的面积；若△ABC不存在，请说明理由．
注：若选择多个条件解答，则按第一个解答计分．
解：(1)因为＝，由正弦定理可得＝.
因为sin A≠0，
所以sin B－cos B＝1，即sin(B－)＝.
因为0<B<π，
所以－<B－<.
因为B－＝，所以B＝.
(2)若选择条件①②，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
可得4＝4c2＋c2－2c2，解得c＝，故a＝，
所以S△ABC＝acsin B＝×××sin ＝.
若选择条件②③，
由正弦定理可得＝，可得a＝＝，
所以S△ABC＝absin C＝×2××sin(＋)＝.
若选择条件①③，则这样的三角形不存在，理由如下：
在三角形ABC中，A＝，B＝，所以C＝π－－＝，所以A<C，所以a<c.
又因为a＝2c，所以a>c与a<c矛盾，所以这样的三角形不存在．
13．(2022•河北省保定市模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝2 ，2a－c＝2bcos C.

(1)求B；
(2)如图，圆O是△ABC的外接圆，延长AO交BC于点H，过圆心O作OG⊥OA交BC于点G，且OG＝，求OH的长．
解：(1)法一：由余弦定理知cos C＝，
∵2a－c＝2bcos C，
∴2a－c＝2b•，化简得a2＋c2－b2＝ac，
由余弦定理知cos B＝＝＝，
∵B∈(0，π)，∴B＝.
法二：因为2a－c＝2bcos C，由正弦定理可得2sin A－sin C＝2sin Bcos C．
由sin A＝sin(B＋C)代入化简，可得2cos Bsin C＝sin C．
因为sin C>0，所以cos B＝.因为0<B<π，所以B＝.
(2)设圆O的半径为R，
由正弦定理知2R＝＝＝4，∴R＝2.
延长AH，交圆O于点D，作CE⊥AD于点E，

则∠D＝∠B＝.∵OD＝OC＝R＝2，
∴△OCD为等边三角形，
∴CD＝2，∴CE＝，DE＝OE＝1.
∵∠CHE＝∠GHO，∠CEH＝∠GOH，CE＝OG＝，∴△CEH≌△GOH，
∴EH＝OH，即点H为OE的中点，
∴OH＝OE＝.