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第二章 物体间的相互作用
第2讲 力的合成与分解
【教学目标】1、会运用力的合成法则进行共点力的合成；
2、能根据力的分解原则正确进行力的分解；
3、理解力的平行四边形定则，能灵活地运动平行四边形定则进行力的合成与分解；
4、会用力的正交分解和矢量三角形进行有关分析和运算。
【重、难点】1、力的正交分解法和矢量三角形法则
【知识梳理】
（1）合力及其分力均为作用于同一物体上的力 ( )
（2）合力及其分力可以同时作用在物体上( )
（3）两个力的合力一定比其分力大( )
（4）互成角度的两个力的合力与分力间一定构成封闭的三角形( )
（5）既有大小又有方向的物理量一定是矢量( )
考点一 力的合成问题
1．共点力合成的常用方法
（1）作图法：从力的作用点起，按同一标度作出两个分力F1和F2的图示，再以F1和F2的图示为邻边作平行四边形，画出过作用点的对角线，量出对角线的长度，计算出合力的大小，量出对角线与某一力的夹角确定合力的方向（如图所示）。
（2）计算法：几种特殊情况的共点力的合成。
类 型
作 图
合力的计算
①互相垂直
F＝
tan θ＝
②两力等大，夹角为θ
F＝2F1cos
F与F1夹角为
③两力等大且夹角60°
F＝F1＝F2
④两力等大且夹角90°
F＝F1＝F2
⑤两力等大且夹角120°
合力与分力等大
（3）力的三角形定则：将表示两个力的图示(或示意图)保持原来的方向依次首尾相接，从第一个力的作用点，到第二个力的箭头的有向线段为合力。平行四边形定则与三角形定则的关系如图甲、乙所示。
2．合力的大小范围
（1）两个共点力的合成：|F1－F2|≤F合≤F1＋F2
① 当两个分力反向时，合力最小，为|F1－F2|；当两分力同向时，合力最大，为F1＋F2
② 两个分力一定时，夹角θ越大，合力越 ；合力一定，两等大分力的夹角越大，两分力越 ；
（2）三个共点力的合成
① 三个力共线且同向时，其合力最大，为F1＋F2＋F3。
② 以这三个力的大小为边，如果能组成封闭的三角形，则其合力最小值为零，若不能组成封闭的三角形，则合力最小值的大小等于最大的一个力减去另外两个力的大小之和．
典例精析
例1．(多选)两个共点力F1、F2大小不同，它们的合力大小为F，则( )
A．F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍 B．F1、F2同时增加10 N，F也增加10 N
C．F1增加10 N，F2减少10 N，F一定不变 D．若F1、F2中的一个增大，F不一定增大
变式1、我国海军在南海某空域举行实兵对抗演练，某一直升机在匀速水平飞行过程中遇到突发情况，立即改为沿虚线方向斜向下减速飞行，则空气对其作用力可能是( )
A．F1 B．F2 C．F3 D．F4
变式2、如图所示，一个“Y”形弹弓顶部跨度为L，两根相同的橡皮条自由长度均为L，在两橡皮条的末端用一块软羊皮（长度不计）做成裹片。若橡皮条的弹力与形变量的关系满足胡克定律，且劲度系数为k，发射弹丸时每根橡皮条的最大长度为2L（弹性限度内），则发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为( )
A．kL B．2kL C．kL D．kL
例2．三个共点力大小分别是F1、F2、F3，关于它们的合力F的大小，下列说法中正确的是( )
A．F大小的取值范围一定是0≤F≤F1＋F2＋F3
B．F至少比F1、F2、F3中的某一个大
C．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶2，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
D．若F1∶F2∶F3＝3∶6∶8，只要适当调整它们之间的夹角，一定能使合力为零
