2019北京育才学校初三(上)期中数学(教师版).doc

2019北京育才学校初三（上）期中
数 学
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．（2分）抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（2，1）
2．（2分）“瓦当”是中国古代用以装饰美化建筑物檐头的建筑附件，其图案各式各样，属于中国特有的文化艺术遗产．下列“瓦当”的图案中，是轴对称图形的为（　　）

A． B．
C． D．
3．（2分）在△ABC中，∠C＝90°，以点B为圆心，以BC长为半径作圆，点A与该圆的位置关系为（　　）
A．点A在圆外 B．点A在圆内 C．点A在圆上 D．无法确定
4．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，若∠AOB＝100°，则∠ACB的度数是（　　）

A．40° B．50° C．60° D．80°
5．（2分）如图，小林坐在秋千上，秋千旋转了80°，小林的位置也从A点运动到了A'点，则∠OAA'的度数为（　　）

A．40° B．50° C．70° D．80°
6．（2分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）

A．a＞0 B．c＜0 C．b2﹣4ac＜0 D．a+b+c＞0
7．（2分）如图，已知⊙O的半径为4，则它的内接正方形的边长为（　　）

A．4 B．8 C．8 D．4
8．（2分）小阳在如图①所示的扇形舞台上沿O﹣M﹣N匀速行走，他从点O出发，沿箭头所示的方向经过点M再走到点N，共用时70秒．有一台摄像机选择了一个固定的位置记录了小阳的走路过程，设小阳走路的时间为t（单位：秒），他与摄像机的距离为y（单位：米），表示y与t的函数关系的图象大致如图②，则这个固定位置可能是图①中的（　　）

A．点Q B．点P C．点M D．点N
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．（2分）请写出一个开口向上，且经过点（0，2）的二次函数解析式　 　．
10．（2分）将抛物线y＝2x2+4绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为　 　．
11．（2分）如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝45°，半径OB的长为3，则AB的长为　 　．

12．（2分）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长”．（1尺＝10寸）则CD＝　 　．

13．（2分）在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，5为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是　 　．
14．（2分）两个全等的三角尺重叠放在△ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F．已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝30°，AB＝8cm，则CF＝　 　cm．

15．（2分）已知二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）．如图所示，则能使y1＞y2成立的x的取值范围是　 　．

16．（2分）阅读下面材料：
在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：
尺规作图：过圆外一点作圆的切线．
已知：P为⊙O外一点．
求作：经过点P的⊙O的切线．
小敏的作法如下：
如图，
（1）连接OP，作线段OP的垂直平分线MN交OP于点C；
（2）以点C为圆心，CO的长为半径作圆，交⊙O于A，B两点；
（3）作直线PA，PB．所以直线PA，PB就是所求作的切线．
老师认为小敏的作法正确．
请回答：连接OA，OB后，可证∠OAP＝∠OBP＝90°，其依据是　 　；由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是　 　．

三、解答题（本题共32分，第17、20题每小题6分，第18、19、21、22每小题6分）
17．（6分）二次函数的解析式y＝x2+2x﹣3
（1）用配方法将y＝x2+2x﹣3化成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）图象与x轴的交点坐标是　 　；顶点坐标是　 　；
（3）在坐标系中利用五点法画出此抛物线．

18．（5分）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）．
（1）画出将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°得到△A2B2O；
（3）在（2）的基础上，求点B旋转路径的长度．

19．（5分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
0
4
6
6
4
0
…
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）直接写出当y＜0时x的取值范围．
20．（6分）如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），求该光盘的直径是多少？

21．（5分）如图，在等边△ABC中，点D是 AB边上一点，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE，连接AE．求证：AE∥BC．

22．（5分）如图1是某公园一块草坪上的自动旋转喷水装置，这种旋转喷水装置的旋转角度为240°，它的喷灌区是一个扇形．小涛同学想了解这种装置能够喷灌的草坪面积，他测量出了相关数据，并画出了示意图．如图2，A，B两点的距离为18米，求这种装置能够喷灌的草坪面积．

