2022年广州市中考数学模拟试题(2)(解析版).doc

2022年广州市中考数学模拟试题（2）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）如图，数轴上每相邻两点距离表示1个单位，点A，B互为相反数，则点C表示的数可能是（　　）

A．0 B．1 C．3 D．5
【答案】C
【解析】∵如图，数轴上每相邻两点距离表示1个单位，点A，B互为相反数，
∴线段AB的中点为原点，即A、B对应的数分别为﹣2、2，
则点C表示的数可能是3，
故选：C．

2．（3分）在如图所示的正方形ABCD中，点E在边CD上，把△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABF，∠FAB＝20°，旋转角的度数是（　　）

A．110° B．90° C．70° D．20°
【答案】B
【解析】∵把△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABF，
∴旋转角为∠DAB，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝90°，
故选：B．
3．（3分）一组数据：12，13，14，15，15，15．这组数据的众数和平均数分别是（　　）
A．12，15 B．15，14 C．14，15 D．13，14
【答案】B
【解析】这组数据中15出现的次数最多，故众数是15；
平均数＝（12+13+14+15+15+15）＝14．
故选：B．
4．（3分）化简|a﹣2|+（）2的结果是（　　）
A．4﹣2a B．0 C．2a﹣4 D．4
【答案】A
【解析】由题意可得：
2﹣a≥0，
则a≤2，
∴|a﹣2|+（）2
＝2﹣a+2﹣a
＝4﹣2a．
故选：A．
5．（3分）不解方程，判别方程2x2﹣3x＝3的根的情况（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个实数根 D．无实数根
【答案】B
【解析】方程整理得2x2﹣3x﹣3＝0，
∵Δ＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣3）＝18+24＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
6．（3分）如图，△ABC是一张周长为18cm的三角形纸片，BC＝5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的周长为（　　）

A．13cm B．8cm
C．6.5cm D．随直线MN的变化而变化
【答案】B
【解析】由切线长定理得，BD＝BG，CP＝CG，MH＝MD，NH＝NP，
∴BD+CP＝BG+CG＝5，
∴AD+AP＝18﹣10＝8，
∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AM+MD+AN+NP＝AD+AP＝8，
故选：B．

7．（3分）下列计算错误的是（　　）
A．（ab≠0 ） B．ab2÷（b≠0）
C．2a2b+3ab2＝5a3b3 D．（ab2）3＝a3b6
【答案】C
【解析】（C）原式＝2a2b+3ab2，
故选：C．
8．（3分）如图，在▱ABCD中，∠B＝45°，AD＝2，E，H分别为边AB，CD上一点，将▱ABCD沿EH翻折，使得AD的对应线段FG经过点C．若FG⊥CD，CG＝1，则EF的长度为（　　）

A．2 B． C． D．2﹣
【答案】D
【解析】延长CF与AB交于点G，
∵FG⊥CD，AB∥CD，
∴CH⊥AB，
∵∠B＝45°，BC＝AD＝2，
∴CH＝，
由折叠知GF＝AD＝2，
∵CG＝1，
∴HF＝CH﹣CF＝CH﹣（GF﹣CG）＝，
∵∠EFG＝∠A＝180°﹣∠B＝135°，
∴∠HFE＝45°，
∴EF＝HF＝＝2﹣．

故选：D．
9．（3分）如图，在⊙O中，弦AB为8mm，圆心O到AB的距离为3mm，则⊙O的半径等于（　　）

A．3mm B．4mm C．5mm D．8mm
【答案】C
【解析】连接OA，
∵OD⊥AB，
∴AD＝AB＝4（mm），
由勾股定理得，OA＝＝5（mm），
故选：C．