例3．如图所示，体操吊环运动有一个高难度的动作就是先双手撑住吊环（图甲），然后身体下移，双臂缓慢张开到图乙位置，则在此过程中，吊环的两根绳的拉力FT（两个拉力大小相等）及它们的合力F的大小变化情况为( )
A．FT减小，F不变 B．FT增大，F不变
C．FT增大，F减小 D．FT增大，F增大
考点二 力的分解问题
1．按作用效果分解力的一般思路
2．正交分解法
（1）定义：将已知力按互相垂直的两个方向进行分解的方法。
（2）建立坐标轴的原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则（即尽量多的力在坐标轴上）；在动力学中，通常以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系。
（3）方法：物体受到F1、F2、F3…多个力作用求合力F时，可把各力沿相互垂直的x轴、y轴分解。
x轴上的合力：Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y轴上的合力：Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
合力大小：F＝
合力方向：与x轴夹角设为θ，则tan θ＝。
典例精析
例4．减速带是交叉路口常见的一种交通设施，车辆驶过减速带时要减速，以保障行人的安全。当汽车前轮刚爬上减速带时，减速带对车轮的弹力为F，下图中弹力F画法正确且分解合理的是( )
例5．如图所示，放在斜面上的物体受到垂直于斜面向上的力F作用始终保持静止，当力F逐渐减小后，下列说法正确的是( )
A．物体受到的摩擦力保持不变 B．物体受到的摩擦力逐渐增大
C．物体受到的合力减小 D．物体对斜面的压力逐渐减小
变式3、如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因数为μ，先用平行于斜面的推力F1作用于物体上使其能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力F2作用于物体上，也能使物体沿斜面匀速上滑，则两次的推力之比为( )
A．cos θ＋μsin θ B．cos θ－μsin θ C．1＋μtan θ D．1－μtan θ
力的合成与分解方法的选择
力的效果分解法、正交分解法、合成法都是常见的解题方法，一般情况下，物体只受三个力的情形下，力的效果分解法、合成法解题较为简单，在三角形中找几何关系，利用几何关系或三角形相似求解；而物体受三个以上力的情况多用正交分解法，但也要视题目具体情况而定。
考点三 力分解的多解问题
若不加任何限制条件，将一个已知力分解为两个分力时可以有 种分解方式，所以对力的分解就必须加以限制，否则，力的分解将无实际意义。通常在实际中，我们是根据力的作用效果来分解一个力。这就要求在力的分解之前必须搞清楚力的 ，这样就确定了分力的方向，力的分解将是唯一的。
1．一个力有确定的两个分力的条件是：
（1）已知合力及两分力方向，求分力大小，有唯一定解；
（2）已知合力及一个分力的大小方向，求另一分力大小方向，有唯一定解；
2．其他一些特殊情况
（1）已知合力及一个分力方向，求另一分力，有无数组解，其中有一组是另一分力最小解；
（2）已知合力F、一个分力（F1）的大小和另一个分力（F2）的方向（F2与合力的夹角为θ）。
若F1<F合sinθ，无解； 若F1=F合sinθ，唯一解；
若F合>F1>F合sinθ，两解； 若，唯一解
（3）已知两个分力F1、F2的大小（无解、一解、两解）
若F1+ F2< F，无解；
若F1 F2= F，一解；
若将三个力的大小作为三条线段，如果这三条线段能构成一个三角形，则有两解。
典例精析
例6．已知两个共点力的合力为50 N，分力F1的方向与合力F的方向成30°角，分力F2的大小为30 N．则( )
A．F1的大小是唯一的 B．F2的方向是唯一的
C．F2有两个可能的方向 D．F2可取任意方向
变式4、（多选）已知力F的一个分力F1跟F成30º角，大小未知，另一个分力F2的大小为F，方向未知，则F1的大小可能是（ ）
A． F B．F C．F D．F
