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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢,非线性方程求解,1/76,非线性方程求解目录,1 对分法,2 迭代法,2.1 迭代法基本思想,2.2 迭代法收敛条件,2.3,Steffensen,方法简单迭代 法加速,3,Newton,法与弦截法,3.1,Newton,法,3.2 弦截法,4 抛物线法,2/76,非线性方程求解概述,很多科学计算问题常,归结为求解方程：,3/76,非线性方程求解概述(续）,比如，从曲线,y,=,x,和,y,=,lg x,简单草图可看出方程,lg,x,+,x,=0,有唯一正根,x,*，,不过没有求,x,*,准确值已知方法，即使是对代数方程，要求其准确解也是困难。对于二次方程,ax,2,+,bx+c,=0,，,我们能够用熟悉求根公式：,对于三、四次代数方程，尽管存在求解公式，但并不实用。而对于大于等于五次代数方程，它根不能用方程系数解析式表示，至于普通超越方程，更没有求根公式。所以，为求解一个非线性方程，我们必须依靠某种数值方法来求其近似解。,对于方程（2-1）要求得其准确解普通来说是不可能。,4/76,求方程根近似解几个问题：,求方程根近似解，普通有以下几个问题：,3.,根准确化：,已知一个根粗略近似值后，建立计算方法快要似解逐步准确化，直到满足给定精度为止。,设函数,f,(,x,),在区间,a,b,上连续，严格单调且,f,(,a,),f,(,b,)0，,则在,a,b,内方程,f,(,x,)=0,有且仅有一个实根。,依据此结论，我们能够采取以下两种方法求出根隔离区间。,1.,根存在性：,方程是否有根？假如有根，有几个根？,2.,根隔离：,确定根所在区间，使方程在这个小区间内有且仅有一个根，这一过程称为根隔离，完成根隔离，就可得到方程各个根近似值。,关于根存在性是纯数学问题，不详细介绍，可查阅有关代数学内容。,根隔离主要依据以下结论：,5/76,求根隔离区间两种方法,1.,描图法：,画出,y=,f,(,x,),草图，由,f,(,x,),与,x,轴交点大约位置来确定有根区间。也可利用导函数,f,(,x,),正、负与函数,f,(,x,),单调性关系来确定根大约位置。,例1,求,f,(,x,)=3,x,1,cos,x,=0,有根区间,解：,将方程变形为3,x,1=cos,x,绘出曲线,y,=3,x,1,及,y,=cos,x,，,由图2-1可知，方程只有一个,实根：,y,x,x,*,图2-1,例2,紧接下屏,6/76,例2（续）,2.逐步搜索法：,从区间,a,b,左端点,a,出发，按选定步长,h,一步步向右搜索，若:,则区间,a,+,jh,a,+(,j,+1),h,内必有根。搜索过程也能够从,b,开始，这时应取步长,h,0,f,(0)=10,f,(3)=,260,所以仅有二个实根，分别位于(0,3),(3,)内。又因,f,(4)=10,所以，二个隔根区间确定为(0,3),(3,4)。,7/76,1 对分法,设,f,(,x,),在区间,a,b,上连续，严格单调，且,f,(,a,),f,(,b,)0，,不妨设,f,(,a,)0，,则方程,f,(,x,)=0,在,a,b,内存在唯一实根，对分法基本思想是：用对分区间方法，经过判别函数,f,(,x,),在每个对分区间中点符号，逐步将有根区间缩小，最终求得一个含有相当准确程度近似根。详细步骤为:,8/76,对分法（续）,若每次对分区间时所取区间中点都不是根，则上述过程将无限地进行下去，当,n,时，区间将最终收缩为一点,x,*，,显然,x,*,就是所求方程根。,9/76,对分法误差预计,作为,x,*,近似值，则误差为：,只要,n,足够大（即区间对分次数足够多），,x,n,误差就可足够小，且只要,f,(,x,),连续，对分区间总是收敛。,式（2-2）不但能够预计对分区间法误差，而且能够给定误差限,预计出对分区间次数，因为由式（2-2）有：,若取区间,a,n,b,n,中点：,10/76,对分法举例,例3,解：,因为,f,(,x,),连续且,f,(,x,)=3,x,2,+10 0(,x,(,)，,故,f,(,x,),在(,)上单调增加,而,f,(1)=,9 0,所以,原方程在（1，2）内有唯一实根。,11/76,例3(续),N,a,n,b,n,x,n,f,(,x,n,),0,1,2,1.5,-1.625,1,1.5,2,1.75,2.859375,2,1.5,1.75,1.625,0.54101563,3,1.5,1.625,1.5625,-0.56030273,4,1.5625,1.625,1.59375,-0.01431274,5,1.59375,1.625,1.609375,0.26217270,6,1.59375,1.6093750,1.6015625,0.12363672,7,1.59375,1.6015625,1.5976562,0.05458885,8,1.59375,1.5976562,1.5957031,0.0979,9,1.59375,1.5957031,1.5947266,0.00289896,10,1.59375,1.5947266,1.5942383,-0.00570803,11,1.5942383,1.5947266,1.5944824,-0.00140482,12,1.5944824,1.5947266,1.5946045,0.00074700,13,1.5944824,1.5946045,1.5945435,-0.00032893,14,1.5945436,1.5946046,1.5945741,表2-1,12/76,对分法优缺点,对分法优点是计算简单，方法可靠，轻易预计误差。,但它收敛较慢，不能求偶次重根，也不能求复根,。,所以，普通在求方程近似根时，极少单独使用，惯用于为其他高速收敛算法（如牛顿法）提供初值。,13/76,2 迭代法,迭代法,是求解方程,f,(,x,)=0,根一个主要方法。它是利用同一个迭代公式，逐次迫近方程根，使其得到满足预先给定精度要求近似值。