四、解答题（本题共16分，第23、24题每小题5分，第25题6分）
23．（5分）学校要围一个矩形花圃，其一边利用足够长的墙，另三边用篱笆围成，由于园艺需要，还要用一段篱笆将花圃分隔为两个小矩形部分（如图所示），总共36米的篱笆恰好用完（不考虑损耗）．设矩形垂直于墙面的一边AB的长为x米（要求AB＜AD），矩形花圃ABCD的面积为S平方米．
（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）要想使矩形花圃ABCD的面积最大，AB边的长应为多少米？

24．（5分）阅读材料，解答问题例：用图象法解一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0．

解：设y＝x2﹣2x﹣3，则y是x的二次函数．
∵a＝1＞0∴抛物线开口向上．
又∵当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3．
∴由此得抛物线y＝x2﹣2x﹣3的大致图象如图所示．
观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．
∴x2﹣2x﹣3＞0的解集是：x＜﹣1或x＞3．
（1）观察图象1，直接写出一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＜0的解集是　 　；
（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：﹣x2+4x﹣3＜0．
25．（6分）如图，AB是⊙O的直径，且点C为⊙O上的一点，∠BAC＝30°，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF＝∠E．
（1）证明：CF是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为1，且AC＝CE，求MO的长．

五、解答题（本题共20分，第26题6分，第27题7分，第28题7分）
26．（6分）已知二次函数y＝x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3与x轴有两个交点．
（1）求k的取值范围；
（2）当k取最小的整数时，求二次函数的解析式；
（3）将（2）中求得的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象．请你画出这个新图象，并求出新图象与直线y＝x+m有三个不同公共点时m的值．

27．（7分）在菱形ABCD中，∠BAD＝α，E为对角线AC上的一点（不与A，C重合），将射线EB绕点E顺时针旋转β角之后，所得射线与直线AD交于F点．试探究线段EB与EF的数量关系．小宇发现点E的位置，α和β的大小都不确定，于是他从特殊情况开始进行探究．
（1）如图1，当α＝β＝90°时，菱形ABCD是正方形．小宇发现，在正方形中，AC平分∠BAD，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．由角平分线的性质可知EM＝EN，进而可得△EMF≌△ENB，并由全等三角形的性质得到EB与EF的数量关系为　 　．
（2）如图2，当α＝60°，β＝120°时，
①依题意补全图形；
②请帮小宇继续探究（1）的结论是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，
请举出反例说明；
（3）小宇在利用特殊图形得到了一些结论之后，在此基础上对一般的图形进行了探究，设∠ABE＝γ，若旋转后所得的线段EF与EB的数量关系满足（1）中的结论，请直接写出角α，β，γ满足的关系：　 　

28．（7分）我们规定：平面内点A到图形G上各个点的距离的最小值称为该点到这个图形的最小距离d，点A到图形G上各个点的距离的最大值称为该点到这个图形的最大距离D，定义点A到图形G的距离跨度为R＝D﹣d．
（1）①如图1，在平面直角坐标系xOy中，图形G1为以O为圆心，2为半径的圆，直接写出以下各点到图形G1的距离跨度：
A（﹣1，0）的距离跨度；
B（，﹣）的距离跨度；
C（﹣3，2）的距离跨度；
②根据①中的结果，猜想到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是　 　．
（2）如图2，在平面直角坐标系xOy中，图形G2为以C（1，0）为圆心，2为半径的圆，直线y＝k（x+1）上存在到G2的距离跨度为2的点，求k的取值范围．
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，射线OA：y＝x（x≥0），圆C是以3为半径的圆，且圆心C在x轴上运动，若射线OA上存在点到圆C的距离跨度为2，直接写出圆心C的横坐标xc的取值范围．