考点四 对称法解决非共面力问题
在力的合成与分解的实际问题中，经常遇到物体受多个非共面力作用处于平衡状态的情况，而在这类平衡问题中，又常有图形结构对称的特点，结构的对称性往往对应着物体受力的对称性。解决这类问题的方法是根据物体受力的对称性，结合力的合成与分解知识及平衡条件列出方程，求解结果。
典例精析
例7．（2017年广州一模）如图a所示，某工地上起重机将重为G的正方形工件缓缓吊起。四根等长的钢绳（质量不计），一端分别固定在正方形工件的四个角上，另一端汇聚于一处挂在挂钩上，绳端汇聚处到每个角的距离均与正方形的对角线长度相等（如图b）。则每根钢绳的受力大小为（ ）
图a
图b
A． B． C． D．
变式5、如图是悬绳对称且长度可调的自制降落伞．用该伞挂上重为G的物体进行两次落体实验，悬绳的长度l1<l2，匀速下降时每根悬绳的拉力大小分别为F1、F2，则（ ）
A．F1<F2 B．F1>F2 C．F1=F2<G D．F1=F2>G
变式6、(多选)如图所示，完全相同的四个足球彼此相互接触叠放在水平面上，每个足球的质量都是m，不考虑转动情况，下列说法正确的是( )
A．下面的球不受地面给的摩擦力 B．下面每个球对地面的压力均为mg
C．下面每个球受地面给的摩擦力均为mg D．上面球对下面每个球的压力均为mg
考点五 力（矢量）的合成中两类最小值问题
典例精析
类型一 合力一定，其中一个分力的方向一定，当两个分力垂直时，另一个分力最小
例8．如图所示，重力为G的小球用轻绳悬于O点，用力F拉住小球，使轻绳保持偏离竖直方向60°角且不变，当F与竖直方向的夹角为θ时F最小，则θ、F的值分别为( )
A．0°，G B．30°，G C．60°，G D．90°，G
变式7、重量为G的木块与水平地面间的动摩擦因数为，一人欲用最小的作用力F使木块做匀速运动，则此最小作用力的大小和方向应如何？
类型二 合力方向一定，其中一个分力的大小和方向都一定，当另一个分力与合力方向垂直时，这一分力最小
例9．如图所示，一物块受一恒力F作用，现要使该物块沿直线AB运动，应该再加上另一个力的作用，则加上去的这个力的最小值为( )
A．Fcos θ B．Fsin θ C．Ftan θ D．条件不足，无法判断
例10．如图所示，一条小船位于200m宽的河正中A点处，从这里向下游100m处有一危险区，当时水流速度为4m/s，为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是（ ）
A．m/s B．m/s C．2m/s D．4m/s
变式8、如图所示，甲、乙、丙三人分别在两岸用绳拉小船在河流中行驶，已知甲的拉力大小为800 N，方向与航向夹角为30°，乙的拉力大小为400 N，方向与航向夹角为60°，要保持小船在河流正中间沿虚线所示的直线行驶，则丙用力最小为( )
A．与F甲垂直，大小为400 N B．与F乙垂直，大小为200 N
C．与河岸垂直，大小为（400＋200）N D．与河岸垂直，大小为400 N
1．当已知合力F的大小、方向及一个分力F1的方向时，另一个分力F2取最小值的条件是两分力垂直。如图所示，F2的最小值为：F2min=F sinα
α
F
F2
F1
α
F
F2
F1
2．当已知合力F的方向及一个分力F1的大小、方向时，另一个分力F2取最小值的条件是：所求分力F2与合力F垂直，如图所示，F2的最小值为：F2min=F1sinα
考点六 力的合成与分解方法在实际问题中的应用
典例精析
例11．某压榨机的结构示意图如图所示，其中B为固定铰链，若在A铰链处作用一垂直于墙壁的力F，则由于力F的作用，使滑块C压紧物体D，设C与D光滑接触，杆的重力及滑块C的重力不计，图中a＝0.5 m，b＝0.05 m，则物体D所受压力的大小与力F的比值为( )
A．4 B．5 C．10 D．1
变式9、小明想推动家里的衣橱，但使出了很大的力气也推不动，他便想到了个妙招，如图所示，用A、B两块木板，搭成一个底角较小的人字形架，然后往中央一站，衣橱居然被推动了！下列说法中正确的是( )
