《备战2023年高考数学一轮复习》课时作业-第七章-第1节-第一课时-立体图形及其直观图、柱锥台的表.docx

第1节　立体图形及其直观图、简单几何体的表面积与体积
第一课时　立体图形及其直观图、柱锥台的表面积与体积

知识点、方法
基础巩固练
综合运用练
应用创新练
空间几何体的几何特征、直观图
2,3,4
10

空间几何体的体积与表面积
1,5,6,8,9
12,13

折叠与展开问题
7
11

综合问题

14,15

1.《算术书》竹简于二十世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的数学著作,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,令相乘也,又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出圆锥的底面周长l与高h,计算其体积V的近似公式V=136l2h,它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取3,那么,近似公式V≈25942l2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取(　C　)
A.227 B.258 C.15750 D.355113
解析:V=13πr2h=13π·(l2π)2h=112πl2h.由112π≈25942,得π≈15750.故选C.
2.(多选题)(2021·山东潍坊调研)下列关于空间几何体的叙述正确的是(　CD　)
A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B.用平面截圆柱得到的截面只能是圆或矩形
C.长方体是直平行六面体
D.存在每个面都是直角三角形的四面体
解析: A.当顶点在底面的射影是正多边形的中心时才是正棱锥,不正确;B.当平面与圆柱的母线平行或垂直时,截得的截面才为矩形或圆,否则为椭圆或椭圆的一部分,不正确;C正确;D正确,如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1-ABC,四个面都是直角三角形.故选CD.

3.(多选题)如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体可以是(　AC　)

A.四棱柱 B.四棱台 C.三棱柱 D.三棱锥
解析:根据题图,因为有水的部分始终有两个平面平行,而其余各面都易证是平行四边形,因此形成的几何体是四棱柱或三棱柱.故选AC.
4.如图,一个水平放置的平面图形的直观图(斜二测画法)是一个底角为45°、腰和上底长均为2的等腰梯形,则这个平面图形的面积是(　D　)

A.2+2 B.1+2
C.4+22 D.8+42
解析:由已知直观图根据斜二测画法规则画出原平面图形,如图所示.

由于O′D′=2,D′C′=2,
所以OD=4,DC=2,
在题图中过D′作D′H⊥A′B′(图略),易知A′H=2sin 45°=2,
所以AB=A′B′=2A′H+DC=22+2,
故平面图形的面积为S=DC+AB2·AD=8+42.故选D.
5.(2021·山东聊城模拟)在《九章算术》中,将有三条棱互相平行且有一个面为梯形的五面体称为“羡除”.现有一个羡除如图所示,DA⊥平面ABFE,四边形ABFE,CDEF均为等腰梯形,AB∥CD∥EF,AB=AD=4,EF=8,点E到平面ABCD的距离为6,则这个羡除的体积是(　C　)

A.96 B.72 C.64 D.58
解析:如图,将多面体分割为两个三棱锥D-AGE,C-HBF和一个直三棱柱GAD -HBC.

这个羡除的体积为V=2×13×12×2×6×4+12×6×4×4=64.故选C.
6.(2021·河南郑州调研)现有同底等高的圆锥和圆柱,已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形,则圆锥的侧面积为(　D　)
A.3π B.3π2 C.5π2 D.5π
解析:设底面圆的半径为R,圆柱的高为h,依题意2R=h=2,所以R=1.
所以圆锥的母线为l=ℎ2+R2=22+1=5,因此S圆锥侧=πRl=1×
5π=5π.故选D.
7.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为a,底面边长为b,一只蚂蚁从点A出发沿每个侧面爬到A1,路线为A→M→N→A1,则蚂蚁爬行的最短路程是(　A　)

A.a2+9b2　　　 B.9a2+b2
C.4a2+9b2 D.a2+b2
解析:正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形,矩形的长为3b,宽为a,则其对角线AA1的长为最短路程,因此蚂蚁爬行的最短路程为a2+9b2.故选A.

8.(2020·浙江卷)已知圆锥的侧面积(单位:cm2)为2π,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面半径(单位:cm)是　　　　. 
解析:如图,设圆锥的母线长为l,底面半径为r,

则圆锥的侧面积S侧=πrl=2π,
所以r·l=2.
又圆锥的侧面展开图为半圆,
所以12πl2=2π,
所以l=2,所以r=1.
答案:1
9.如图,在△ABC中,AB=8,BC=10,AC=6,DB⊥平面ABC,且AE∥FC∥BD,BD=3,FC=4,AE=5.求此几何体的体积.

解:法一　如图,取CM=AN=BD,连接DM,MN,DN,用“分割法”把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥.