参考答案
一、选择题（本题共16分，每小题2分）
1．【分析】已知抛物线的顶点式，可知顶点坐标和对称轴．
【解答】解：∵y＝（x﹣2）2+1是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，
对称轴为直线x＝2，
故选：D．
【点评】考查了二次函数的性质，顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h．
2．【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断后即可求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故选项错误；
B、是轴对称图形，故选项正确；
C、不是轴对称图形，故选项错误；
D、不是轴对称图形，故选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，轴对称图形的关键是寻找对称轴．
3．【分析】根据点与圆的位置关系即可得出结论．
【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，
∴AB＞BC，
∴点A在圆外．
故选：A．
【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．
4．【分析】直接根据圆周角定理进行解答即可．
【解答】解：∵∠AOB与∠ACB是同弧所对的圆心角与圆周角，∠AOB＝100°，
∴∠ACB＝∠AOB＝50°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5．【分析】根据旋转角的定义、旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行解答．
【解答】解：∵秋千旋转了80°，小林的位置也从A点运动到了A'点，
∴AOA′＝80°，OA＝OA′，
∴∠OAA'＝（180°﹣80°）＝50°．
故选：B．

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．
6．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛物线与x轴交点的个数及x＝1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：A、由二次函数的图象开口向下可得a＜0，故选项错误；
B、由抛物线与y轴交于x轴上方可得c＞0，故选项错误；
C、由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c＝0的根的判别式b2﹣4ac＞0，故选项错误；
D、把x＝1代入y＝ax2+bx+c
得：y＝a+b+c，由函数图象可以看出x＝1时二次函数的值为正，正确．
故选：D．
【点评】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y＝a+b+c，y＝a﹣b+c，然后根据图象判断其值．
7．【分析】利用正方形的性质结合勾股定理得出正方形ABCD的边长．
【解答】解：如图所示：
∵⊙O的半径为4，四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，
∴AB＝＝4．
故选：D．

【点评】此题主要考查了正多边形和圆、勾股定理；正确掌握正方形的性质是解题关键．
8．【分析】根据小阳运动轨迹，结合图①与②，确定出摄像机所在的固定位置即可．
【解答】解：从图②图象上观察得到小阳沿着O﹣M匀速行走时，离摄像机距离越来越近；在弧M﹣N行走时，离摄像机距离先越来越近，再越来越远，
观察图①可得：这个固定位置可能是图①中的P点．
故选：B．
【点评】此题考查了动点问题的函数图象，弄清图象中的数据及变化过程是解本题的关键．
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．【分析】直接利用二次函数开口向上则a＞0，且经过（0，2），即c＝0，进而得出答案．
【解答】解：∵二次函数开口向上，且经过点（0，2），
∴解析式可以为：y＝x2+2等．
故答案为：y＝x2+2等．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握二次函数基本性质是解题关键．
10．【分析】求出原抛物线的顶点坐标，再根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数求出旋转后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：y＝2x2+4的顶点坐标为（0，4），
∵抛物线y＝2x2+4绕原点O旋转180°，
∴旋转后的抛物线的顶点坐标为（0，﹣4），
∴旋转后的抛物线的解析式为y＝﹣2x2﹣4．
故答案是：y＝﹣2x2﹣4．
【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用顶点的变化确定函数解析式的变化更简便．
11．【分析】首先根据圆周角定理求出∠AOB的度数，然后解直角三角形求出AB的长．
【解答】解：根据题意可知，
∠AOB＝2∠ACB＝90°，
又知OA＝OB＝3，
即AB＝，
故答案为3．
【点评】本题主要考查了圆周角定理，解题的关键是求出∠AOB＝90°，此题难度不大．
12．【分析】根据垂径定理和勾股定理求解．
【解答】解：连接OA，如图所示，
设直径CD的长为2x，则半径OC＝x，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB＝10寸，
∴AE＝BE＝AB＝×10＝5寸，
连接OA，则OA＝x寸，
根据勾股定理得x2＝52+（x﹣1）2，
解得x＝13，
CD＝2x＝2×13＝26（寸）．
故答案为：26寸．