A．这是不可能的，因为小朋友根本没有用力去推衣橱
B．这是不可能的，因为无论如何小朋友的力气也没那么大
C．这有可能，A板对衣橱的推力有可能大于小明的重力
D．这有可能，但A板对衣橱的推力不可能大于小明的重力
变式10、(多选)如图所示，两相同轻质硬杆OO1、OO2可绕其两端垂直纸面的水平轴O、O1、O2转动，在O点悬挂一挡板重物M，将两相同木块m紧压在竖直挡板上，此时整个系统保持静止．Ff表示木块与挡板间摩擦力的大小，FN表示木块与挡板间正压力的大小．若挡板间的距离稍许增大后，系统仍静止且O1、O2始终等高，则( )
A．Ff变小 B．Ff不变 C．FN变小 D．FN变大
变式11、电梯修理员或牵引专家常常需要监测金属绳中的张力，但不能到绳的自由端去直接测量．某公司制造出一种能测量绳中张力的仪器，工作原理如图所示，将相距为L的两根固定支柱A、B（图中的小圆圈表示支柱的横截面）垂直于金属绳水平放置，在A、B的中点用一可动支柱C向上推动金属绳，使绳在垂直于A、B的方向竖直向上发生一个偏移量d(d≪L)，这时仪器测得金属绳对支柱C竖直向下的作用力为F。
（1）试用L、d、F表示这时金属绳中的张力FT；
（2）如果偏移量d＝10 mm，作用力F＝400 N，L＝250 mm，计算金属绳中张力的大小．
【能力展示】
【小试牛刀】
1．将物体所受重力按力的效果进行分解，下列图中错误的是( )
2．如图所示，质量为m的木块A放在斜面体B上，若A和B沿水平方向以相同的速度v0一起向左做匀速直线运动，则A和B之间的相互作用力大小为（ ）
A．mgcos B．mgsin C．mg D．0
3．如图所示，从正六边形的一个顶点向其余五个顶点作用着五个力F1、F2、F3、F4、F5，则这5个力的合力为（ ）
F5
F4
F2
F1
F3
F1
A．2F3 B．3F3 C．4F3 D．5F3
4．如图所示，某个物体在F1、F2、F3、F4四个共点力作用下处于静止状态，若F4的方向沿逆时针转过60°而保持其大小不变，其余三个力的大小和方向均保持不变，则此时物体所受到的合外力大小为（ ）
F1
F2
F3
F4
O
A． B． C．F4 D．
5．如图所示，两绳相交于O点，绳与绳，绳与天花板间夹角大小如图，现用一力F作用于O点，F与右绳间夹角为α，保持F的大小不变，改变α角的大小，忽略绳本身的重力，则下述哪种情况下，两绳所受的张力相等( )
A．α＝150° B．α＝135° C．α＝120° D．α＝90°
6．三段不可伸长的细绳OA、OB、OC能承受的最大拉力相同，它们共同悬挂一重物，如图所示，其中OB是水平的，A端、B端固定，若逐渐增加C端所挂物体的质量，则最先断的绳是（ ）
A．必定是OA B．必定是OB C．必定是OC D．可能是OB，也可能是OC
7．如图所示，杆BC的B端用铰链固定在竖直墙上，另一端C为一滑轮．重物G上系一绳经过滑轮固定于墙上A点处，杆恰好平衡．若将绳的A端沿墙缓慢向下移（BC杆、滑轮、绳的质量及摩擦均不计），则( )
A．绳的拉力增大，BC杆受绳的压力增大 B．绳的拉力不变，BC杆受绳的压力增大
C．绳的拉力不变，BC杆受绳的压力减小 D．绳的拉力不变，BC杆受绳的压力不变
8．如图所示，一个物体由绕过定滑轮的绳拉着，分别用图中所示的三种情况拉住物体静止不动。在这三种情况下，若绳的张力分别为FT1、FT2、FT3，定滑轮对轴心的作用力分别为FN1、FN2、FN3，滑轮的摩擦、质量均不计，则( )
A．FT1>FT2>FT3，FN1＝FN2＝FN3 B．FT1＝FT2＝FT3，FN1>FN2>FN3
C．FT1＝FT2＝FT3，FN1＝FN2＝FN3 D．FT1<FT2<FT3，FN1<FN2<FN3
9．如图所示，小车沿水平面向右做匀加速直线运动，车上固定的硬杆和水平面的夹角为θ，杆的顶端固定着一个质量为m的小球，当小车运动的加速度逐渐增大时，杆对小球的作用力（F1至F4变化）的变化图示可能是（ ）