所以V几何体=V三棱柱+V四棱锥.
由题意知三棱柱ABC-NDM的体积为V1=12×8×6×3=72.
四棱锥D-MNEF的体积为V2=13·S梯形MNEF·DN=13×12×(1+2)×6×8=24,则几何体的体积为V=V1+V2=72+24=96.
法二　用“补形法”把原几何体补成一个直三棱柱,使AA′=BB′=CC′=8,所以V几何体=12V三棱柱=12·S△ABC·AA′=12×24×8=96.

10.(多选题)(2021·山东烟台调研)在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水,将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时,指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状可能是(　ABD　)
A.圆面 B.矩形面
C.梯形面 D.椭圆面或部分椭圆面
解析:将圆柱桶竖放,水面为圆面;将圆柱桶斜放,水面为椭圆面或部分椭圆面;将圆柱桶水平放置,水面为矩形面,但圆柱桶内的水平面不可以呈现出梯形面.故选ABD.
11.(多选题)(2021·湖北武汉模拟)长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别为3,2,1,则(　BC　)
A.长方体的表面积为20
B.长方体的体积为6
C.沿长方体的表面从A到C1的最短距离为32
D.沿长方体的表面从A到C1的最短距离为25
解析:长方体的表面积为2×(3×2+3×1+2×1)=22,A错误.长方体的体积为3×2×1=6,B正确.如图1所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=2,BB1=1,将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开,如图2所示.

连接AC1,则有AC1=52+12=26,即经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时,A到C1的最短距离是26;将侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1展开,如图3所示,连接AC1,则有AC1=32+32=32,即经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时,A到C1的最短距离是32;将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开,如图4所示.

连接AC1,则有AC1=42+22=25,即经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时,A到C1的最短距离是25.因为32<25<26,所以沿长方体表面由A到C1的最短距离是32,C正确,D错误.故选BC.
12.(2021·重庆诊断)一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出,如图,需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住,

罩内充满保护文物的无色气体.已知文物近似于塔形,高1.8 m,体积0.5 m3,其底部是直径为0.9 m的圆形,要求文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3 m,文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2 m,气体每立方米1 000元,求气体的费用最少为(　B　)
A.4 500元 B.4 000元
C.2 880元 D.2 380元
解析:因为文物底部是直径为0.9 m的圆形,文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3 m,所以由正方体与圆的位置关系可知,底面正方形的边长最少为0.9+2×0.3=1.5(m).又文物高1.8 m,文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2 m,所以正四棱柱的高最少为1.8+0.2=2(m),则正四棱柱的体积V=1.52×2=4.5(m3).因为文物的体积为0.5 m3,所以罩内气体的体积为4.5-0.5=4(m3).因为气体每立方米1 000元,所以气体的费用最少为4×1 000=4 000(元).故选B.
13.如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm,高为2 cm,内孔半径为0.5 cm,则此六角螺帽毛坯的体积是　　　　cm3. 

解析:螺帽的底面正六边形的面积为S=6×12×22×sin 60°=63(cm2),正六棱柱的体积为V1=63×2=123(cm3),圆柱的体积为V2=π×0.52×2=π2(cm3),所以此六角螺帽毛坯的体积为V=V1-V2=(123-π2)(cm3).
答案:(123-π2)

14.如图,在正四棱锥P-ABCD中,B1为PB的中点,D1为PD的中点,则棱锥A-B1CD1与棱锥P-ABCD的体积之比是(　A　)

A.1∶4 B.3∶8 C.1∶2 D.2∶3
解析:如图,棱锥A-B1CD1的体积可以看成是正四棱锥P-ABCD的体积减去角上的四个小棱锥的体积得到.

因为B1为PB的中点,D1为PD的中点,所以棱锥B1-ABC的体积和棱锥D1-ACD的体积都是正四棱锥P-ABCD的体积的14,棱锥C-PB1D1的体积与棱锥A-PB1D1的体积之和是正四棱锥P-ABCD的体积的14,则中间剩下的棱锥A-B1CD1的体积VA-B1CD1=VP-ABCD-3×14VP-ABCD=14VP-ABCD,则VA-B1CD1∶VP-ABCD=1∶4.故选A.
15.(2021·广东佛山质检)已知圆锥的顶点为S,底面圆周上的两点A,B满足△SAB为等边三角形,且面积为43,又知圆锥轴截面的面积为8,则圆锥的侧面积为　　　　. 

解析:设圆锥的母线长为l,由△SAB为等边三角形,且面积为43,所以12l2sin π3=43,解得l=4.
又设圆锥底面半径为r,高为h,则由轴截面的面积为8,得rh=8.
又r2+h2=16,解得r=h=22,
所以圆锥的侧面积S=πrl=π·22×4=82π.
答案:82π