【点评】此题考查了垂径定理和勾股定理；熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．
13．【分析】可先求出圆心到y轴的距离，再根据半径比较，若圆心到y轴的距离大于圆心距，y轴与圆相离；小于圆心距，y轴与圆相交；等于圆心距，y轴与圆相切．
【解答】解：圆心到y轴的距离是3＜5，
则圆的y轴所在直线的位置关系是相交．
故答案是：相交．
【点评】此题考查的是圆与直线的关系，即圆心到直线的距离大于圆心距，直线与圆相离；小于圆心距，直线与圆相交；等于圆心距，则直线与圆相切．
14．【分析】利用旋转的性质得出DC＝AC，∠D＝∠CAB，再利用已知角度得出∠AFC＝90°，再利用直角三角形的性质得出FC的长．
【解答】解：∵将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至△DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，
∴DC＝AC，∠D＝∠CAB，
∴∠D＝∠DAC，
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝30°，
∴∠D＝∠CAB＝60°，
∴∠DCA＝60°，
∴∠ACF＝30°，
可得∠AFC＝90°，
∵AB＝8cm，∴AC＝4cm，
∴FC＝4cos30°＝2（cm）．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了旋转的性质以及直角三角形的性质，正确得出∠AFC的度数是解题关键．
15．【分析】直接根据函数的图象即可得出结论．
【解答】解：∵由函数图象可知，当x＜﹣2或x＞8时，一次函数的图象在二次函数的下方，
∴能使y1＞y2成立的x的取值范围是x＜﹣2或x＞8．
故答案为：x＜﹣2或x＞8．
【点评】本题考查的是二次函数与不等式，能利用数形结合求解是解答此题的关键．
16．【分析】分别利用圆周角定理以及切线的判定方法得出答案．
【解答】解：连接OA，OB后，可证∠OAP＝∠OBP＝90°，其依据是：直径所对的圆周角是直角；
由此可证明直线PA，PB都是⊙O的切线，其依据是：经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线．
故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径外端，且与半径垂直的直线是圆的切线．
【点评】此题主要考查了切线的判定以及圆周角定理，正确把握切线的判定方法是解题关键．
三、解答题（本题共32分，第17、20题每小题6分，第18、19、21、22每小题6分）
17．【分析】（1）根据配方法可以将题目中的函数解析式化为顶点式；
（2）根据题目中的函数解析式，可以求得与x轴的交点和顶点坐标；
（3）根据函数解析式可以得到该函数图象上的五个点，从而可以画出相应的函数图象．
【解答】解：（1）y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4；
（2）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），
∴当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，
即图象与x轴的交点坐标是（﹣3，0），（1，0），
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴该函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），
故答案为：（﹣3，0），（1，0）；（﹣1，﹣4）；
（3）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，该函数的顶点坐标为（﹣1，﹣4），
当x＝0或x＝﹣2时，y＝﹣3，
该函数图象如右图所示．

【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
18．【分析】（1）分别将点A、B、C向上平移1个单位，再向右平移5个单位，然后顺次连接；
（2）根据网格结构找出点A、B、C以点O为旋转中心顺时针旋转90°后的对应点，然后顺次连接即可；
（3）根据弧长公式计算可得点B旋转路径的长度．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）如图所示，△A2B2O即为所求；

（3）点B旋转路径的长度为：＝2π．
【点评】本题主要考查了利用旋转变换以及平移变换作图，解题的关键是根据旋转变换的定义和性质作出变换后的对应点．
19．【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的表达式；
（2）画图象，根据图象直角写出当y＜0时x的取值范围．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+2）（x﹣3），
把（0，6）代入得：6＝﹣6a，
a＝﹣1，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x+2）（x﹣3）＝﹣x2+x+6；
（2）如图所示，由图象得：当y＜0时，x的取值范围是：x＜﹣2或x＞3．

【点评】本题考查了利用待定系数法求二次函数的表达式和抛物线与x轴的交点；利用图象直接得出当y＞0和y＜0时x的取值范围都与抛物线与x轴的交点有关，明确△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．
20．【分析】先过点O作OA垂直直尺与点A，连接OB，再设OB＝r，利用勾股定理求出r的值即可得出答案．
【解答】解：过点O作OA垂直直尺与点A，连接OB，设OB＝r，
∵一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”，
∴AB＝4，
∵刻度尺宽2cm，
∴OA＝r﹣2，
在Rt△OAB中，
OA2+AB2＝OB2，即（r﹣2）2+42＝r2，
解得r＝5，
则该光盘的直径是10cm．