10．（3分）函数与y＝﹣kx2+k（k≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由解析式y＝﹣kx2+k可得：抛物线对称轴x＝0；
A、由双曲线的两支分别位于二、四象限，可得k＜0，则﹣k＞0，抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上；本图象与k的取值相矛盾，故A错误；
B、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象符合题意，故B正确；
C、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故C错误；
D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得k＞0，则﹣k＜0，抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，本图象与k的取值相矛盾，故D错误．
故选：B．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）如图，OP∥QR∥ST，若∠2＝100°，∠3＝120°，则∠1＝________．

【答案】40°．
【解析】∵OP∥QR∥ST，∠2＝100°，∠3＝120°，
∴∠2+∠PRQ＝180°，∠3＝∠SRQ＝120°，
∴∠PRQ＝180°﹣100°＝80°，
∴∠1＝∠SRQ﹣∠PRQ＝40°，
12．（3分）分解因式：x3﹣4x＝________．
【答案】x（x+2）（x﹣2）．
【解析】x3﹣4x，
＝x（x2﹣4），
＝x（x+2）（x﹣2）．
13．（3分）设x≥0，y≥0，且2x+y＝6，则μ＝x2+2xy+y2﹣3x﹣2y的最小值是________．
【答案】0．
【解析】由题意得：x≥0，y＝6﹣2x≥0，
解得：0≤x≤3．
∵μ＝x2+2xy+y2﹣3x﹣2y
＝x2+2x（6﹣2x）+（6﹣2x）2﹣3x﹣2（6﹣2x）
＝x2﹣11x+24
＝﹣，
∴当x≤ 时，y随x的增大而减小，
故当x＝3时，μ的最小值为﹣＝0．
14．（3分）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ACB等于________．

【答案】．
【解析】作CD⊥AB于点D，作AE⊥BC于点E，
由已知可得，AC＝＝，AB＝5，BC＝＝5，CD＝3，
∵，
∴，
解得AE＝3，
∴CE＝＝＝1，
∴cos∠ACB＝＝＝，

15．（3分）已知圆锥的底面半径为5cm，侧面积为65πcm2，圆锥的母线是________cm．
【答案】解得R＝13cm．
【解析】设母线长为R，则：65π＝π×5R，
16．（3分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，F是线段OD上的动点（点F不与点O，D重合），连接CF，过点F作FG⊥CF分别交AC，AB于点H，G，连接CG交BD于点M，作OE∥CD交CG于点E，EF交AC于点N．有下列结论：①当BG＝BM时，AG＝BG；②＝；③当GM＝HF时，CF2＝CN•BC；④CN2＝BM2+DF2．其中正确的是________（填序号即可）．

【答案】①③④．
【解析】如图1中，过点G作GT⊥AC于T．
∵BG＝BM，
∴∠BGM＝∠BMG，
∵∠BGM＝∠GAC+∠ACG，∠BMG＝∠MBC+∠BCM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠GAC＝∠MBC＝45°，AC＝BC，
∴∠ACG＝∠BCG，
∵GB⊥CB，GT⊥AC，
∴GB＝GT，
∵＝＝＝＝，
∴AG＝BG，故①正确，
假设＝成立，
∵∠FOH＝∠COM，
∴△FOH∽△COM，
∴∠OFH＝∠OCM，显然这个条件不成立，故②错误，
如图2中，过点M作MP⊥BC于P，MQ⊥AB于Q，连接AF．
∵∠OFH+∠FHO＝90°，∠FHO+∠FCO＝90°，
∴∠OFH＝∠FCO，
∵AB＝CB，∠ABF＝∠CBF，BF＝BF，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴AF＝CF，∠BAF＝∠BCF，
∵∠CFG＝∠CBG＝90°，
∴∠BCF+∠BGF＝180°，
∵∠BGF+∠AGF＝180°，
∴∠AGF＝∠BCF＝∠GAF，
∴AF＝FG，
∴FG＝FC，
∴∠FCG＝∠BCA＝45°，
∴∠ACF＝∠BCG，
∵MQ∥CB，
∴∠GMQ＝∠BCG＝∠ACF＝∠OFH，
∵∠MQG＝∠FOH＝90°，FH＝MG，
∴△FOH≌△MQG（AAS），
∴MQ＝OF，
∵∠BMP＝∠MBQ，M⊥AB，MP⊥BC，
∴MQ＝MP，
∴MP＝OF，
∵∠CPM＝∠COF＝90°，∠PCM＝∠OCF，
∴△CPM≌△COF（AAS），
∴CM＝CF，
∵OE∥AG，OA＝OC，
∴EG＝EC，
∵△FCG是等腰直角三角形，
∴∠CEN＝45°，
∴∠CEN＝∠CBM，
∵∠FCN＝∠BCM，
∴△BCM∽△FCN，
∴＝，
∴CF2＝CB•CN，故③正确，
如图3中，将△CBM绕点C顺时针旋转90°得到△CDW，连接FW．则CM＝CW，BM＝DW，∠MCW＝90°，∠CBM＝∠CDW＝45°，
∵∠FCG＝∠FCW＝45°，CM＝CW，CF＝CF，
∴△CFM≌△CFW（SAS），
∴FM＝FW，
∵∠FDW＝∠FDC+∠CDW＝45°+45°＝90°，
∴FW2＝DF2+DW2，
∴FM2＝BM2+DF2，故④正确，
故答案为：①③④．

