高中同步新教材选择性必修第一册(人教A版)数学-第一章-空间向量与立体几何-空间向量基本定理.docx

第一章　空间向量与立体几何
1.2　空间向量基本定理
基础过关练
题组一　空间向量基本定理及相关概念的理解
1.(2022黑龙江大庆铁人中学月考)下列结论错误的是(　　)
A.若三个非零向量能构成空间的一个基底,则它们不共面
B.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则这两个向量共线
C.若a,b是两个不共线的向量,且c=λa+μb(λ,μ∈R且λ,μ≠0),则a,b,c可构成空间的一个基底
D.若OA,OB,OC不能构成空间的一个基底,则O,A,B,C四点共面
2.(2023黑龙江哈九中月考)已知点O,A,B,C为空间中不共面的四点,且向量a=OA+OB+OC,向量b=OA+OB−OC,则不能与a,b共同构成空间的一个基底的向量是(　　)
A.OA　　　　B.OB
C.OC　　　　D.以上都不能
3.已知M,A,B,C四点互不重合且无三点共线,O为空间中任意一点,则能使向量MA,MB,MC构成空间的一个基底的关系是(　　)
A.OM=13OA+13OB+13OC
B.MA=MB+MC
C.OM=OA+OB+OC
D.MA=2MB−MC
4.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:①{a,b,x};②{x,y,z};③{b,c,z};④{x,y,a+b+c},其中可以作为空间的基底的向量组有(　　)
A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个
题组二　空间向量基本定理的应用——用空间的基底表示空间向量
5.(2022安徽皖北县中联盟联考)在空间四边形ABCD中,AB=a,AC=b,AD=c,点M在AC上,且AC=4MC,N为BD的中点,则MN=(　　)

A.12a-34b+12c　　　　B.12a-23b-12c
C.-12a-34b-12c　　　　D.-12a+23b-12c
6.(2022河北石家庄期末)如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,AD=b,AA1=c,点M是A1D1的中点,点N是CA1上的点,且CN∶CA1=1∶4,则向量MN可表示为(　　)

A.12a+b+c　　　　B.14a+14b+c
C.14a-38b-14c　　　　D.34a+14b-34c
7.(2022四川雅安期末)正三棱锥P-ABC中,G是△ABC的重心,D是PG上一点,且PD=DG,若PD=xPA+yPB+zPC,则x,y,z的值分别为(　　)
A.56,13,23　　　　B.16,16,16
C.16,13,13　　　　D.13,16,13
8.(2023河南洛阳一高期末)已知e1,e2,e3为不共面的三个向量,a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3,若d=αa+βb+λc,则α,β,λ的值分别为　　　　　　　. 
题组三　利用空间向量基本定理解决立体几何问题
9.(2022浙江金衢六校联盟期末)在化学中,若粒子(原子、离子、分子等)在空间按一定规律呈周期性重复排列,则它们构成的固体物质称为晶体.在结构化学中,可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位,这个基本单位叫做晶胞.已知钙(Ca)、钛(Ti)、氧(O)可以形成如图所示的立方体晶胞(其中Ti原子位于晶胞的中心,Ca原子位于顶点位置,O原子位于棱的中点),则图中原子连线BF与B1E所成角的余弦值为　　　　. 

10.(2022河北石家庄藁城新冀明中学月考)如图,在正四面体ABCD中,M,N分别为棱BC,AB的中点,设AB=a,AC=b,AD=c,用a,b,c表示向量DM,则DM=　　　　　　,异面直线DM与CN所成角的余弦值为　　　　. 

11.(2023安徽滁州定远育才学校月考)如图,在棱长为1的正四面体OABC中,M是棱BC的中点,点N在线段OM上,点P在线段AN上,且MN=12ON,AP=34AN.
(1)用向量OA,OB,OC表示AN;
(2)求|OP|.

12.(2022黑龙江绥化肇东四中期中)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=90°,BC=2,CC1=4,点E在棱BB1上,EB1=1,D,F,G分别为棱CC1,B1C1,A1C1的中点,EF与B1D相交于点H.求证:
(1)B1D⊥平面ABD;
(2)平面EFG∥平面ABD.

答案与分层梯度式解析
第一章　空间向量与立体几何
1.2　空间向量基本定理
基础过关练
1.C
2.C
3.C
4.C
5.A
6.D
7.B

1.C　易知选项A中结论正确;对于选项B,三个非零向量不共面时可以构成空间的一个基底,若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则这三个向量共面,则已知的两个向量共线,所以选项B中结论正确;因为c=λa+μb(λ,μ∈R且λ,μ≠0),所以a,b,c共面,不能构成空间的一个基底,所以选项C中结论错误;因为OA,OB,OC共起点,所以若O,A,B,C四点不共面,则OA,OB,OC必能构成空间的一个基底,所以选项D中结论正确.故选C.
2.C　OC=12(OA+OB+OC)-12(OA+OB−OC)=12(a-b),∴OC与a,b共面,
∴OC不能与a,b共同构成空间的一个基底.
易知OA,OB均能与a,b共同构成空间的一个基底.故选C.
3.C　只有不共面的向量才可以构成空间的一个基底.对于A,由OM=x OA+y OB+z OC(x+y+z=1),知M,A,B,C四点共面,故MA,MB,MC共面;对于B,D,由共面向量定理知MA,MB,MC共面.故选C.
4.C　借助长方体进行判断,如图,可知向量a,b,x共面,x,y,z不共面,b,c,z不共面,x,y,a+b+c不共面,故选C.