【点评】本题考查的是垂径定理的应用，勾股定理及切线的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
21．【分析】根据等边三角形的性质得出AC＝BC，∠B＝∠ACB＝60°，根据旋转的性质得出CD＝CE，∠DCE＝60°，求出∠BCD＝∠ACE，根据SAS推出△BCD≌△ACE，根据全等得出∠EAC＝∠B＝60°，求出∠EAC＝∠ACB，根据平行线的判定得出即可．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠B＝∠ACB＝60°．
∵线段CD绕点C顺时针旋转60°得到CE，
∴CD＝CE，∠DCE＝60°，
∴∠DCE＝∠ACB，
即∠BCD+∠DCA＝∠DCA+∠ACE，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD与△ACE中，
∴△BCD≌△ACE，
∴∠EAC＝∠B＝60°，
∴∠EAC＝∠ACB，
∴AE∥BC．
【点评】本题考查了平行线的判定，等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，旋转的性质的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
22．【分析】作OC⊥AB，根据垂径定理得出AC＝9，继而可得圆的半径OA的值，再根据扇形面积公式可得答案．
【解答】解：过点O作OC⊥AB于C点．

∵OC⊥AB，AB＝18，
∴，
∵OA＝OB，∠AOB＝360°﹣240°＝120°，
∴°．
在Rt△OAC中，OA2＝OC2+AC2，
又∵，
∴．
∴πr2＝72π（m2）．
【点评】本题主要考查垂径定理和扇形的面积公式，熟练掌握垂径定理求得圆的半径是解题的关键．
四、解答题（本题共16分，第23、24题每小题5分，第25题6分）
23．【分析】（1）由题意得出AB＝x，BC＝36﹣3x，由矩形的面积公式即可得出S与x之间的函数关系式；
（2）把函数关系式化成顶点式，由二次根式的性质即可得出结果．
【解答】解：（1）由题意得：AB＝x，BC＝36﹣3x，S＝AB•BC＝x（36﹣3x）＝﹣3x2+36x，
即S与x之间的函数关系式为：S＝﹣3x2+36x（0＜x＜9）；
（2）∵S＝﹣3x2+36x＝﹣3（x﹣6）2+108，0＜6＜9
∴x＝6时，S取得最大值108，
答：要想使矩形花圃ABCD的面积最大，AB边的长应为6米．
【点评】本题考查了二次函数的应用、最值问题；根据题意得出函数关系式是解决问题的关键．
24．【分析】（1）根据函数图形回答即可；
（2）先判断出抛物线的开口方向，然后求得抛物线与x轴交点坐标，最后根据函数图象进行判断即可．
【解答】解：（1）观察函数图象可知：当﹣1＜x＜3时，y＜0．
∴x2﹣2x﹣3＜0的解集是：﹣1＜x＜3，
故答案为：﹣1＜x＜3；
（2）设y＝﹣x2+4x﹣3，则y是x的二次函数．
∵a＝﹣1＜0∴抛物线开口向下，
又∵当y＝0时，﹣x2+4x﹣3＝0，解得x1＝1，x2＝3，
∴由此得抛物线y═﹣x2+4x﹣3的大致图象如图2所示，
观察函数图象可知：当x＜1或x＞3时，y＜0，
∴﹣x2+4x﹣3＜0的解集是：x＜1或x＞3．

【点评】本题主要考查的是二次函数与不等式组，利用函数图象确定出不等式组的解集是解题的关键．
25．【分析】（1）要证CF为⊙O的切线，只要证明∠OCF＝90°即可；
（2）根据三角函数求得AC的长，从而可求得BE的长，再利用三角函数可求出MB的值，从而可得到MO的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠ABC＝60°；
在Rt△EMB中，∵∠E+∠MBE＝90°，
∴∠E＝30°；
∵∠E＝∠ECF，
∴∠ECF＝30°，
∴∠ECF+∠OCB＝90°；
∵∠ECF+∠OCB+∠OCF＝180°，
∴∠OCF＝90°，
∴CF为⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ACB中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，
∴AC＝ABcos30°＝，BC＝ABsin30°＝1；
∵AC＝CE，
∴BE＝BC+CE＝1+，在Rt△EMB中，∠E＝30°，∠BME＝90°，
∴MB＝BEsin30°＝，
∴MO＝MB﹣OB＝．

