20届高考数学一轮(江苏版)习题-第4讲函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用.doc

第4讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
一、填空题
1．(2016·全国Ⅱ卷改编)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为________．
解析　由题意将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y＝2sin，由2x＋＝kπ＋得函数的对称轴为x＝＋(k∈Z)．
答案　x＝＋(k∈Z)
2．(2017·衡水中学金卷)若函数y＝sin(ωx－φ)(ω>0，|φ|<)在区间上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是________．

解析　由题图可知，T＝2＝π，所以ω＝＝2，又sin＝0，所以－φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝－kπ(k∈Z)，而|φ|<，所以φ＝.
答案　2，
3．(2017·苏北四市调研)如图，已知A，B分别是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB＝，则该函数的周期是________．

解析　设函数的周期为T，由图象可得A，B，则·＝－3＝0，解得T＝4.
答案　4
4．(2017·南京师大附中、淮阴中学、海门中学、天一中学四校联考)将函数y＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到函数y＝f(x)的图象，若函数f(x)的图象过原点，则φ＝________.
解析　将函数y＝sin(2x＋φ)(0<φ<π)的图象沿x轴向左平移个单位后，得到函数f(x)＝sin＝sin的图象，若函数f(x)的图象过原点，则f(0)＝sin＝0，＋φ＝kπ，k∈Z，φ＝kπ－，k∈Z，又0<φ<π，则φ＝.
答案　
5．(2017·南京调研)如图，它是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈[0,2π))图象的一部分，则f(0)的值为________．

解析　由函数图象得A＝3，＝2[3－(－1)]＝8，解得ω＝，所以f(x)＝3sin，又因为(3,0)为函数f(x)＝3sin的一个下降零点，所以×3＋φ＝(2k＋1)π(k∈Z)，解得φ＝＋2kπ(k∈Z)，又因为φ∈(0，π)，所以φ＝，所以f(x)＝3sin，则f(0)＝3sin＝.
答案　
6．(2017·龙岩模拟)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃.
解析　因为当x＝6时，y＝a＋A＝28；
当x＝12时，y＝a－A＝18，所以a＝23，A＝5，
所以y＝f(x)＝23＋5cos，
所以当x＝10时，f(10)＝23＋5cos
＝23－5×＝20.5.
答案　20.5
7．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为2，且过点，则函数f(x)的解析式为________．
解析　据已知两个相邻最高和最低点距离为2，可得＝2，解得T＝4，故ω＝＝，
即f(x)＝sin.又函数图象过点，
故f(2)＝sin＝－sin φ＝－，
又－≤φ≤，
解得φ＝，故f(x)＝sin.
答案　f(x)＝sin
8．函数f(x)＝3sinx－logx的零点的个数是________．
解析　函数y＝3sinx的周期T＝＝4，由logx＝3，可得x＝.由logx＝－3，可得x＝8.在同一平面直角坐标系中，作出函数y＝3sinx和y＝logx的图象(如图所示)，易知有5个交点，故函数f(x)有5个零点．

答案　5
二、解答题
9．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos，其中x∈R，ω＞0.
(1)当ω＝1时，求f的值；
(2)当f(x)的最小正周期为π时，求f(x)在上取得最大值时x的值．
解　(1)当ω＝1时，f＝sin ＋cos
＝＋0＝.
(2)f(x)＝sin ωx＋cos
＝sin ωx＋cos ωx－sin ωx
＝sin ωx＋cos ωx＝sin.
∵＝π，且ω＞0，得ω＝2，∴f(x)＝sin.
由x∈，得2x＋∈，
∴当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝1.
10．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻最高点的距离为π.
(1)求f的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间．
解　(1)因为f(x)的图象上相邻最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.
又f(x)的图象关于直线x＝对称，所以2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，因为－≤φ＜，所以k＝0，
所以φ＝－＝－，所以f(x)＝sin，
则f＝sin＝sin ＝.
(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到
f的图象，
所以g(x)＝f＝sin
＝sin.
当2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减．
因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
11．(2017·南京模拟)设函数f(x)＝sin，给出下列结论：
①f(x)的图象关于直线x＝对称；
②f(x)的图象关于点对称；
③f(x)的最小正周期为π，且在上为增函数；
④把f(x)的图象向右平移个单位，得到一个偶函数的图象．
其中正确的是________(填序号)．
解析　对于函数f(x)＝sin，当x＝时，
f＝sin ＝，故①错；当x＝时，
f＝sin ＝1，故不是函数的对称点，故②错；函数的最小正周期为T＝＝π，当x∈时，
2x＋∈，此时函数为增函数，故③正确；
把f(x)的图象向右平移个单位，得到g(x)＝sin＝sin 2x，函数是奇函数，故④错．
答案　③
12．(2017·泰州一模)已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．
解析　当ω>0时，－ω≤ωx≤ω，由题意知－ω≤－，即ω≥；当ω<0时，ω≤ωx≤－ω，
由题意知ω≤－，∴ω≤－2.
综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪.
答案　(－∞，－2]∪
13．(2015·湖南卷)已知ω>0，在函数y＝2sin ωx与y＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω＝________.
解析　由得sin ωx＝cos ωx，
∴tan ωx＝1，ωx＝kπ＋ (k∈Z)．
∵ω>0，∴x＝＋ (k∈Z)．
设距离最短的两个交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，不妨取x1＝，x2＝，则|x2－x1|＝＝.
又结合图形知|y2－y1|＝＝2，
且(x1，y1)与(x2，y2)间的距离为2，
∴(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝(2)2，
∴2＋(2)2＝12，∴ω＝.
答案　
14．(2017·扬州中学质检)如图，函数y＝2cos(ωx＋φ)的部分图象与y轴交于点(0，)，最小正周期是π.

(1)求ω，φ的值；
(2)已知点A，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝，x0∈时，求x0的值．
解　(1)将点(0，)代入y＝2cos(ωx＋φ)，
得cos φ＝，
∵0≤φ≤，∴φ＝.
∵最小正周期T＝π，且ω>0，∴ω＝＝2.
(2)由(1)知y＝2cos.
∵A，Q(x0，y0)是PA中点，y0＝，
∴P.
又∵点P在y＝2cos的图象上，
∴2cos＝，∴cos＝－.
∵x0∈，∴4x0＋∈，
∴4x0＋＝2π＋π－或4x0＋＝2π＋π＋，
∴x0＝或.