方法归纳　判断给出的某一个向量组中的三个向量能否构成基底,关键是要判断它们是否共面,如果从正面判断难以入手,那么常用反证法或借助一些常见的几何图形进行判断.
5.A　因为AC=4MC,N为BD的中点,
所以MN=MC+CB+BN=14AC+(AB−AC)+12(AD−AB)=12AB−34AC+12AD=12a-34b+12c.故选A.
6.D　因为在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M是A1D1的中点,点N是CA1上的点,且CN∶CA1=1∶4,所以MN=MA1+A1N=−12AD+34A1C=−12AD+34(AC−AA1)=-12AD+34(AB+AD−AA1)=34AB+14AD−34AA1=34a+14b-34c,故选D.
7.B　因为G是△ABC的重心,
所以AG=13AB+13AC=13(PB−PA)+13(PC−PA)=13PB+13PC−23PA,
因为D是PG上一点,且PD=DG,所以PD=12PG,
因为PG=PA+AG,
所以PD=12PG=12PA+12AG=12PA+1213PB+13PC−23PA=12PA+16PB+16PC−13PA=16PA+16PB+16PC,所以x=y=z=16.故选B.
8.答案　52,-1,-12
解析　由题意知e1+2e2+3e3=α(e1+e2+e3)+β(e1+e2-e3)+λ(e1-e2+e3)=(α+β+λ)e1+(α+β-λ)e2+(α-β+λ)e3,
∴α+β+λ=1,α+β−λ=2,α−β+λ=3,∴α=52,β=-1,λ=-12.
9.答案　15
解析　设立方体的棱长为a(a>0).取{A1B1,A1D1,A1A}为空间的一个基底,其中<A1B1,A1D1>=90°,<A1B1,A1A>=90°,<A1A,A1D1>=90°,
则BF=AF−AB=12AD−AB=12A1D1−A1B1,
B1E=B1B+BE=A1A+12A1D1.
设BF与B1E所成的角为θ,则cos θ=|cos<BF,B1E>|=|BF·B1E||BF||B1E|=14A1D1214A1D12+A1B12×14A1D12+A1A2=14a254a2=15,∴BF与B1E所成角的余弦值为15.
10.答案　12a+12b-c;16
解析　连接AM,则DM=DA+AM=−AD+12(AB+AC)=12a+12b-c,CN=AN−AC=12AB−AC=12a-b.
设正四面体ABCD的棱长为1,
则|a|=|b|=|c|=1,a·b=a·c=b·c=12.
设异面直线DM与CN所成的角为θ,则cos θ=|cos<DM,CN>|=12a+12b−c·12a−b32×32=14a2−12b2−14a·b−12a·c+b·c34=1834=16.
11.解析　(1)AN=AO+ON=−OA+23OM=−OA+13OB+13OC.
(2)OP=OA+AP=OA+34AN=OA+34−OA+13OB+13OC=14OA+14OB+14OC,
∴|OP|2=116(OA+OB+OC)2=116(OA2+OB2+OC2+2OA·OB+2OA·OC+2OB·OC)=1161+1+1+2×1×1×12×3=38,∴|OP|=64.
12.证明　(1)易得B1D=B1C1+C1D=B1C1+12B1B,BD=BC+CD=B1C1−12B1B,
∴B1D·BA=B1C1+12B1B·B1A1=0,
B1D·BD=B1C1+12B1B·B1C1−12B1B=B1C12−14B1B2=0,∴B1D⊥BA,B1D⊥BD,又BA,BD⊂平面ABD,BA∩BD=B,∴B1D⊥平面ABD.
(2)连接B1G.易得EG=B1G−B1E=12(B1C1+B1A1)-14B1B=12B1C1+12B1A1−14B1B,FG=12B1A1,
∴B1D·EG=B1C1+12B1B·12B1C1+12B1A1−14B1B=12B1C12−18B1B2=0,
B1D·FG=B1C1+12B1B·12B1A1=0,
∴B1D⊥EG,B1D⊥FG,
又EG,FG⊂平面EFG,EG∩FG=G,
∴B1D⊥平面EFG.又由(1)知B1D⊥平面ABD,平面ABD与平面EFG不重合,∴平面EFG∥平面ABD.

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