研究生张量分析试题第学期样本.doc

硕士课程（考试类）试题
/ 年第 1 学期

课程名称: 张量分析
课程代码: 11000116
开课学院: 能源与动力工程

任课老师签字:

日期: 12 月 16日

上海理工大学硕士课程试题
/ 年第 1 学期 考试课程 张量分析
学 号 姓 名 得 分
一、 如图所表示为笛卡尔直角坐标系（平面）, 和为原坐标系及其单位矢量, 和为新坐标系及其单位矢量, 两坐标系间夹角为, 为经过坐标原点矢经, 其在原、 新坐标系下坐标（分量）分别为和。请用常规方法（非本课程方法）推导出新、 原坐标系间矢径分量关系:

二、 将非定常不可压N.S方程动量方程在任意三维曲线坐标系下展开, 给出各分方程形式, 并统计（说明）分方程中各项及整个分方程由多少项组成。
三、 对于任意二阶张量T和矢量, , 若标量使:

成立。则称λ为特征值, 为主向量（特征向量）; 方向称主方向（特征方向）。
由上定义可得相关λ和分量齐次方程:

（1）

（2）
其中为不变量, 是张量T分量函数。所以, 解方程（2）可求得张量T3个主值, 对于每一个特征值, 可经过方程组（1）求特征矢量三个分量。
由此可推出: 对于每一个λ可得一个。问题是由二阶对称张量性
质: 1.“二阶对称张量T三个主值中有两个相等”; 2. “二阶对称张量T三个主值相同时, 它们所对应三个主方向也必相互垂直”; 3. “二阶对称张量恒有三个相互垂直主方向”
第一: 三个性质相互矛盾。∵一个λ对应一个, ∴“2.” 三个主值相同, 为何会有三个主方向？
第二: 上述性质均是对二阶对称张量, 假如“1.”成立, 说明不一定三个主值相等, 则“1.”与“2.”矛盾。
第三: 假如“3.”成立, 是否说明此时三个主值不一定相等, 不然为何将“2.”作为一个性质。
第四: 三个性质有何关系, 理论上最能说明问题是“2.”, 为何还要给出性质“1. ”和“3. ”
请查阅资料给予解释。
四、 按定义, 表示矢量在基底向量上分解, 称为逆变分量。而又称为在上分量, 那么与有什么关系？既然是在上分量, 为何不能写成？请解释。
五、 以下图所表示, 设{yi}为直角笛卡尔坐标系,{xi}为曲线坐标系,存在下列关系且单值连续可导:

（1）

（2）
p为{yi}任意点, 其矢径为, , 即矢径是函数, 则全微分为:

证实:
为p点沿坐标线｛｝切线。
六、 请网上查找我校王伯年教授相关张量
论文, 就你感爱好部分（各论文或论文
某一部分均可）写出心得体会

注: 1. 每题20分。
2. 四、 五题选一。
3. 试卷（答题）请使用Microsoft Word排版, 公式及符号使用公式编辑器, 格式根据上海理工大学学报要求。