【点评】本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．
五、解答题（本题共20分，第26题6分，第27题7分，第28题7分）
26．【分析】（1）由抛物线与x轴有两个交点可知△＞0，从而可求得k的取值范围；
（2）先求得k的最小整数值，从而可求得二次函数的解析式；
（3）先根据函数解析式画出图形，然后结合图形找出抛物线与x轴有三个交点的情形，最后求得直线的解析式，从而可求得m的值．
【解答】解：（1）∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△＝4（k+1）2﹣4（k2﹣2k﹣3）＝16k+16＞0．
∴k＞﹣1．
∴k的取值范围为k＞﹣1．
（2）∵k＞﹣1，且k取最小的整数，
∴k＝0．
∴y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4．
（3）翻折后所得新图象如图所示．

平移直线y＝x+m知：直线位于l1和l2时，它与新图象有三个不同的公共点．
①当直线位于l1时，此时l1过点A（﹣1，0），
∴0＝﹣1+m，即m＝1．
②∵当直线位于l2时，此时l2与函数y＝﹣x2+2x+3（﹣1≤x≤3）的图象有一个公共点
∴方程x+m＝﹣x2+2x+3，即x2﹣x﹣3+m＝0有两个相等实根．
∴△＝1﹣4（m﹣3）＝0，即．
综上所述，m的值为1或．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，根据题意画出如图，找出新图象与直线y＝x+m有三个不同公共点的条件是解题的关键．
27．【分析】（1）直接得出结论；
（2）①依题意补全图形如图2所示，
②证法1，利用菱形的性质得出，∠DAC＝∠BAC，再用角平分线的性质，得出EM＝EN，进而判断出△EFM≌△EBN即可；
证法2，利用菱形的性质直接判断出△AED≌△AEB，即可得出结论；
（3）借助（2）的两种证法，利用全等三角形的性质和四边形和三角形的内角和即可得出结论．
【解答】解：（1）EB＝EF，
故答案为：EB＝EF；
（2）①补全图形如图2所示，

②结论依然成立EB＝EF；
证法1：如图3，

过点E作EM⊥AF于M，EN⊥AB于N．
∵四边形ABCD为菱形，
∴∠CAD＝∠CAB．
∵EM⊥AF，EN⊥AB．
∴∠FME＝∠ANE＝90°，EM＝EN，
∵∠BAD＝60°，∠BEF＝120°，
∴∠F+∠ABE＝360°﹣∠BAD﹣∠BEF＝180°．
∵∠ABE+∠EBN＝180°，
∴∠F＝∠EBN；
在△EFM与△EBN中，
∴△EFM≌△EBN．
∴EF＝EB；
证法2：如图4，连接ED

∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAE．
又∵AE＝AE，
∴△ADE≌△ABE．
∴ED＝EB，∠ADE＝∠ABE，
又∵∠DAB＝60°，∠BEF＝120°．
∴∠F+∠ABE＝180°．
又∵∠ADE+∠FDE＝180°，
∴∠F＝∠FDE．
∴EF＝ED．
∴EF＝EB．
（3）
如图3，由（2）的证法1知，△FEM≌△BEN，
∴∠FEM＝∠BEN，
∴∠BEF＝∠MEN，
在四边形AMEN中，∠BAC+∠MEN＝180°，
∴∠BAC+∠BEF＝180°，
∴α+β＝180°，
故答案为：无论γ为多少度，都有α+β＝180°．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，解本题的关键是判断出△ADE≌△ABE．
28．【分析】（1）①先根据跨度的定义先确定出点到圆的最小距离d和最大距离D，即可得出跨度；
②分点在圆内和圆外两种情况同①的方法计算，判定得出结论；
（2）先判断出存在的点P必在圆C内，设出点P的坐标，利用点P到圆心C的距离的2倍是点P到圆的距离跨度，建立方程，由于存在距离跨度是2的点，此方程有解即可得出k的范围．
（3）同（2）方法判断出存在的点P在圆C内部，由于在射线OA上存在距离跨度是2的点，同（2）的方法建立方程，用一元二次方程根与系数的关系和根的判别式即可确定出范围．
【解答】解：（1）如图1，