10． 如图所示，一带正电的金属小球用绝缘细线系在天花板上，已知该小球质量为m、电量为q。当在纸面内加一匀强电场后，细线摆至图中虚线位置后小球重新平衡，已知θ=30°。则该电场的场强E的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【大显身手】
11．(多选)如图所示，作用于O点的三个力F1、F2、F3合力为零，F1沿－y方向，大小已知．F2与＋x方向夹角为θ（θ＜90°），大小未知．下列说法正确的是( )
A．F3可能指向第二象限 B．F3一定指向第三象限
C．F3与F2的夹角越小，则F3与F2的合力越小 D．F3的最小可能值为F1cos θ
12．将两个质量均为m的小球a、b用细线相连后，再用细线悬挂于O点，如图所示。用力F拉小球b，使两个小球都处于静止状态，且细线Oa与竖直方向的夹角保持θ＝30°，则F的最小值为( )
A．mg B．mg C．mg D．mg
13．如图所示，置于水平地面的三脚架上固定着一质量为m的照相机。三脚架的三根轻质支架等长，与竖直方向均成30°角，则每根支架中承受的压力大小为( )
A． B． C． D．
14．将三根伸长可不计的轻绳AB、BC、CD如图连接，现在B点悬挂一个质量为m的重物，为使BC绳保持水平且AB绳、CD绳与水平天花板夹角分别为60°与30°，需在C点再施加一作用力，则该力的最小值为( )
A．mg B．mg C．mg D．mg
15．(多选)如图所示为缓慢关门时（图中箭头方向）门锁的示意图，锁舌尖角为37°，此时弹簧弹力为24 N，锁舌表面较光滑，摩擦不计（sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8），下列说法正确的是( )
A．此时锁壳碰锁舌的弹力为30 N
B．此时锁壳碰锁舌的弹力为40 N
C．关门时锁壳碰锁舌的弹力逐渐增大
D．关门时锁壳碰锁舌的弹力保持不变
16．如图所示，一质量均匀的实心圆球被直径AB所在的平面一分为二，先后以AB沿水平和竖直两种不同方向放置在光滑支架上，处于静止状态，两半球间的作用力分别为F和F′，已知支架间的距离为AB长度的一半，则等于( )
A． B． C． D．
17．如图甲所示，将两根劲度系数均为k、原长均为L的轻弹簧，一端固定在水平天花板上相距为2L的两点，另一端共同连接一质量为m的物体，平衡时弹簧与竖直方向的夹角为37°。若将物体的质量变为M，平衡时弹簧与竖直方向的夹角为53°，如图乙所示（sin 37°＝0.6），则等于( )
A． B． C． D．
18．蹦床可简化为如图所示的完全相同的网绳构成的正方形，点O、a、b、c等为网绳的结点。当网水平张紧时，若质量为m的运动员从高处竖直落下，并恰好落在O点，当该处下凹至最低点时，网绳aOe、cOg均成120°向上的张角，此时O点受到的向下的冲击力为F，则这时O点周围每根网绳的拉力的大小为( )
A． B． C． D．
第2讲 力的合成与分解
答案
例1、AD 变式1、A 变式2、D 例2、D 例3、B 例4、B
例5、A 变式3、B 例6、C 变式4、AC 例7、D 变式5、B
变式6、BCD 例8、B 变式7、最小作用力大小为mg，方向斜向上与水平方向成300角
例9、B 例10、C 变式8、C 例11、B 变式9、C 变式10、BD
变式11、（1）；（2）2.5×103 N
解析：（1）设C′点受两边金属绳的张力分别为FT1和FT2，BC与BC′的夹角为θ，如图所示．依对称性有：
FT1＝FT2＝FT
由力的合成有：F＝2FTsin θ
根据几何关系有sin θ＝
联立上述二式解得FT＝ 因d≪L，故FT＝.
（2）将d＝10 mm，F＝400 N，L＝250 mm代入FT＝
解得FT＝2.5×103 N，即金属绳中的张力为2.5×103 N
【能力展示】
1、C 2、C 3、B 4、C 5、B 6、A 7、B 8、B 9、C 10、D
11、AD 12、B 13、D 14、D 15、BC 16、B 17、D 18、B
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