专题跟踪检测(四)-“解三角形”大题的考法研究.doc

专题跟踪检测（四） “解三角形”大题的考法研究
1．在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c2＝2abcos C.
(1)若△ABC的面积为S，且满足4S＝c2，求角C的大小；
(2)证明：＝＋.
解：(1)由S＝absin C,4S＝c2，得c2＝2absin C，
又c2＝2abcos C，∴2absin C＝2abcos C，∴tan C＝1.
∵0＜C＜π，∴C＝.
(2)证明：由c2＝2abcos C及正弦定理得：
sin2C＝2sin Asin Bcos C，∴＝.
∵A＋B＝π－C，∴sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，∴＝，∴＝＋.
2．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c,2acos A＝(bcos C＋ccos B)．
(1)求角A；
(2)若b＝2，BC边上的高为3，求c.
解：(1)因为2acos A＝(bcos C＋ccos B)，由正弦定理得2sin Acos A＝(sin Bcos C＋sin Ccos B)，
即2sin Acos A＝sin(B＋C)，
又B＋C＝π－A，所以sin(B＋C)＝sin(π－A)＝sin A，
所以2sin Acos A＝sin A.
而0＜A＜π，sin A≠0，所以cos A＝，所以A＝.
(2)设BC边上的高为h，因为S△ABC＝bcsin A＝ah，
将b＝2，h＝3，sin A＝代入，得a＝.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，
于是2＝(2)2＋c2－2×2×c，
即c2－9c＋18＝0，解得c＝3或c＝6.
3．(2021·葫芦岛一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos2B＋cos2C－cos2A＝1－sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若a＝，求△ABC的面积的最大值．
解：(1)由已知得，sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，
∴由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc，
∴cos A＝＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝.
(2)由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bccos A，即3＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，即bc≤3，
当且仅当b＝c时，等号成立．
∴S△ABC＝bcsin A＝bc≤×3＝.
故△ABC的面积的最大值为.
4．(2022届·湖南五市十校联考)在①2a－c＝2bcos C；②a2＋ c2－b2＝4S，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题目．
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设△ABC的面积为S，已知________．
(1)求tan B的值；
(2)若S＝10，a＝5，求b的值．
解：(1)选择条件①：
∵2a－c＝2bcos C，
∴由正弦定理得2sin A－sin C＝2sin Bcos C，
∴2sin Bcos C＋2cos Bsin C－sin C＝2sin Bcos C，
即2cos Bsin C＝sin C.
又C∈(0，π)，∴sin C≠0，∴cos B＝.
又B∈(0，π)，∴tan B＝1.
选择条件②：
∵a2＋c2－b2＝2accos B＝4S，S＝acsin B，
∴2accos B＝2acsin B，∴tan B＝＝1.
(2)由tan B＝1得sin B＝，cos B＝.
∵S＝10，a＝5，
∴S＝acsin B＝×5c×＝10，解得c＝4.
∴b＝＝＝.
5．(2021·武汉质检)在△ABC中，它的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且B＝，b＝.
(1)若cos Acos C＝，求△ABC的面积；
(2)试问＋＝1能否成立？若能成立，求此时△ABC的周长；若不能成立，请说明理由．
解：(1)由B＝，得A＋C＝，cos(A＋C)＝cos Acos C－sin Asin C，即＝cos Acos C－sin Asin C.
又∵cos Acos C＝，∴sin Asin C＝.
∵＝＝＝＝2，
∴a＝2sin A，c＝2sin C.
∴S△ABC＝×2sin A×2sin C×sin B＝4sin Asin Bsin C＝4××＝.
(2)假设＋＝1能成立，∴a＋c＝ac.
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得6＝a2＋c2＋ac，∴(a＋c)2－ac＝6，∴(ac)2－ac－6＝0，∴ac＝3或－2(舍去)，此时a＋c＝ac＝3.不满足a＋c≥2，∴＋＝1不成立．
6．(2021·沈阳一模)在①sin B－sin C＝sin(A－C)；②＝tan A＋tan B；③2acos A＝bcos C＋ccos B，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的三角形存在，求出b＋c的最大值；若问题中的三角形不存在，请说明理由．
问题：已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，________.
(1)求角A的大小；
(2)求b＋c的取值范围．
解：(1)若选择条件①sin B－sin C＝sin(A－C)，
则sin(A＋C)－sin C＝sin(A－C)，
∴2cos Asin C＝sin C，
∵C∈(0，π)，∴sin C＞0，∴cos A＝，
又A∈(0，π)，∴A＝.
若选择条件②＝tan A＋tan B，
则由正弦定理得＝＋，
∴＝＝，
∵△ABC为锐角三角形，∴sin C＞0，cos B≠0，
∴＝，∴tan A＝，又A∈(0，π)，∴A＝.
若选择条件③2acos A＝bcos C＋ccos B，
则由正弦定理得2sin Acos A＝sin Bcos C＋sin Ccos B，
∴2sin Acos A＝sin(B＋C)＝sin A，
∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，∴cos A＝，∴A＝.
(2)由正弦定理＝＝及A＝，a＝2，
可得b＋c＝(sin B＋sin C)．
又C＝－B且B∈，