三．解答题（共9小题，满分102分）
17．（9分）解方程组
（1）
（2）．
【答案】见解析
【解析】（1），
把①代入②得：3x+2x﹣4＝1，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：y＝﹣2，
则方程组的解为；
（2）方程组整理得：，
①×2﹣②得：3y＝9，
解得：y＝3，
把y＝3代入②得：x＝5，
则方程组的解为．
18．（9分）已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B．求证：△ABC≌△CDE．

【答案】见解析
【解析】证明：∵AC∥DE，
∴∠ACB＝∠E，∠ACD＝∠D，
∵∠ACD＝∠B，
∴∠D＝∠B，
在△ABC和△EDC中，
∴△ABC≌△CDE（AAS）．
19．（10分）随着手机APP技术的迅猛发展，人们的沟通方式更便捷、多样．某校数学兴趣小组为了解某社区20～60岁居民最喜欢的沟通方式，针对给出的四种APP（A微信、BQQ、C钉钉、D其他）的使用情况，对社区内该年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人必选且只能选择其中一项）．根据调查结果绘制了如图不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）参与问卷调查的总人数是________；
（2）补全条形统计图；
（3）若小强和他爸爸要在各自的手机里安装A，B，C三种APP中的一种，用树状图或列表法求他俩选择同一种APP的概率．

【答案】见解析
【解析】（1）（120+80）÷40%＝500（人），
即参与问卷调查的总人数为500人，
故答案为：500人；
（2）500×15%﹣15＝60（人），
补全条形统计图如图所示：

（3）根据题意列表如下：

共有9个等可能的结果，其中小强和他爸爸选择同一种APP的情况有3种，
∴小强和他爸爸选择同一种APP的概率为＝．
20．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．
（1）尺规作图：作∠B的平分线BD交AC于点D；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若DC＝2，求AC的长．