①∵图形G1为以O为圆心，2为半径的圆，∴直径为4，
∵A（﹣1，0），OA＝1，
∴点A到⊙O的最小距离d＝MA＝OM﹣OA＝1，
点A到⊙O的最大距离D＝AN＝ON+OM＝2+1＝3，
∴点A到图形G1的距离跨度R＝D﹣d＝3﹣1＝2；
∵B（，﹣），∴OB＝＝1，
∴点B到⊙O的最小距离d＝BG＝OG﹣OB＝1，
点B到⊙O的最大距离D＝BF＝FO+OB＝2+1＝3，
∴点B到图形G1的距离跨度R＝D﹣d＝3﹣1＝2；
∵C（﹣3，2），
∴OC＝＝，
∴点C到⊙O的最小距离d＝CD＝OC﹣OD＝﹣2，
点C到⊙O的最大距离D＝CE＝OC+OE＝2+
∴点C到图形G1的距离跨度R＝D﹣d＝2+﹣（﹣2）＝4；
∴圆，
理由：①设⊙O内一点P的坐标为（x，y），
∴OP＝，
∴点P到⊙O的最小距离d＝2﹣OP，点P到⊙O的最大距离D＝2+OP，
∴点P到图形G1的距离跨度R＝D﹣d＝2+OP﹣（2﹣OP）＝2OP；
∵图形G1的距离跨度为2，
∴2OP＝2，
∴OP＝1，
∴＝1，
∴x2+y2＝1，
即：到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是以点O为圆心，1为半径的圆．
②设⊙O外一点Q的坐标为（x，y），
∴OQ＝，
∴点Q到⊙O的最小距离d＝OQ﹣2，点P到⊙O的最大距离D＝OQ+2，
∴点P到图形G1的距离跨度R＝D﹣d＝OQ+2﹣（OQ﹣2）＝4；
∵图形G1的距离跨度为2，
∴此种情况不存在，
所以，到图形G1的距离跨度为2的所有的点组成的图形的形状是以点O为圆心，1为半径的圆．
故答案为：圆；
（2）设直线y＝k（x+1）上存在到G2的距离跨度为2的点P（m，k（m+1）），
∴CP＝，
由（1）②知，圆内一点到图形圆的跨度是此点到圆心距离的2倍，圆外一点到图形圆的跨度是此圆的直径，
∵图形G2为以C（1，0）为圆心，2为半径的圆，到G2的距离跨度为2的点，
∴距离跨度小于图形G2的圆的直径4，
∴点P在图形G2⊙C内部，
∴R＝2CP＝2，
∵直线y＝k（x+1）上存在到G2的距离跨度为2的点P，
∴2＝2，
∴（k2+1）m2+2（k2﹣1）m+k2＝0①，
∵存在点P，
∴方程①有实数根，
∴△＝4（k2﹣1）2﹣4×（k2+1）k2＝﹣12k2+4≥0，
∴﹣≤k≤，
（3）同（2）的方法得出，射线OA上存在点P到圆C的距离跨度为2时，点P在圆内，
设点P（n，n），（n＞0），
∵圆心C（x2，0），∴PC＝＝×2＝1，
∴n2﹣2x2n+x22﹣1＝0，
∴射线OA上存在点到圆C的距离跨度为2，
∴，
∴﹣1≤x2≤2．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了新定义，理解和应用新定义解决问题，还涉及到平面坐标系内，两点间的距离公式，一元二次方程的根的判别式，根与系数的关系，由（1）的已知点的坐标计算距离跨度，观察得出规律是解本题的关键．是一道难点比较大的中考常考题，判断出图形的形状是圆，是本题的难点．

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