【答案】见解析
【解析】（1）如图射线BD即为所求；

（2）∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠A＝∠ABD＝∠DBC＝30°，
∴BD＝2CD＝4，
∴AD＝4，
∴AC＝AD+CD＝4+2＝6．
21．（12分）某县为落实“精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成：若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作完成．则甲乙两队合作完成该工程需要多少天？
【答案】见解析
【解析】（1）设这项工程的规定时间是x天，则甲队单独施工需要x天完工，乙队单独施工需要1.5x天完工，
依题意，得：+＝1，
解得：x＝30，
经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意．
答：这项工程的规定时间是30天．
（2）由（1）可知：甲队单独施工需要30天完工，乙队单独施工需要45天完工，
1÷（+）＝18（天）．
答：甲乙两队合作完成该工程需要18天．
22．（12分）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（2，﹣6），且与反比例函数y＝﹣的图象交于点B（a，4）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）将直线AB向上平移10个单位后得到直线l：y1＝k1x+b1（k1≠0），l与反比例函数y2＝的图象相交，求使y1＜y2成立的x的取值范围．
【答案】见解析
【解析】（1）∵反比例函数y＝﹣的图象过点B（a，4），
∴4＝﹣，解得：a＝﹣3，
∴点B的坐标为（﹣3，4）．
将A（2，﹣6）、B（﹣3，4）代入y＝kx+b中，
，解得：，
∴一次函数的解析式为y＝﹣2x﹣2．

（2）直线AB向上平移10个单位后得到直线l的解析式为：y1＝﹣2x+8．
联立直线l和反比例函数解析式成方程组，
，解得：，，
∴直线l与反比例函数图象的交点坐标为（1，6）和（3，2）．
画出函数图象，如图所示．
观察函数图象可知：当0＜x＜1或x＞3时，反比例函数图象在直线l的上方，
∴使y1＜y2成立的x的取值范围为0＜x＜1或x＞3．

23．（12分）函数y＝ax2（a≠0）的图象与直线y＝2x﹣3交于点（1，b）．
（1）求a和b的值．
（2）求抛物线y＝ax2的解析式，并求出顶点坐标和对称轴．
（3）求抛物线与直线y＝﹣2的两个交点及顶点所构成的三角形的面积．
【答案】见解析
【解析】（1）∵直线y＝2x﹣3过点（1，b），
∴b＝2﹣3＝﹣1，
∵y＝ax2过点（1，﹣1），
∴a＝﹣1．

（2）抛物线的解析式为y＝﹣x2，顶点坐标（0，0），对称轴x＝0．

（3）由，解得或，
不妨设A（0，0），B（，﹣2），C（﹣，﹣2），
∴S△ABC＝×2×2＝2．
24．（14分）如图，已知在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝4，AD＝3，sin∠BCD＝，点P是对角线BD上一动点，过点P作PH⊥CD，垂足为H．
（1）求证：∠BCD＝∠BDC；
（2）如图1，若以P为圆心，PB为半径的圆和以H为圆心、HD为半径的圆外切时，DP的长；
（3）如图2，点E在BC延长线上，且满足DP＝CE，PE交DC于点F，若△ADH和△ECF相似，求DP的长．
【答案】见解析
【解析】（1）作DQ⊥BC，
∵BQ＝AD＝3，DQ＝AB＝4，
∴CD＝＝2，CQ＝2，
∴BC＝5＝BD，
∴∠BCD＝∠BDC；

（2）设DP＝x，则DH＝x，PH＝x，BP＝5﹣x．
当⊙P与⊙H外切时，PH＝DH+BP，
即x＝x+5﹣x，
解得：x＝；

（3）作PM∥BE．
则PM＝DP＝x，DH＝HM＝x，
由＝＝1，CF＝FM＝﹣x，
当△ADH∽△FCE时，，
即＝，
解得：x＝﹣10（舍去）．
当△ADH∽△ECF时，＝，
即＝，
解得：x＝．
∴DP的长是．

25．（14分）（1）【学习心得】
于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．

例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝________．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的数．
（3）【问题拓展】
如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是________．
【答案】见解析
【解析】（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，
∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上，
∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，
∴∠BDC＝∠BAC＝45°，
故答案是：45；

（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴点A、B、C、D共圆，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵∠BDC＝25°，
∴∠BAC＝25°，

（3）如图3，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1＝∠2，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，
∴∠1+∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，
取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH＝AO＝AB＝1，
在Rt△AOD中，OD＝＝＝，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值＝OD﹣OH＝﹣1．
（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小）
故答案为：﹣1．