,14/76,2.1 迭代法基本思想,迭代法是一个主要逐次迫近法，,其基本思想是,：,设方程,f,(,x,)=0,在区间,a,b,内有一根,x,*，,将方程化为等价方程,x,=,(,x,)，,并在,a,b,内任取一点,x,0,作为初始近似值，然后按迭代公式计算：,产生迭代序列,x,0,x,1,x,n,显然，若,x,n,收敛于,x,*，,(,x,),在,x,*,处连续，就有:,这种求根方法称为,迭代法,，,式（2-3）称为,迭代格式,，,(,x,),称为,迭代函数,，,x,0,称为,迭代初值,，,x,n,称为,迭代序列,假如迭代序列收敛，则称迭代格式（2-3）,收敛,，不然称为,发散,。,即：,x,*,是方程,f,(,x,)=0,解。,故：当,n,充分大时，可取,x,n,作为方程近似解。,满足,x,=,(,x,),点,x,也称为,不动点,15/76,迭代法举例,例4,解：,轻易验证，,方程在1,2内,有根，取,x,0,=1.5,16/76,例4（续）,n,x,n,n,x,n,0,1.5,8,1.5944934,1,1.6326531,9,1.5945900,2,1.5790858,10,1.5945508,3,1.6008309,11,1.5945667,4,1.596,12,1.5945603,5,1.5955928,13,1.5945629,6,1.5941442,14,1.5945618,7,1.5947315,15,1.5945622,表2-2,17/76,迭代法举例续,例5,解：,对方程进行变换，可得以下三种等价形式：,分别按以上三种,形式建立迭代格式，,并取,x,0,=1,进行迭代,计算，结果以下：,例5计算结果表明：,将一方程化为等价方程方法很多，由此可结构许多不一样迭代函数，得到各种迭代格式。而它们所产生迭代序列则可能收敛，也可能发散，可能收敛很快，也可能收敛很慢,。,迭代法收敛性取决于迭代函数在方程根邻近性态。,18/76,迭代法举例续,例,6,用迭代法求方程,在区间,2,，,3,上根，并讨论迭代敛散性。,解,因为,在区间,2,3,上连续，且,，所以，方程在,2,3,上有根。,若把方程改写成以下三种等价便于迭代形式：,从而可得出对应三个迭代格式：,若取相同初值,x,0,=,2,，经分别迭代计算得到结果,列于下表中：,19/76,迭代法举例续,例,6,续,k,0,1,2,3,4,5,迭代（1）,2,2.08084,2.092351,2.094217,2.094501,2.094543,迭代（2）,2,2.121320,2.087348,2.096517,2.094017,2.094697,迭代（3）,2,1,5,125,1953005,7.44920,710,18,从表中数据改变趋势看，迭代格式（,1,）和（,2,）得到序列,可能是收敛，而迭代格式（,3,）可能是发散。,实际上，由迭代法收敛充分条件可知：,（,1,）,对于迭代格式（,1,），其迭代函数为,则,在,2,3,上含有连续一阶导数,单调增加，,于是，当,，满足定理收敛条件（,1,）。,20/76,迭代法举例续,例,6,续,（,2,）,对于迭代格式（,2,），其迭代函数为,又，,取正值，且单调递减，所以有,即满足定理条件（,2,），从而迭代格式（,1,）收敛。,故,是单调降低,但,显然不满足定理条件（,1,），但若在,2,3,子区间,2,2.5,中考查，,则有,也即满足定理条件（,1,），,又，,在,2,2.5,上取负值且单调递增，,从而有：,即满足定理条件（,2,）,从而迭代格式（,2,）在区间,2,2.5,上收敛。,21/76,例,6,续,（,3,）,对于迭代格式（,3,），其迭代函数为：,在区间,2,3,上有：,从而,在此先补充一个判别迭代法发散充分条件：,若存在,，而当,时，迭代发散。,使,从而迭代格式（,3,）当,时，迭代发散。,22/76,例,7,对方程进行变换，可得以下五种等价形式：,分别按以上五种形式建立迭代格式：,并取,x,0,=1.5,进行迭代计算，结果以下：,23/76,例,7,（续）,表2-,3,k,1,-2.375,(-0.333),1/2,0.559016994,1.069044968,1.196078431,2,-72.56,(发散),1.382987200,1.141637878,1.133020531,3,3.710,5,0.823050593,1.128371045,1.130399871,4,-5,1,10,16,1.311955682,1.130761119,1.130395435,5,(发散),0.933227069,1.130329416,1.130395435,6,1.262386754,1.130407335,(收敛),7,0.997054366,1.130393283,8,1.226542069,1.130395823,24/76,例,7,（续表）,K,=9,10,11,12,13,1.037974814,1.52976,1.065475174,1.181192785,1.084430833,1.130395365,1.130395447,1.130395432,1.130395435,1.130395435,K,=29,30,31,32,33,49,1.127222584,1.133074649,1.128116321,1.132322124,1.128758022,1.130278922,继续计算,K,=50,89,90,109,110,119,1.130494200,1.130395277,1.130395569,1.130395429,1.13039440,1.130395434,=1.130395436,当,K,=120,，,从上表可知：,分别迭代,12,次和,4,次,得到方程,近似根,1.130395435,，,25/76,若选取 作为迭代函数，则,k,为,奇数,时迭代序列单调,增加,，,k,为,偶数,时迭代序列单调,降低,，迭代,120,次方能得到,近似根,1.130395435,。,若选取 作为迭代函数，则迭代序列不收敛。,若选取 作为迭代函数，出现负数开方，,因而无法继续进行迭代。,此例说明，选择迭代函数,基本标准是,，首先必须确保迭代产生迭代序列,x,0,x,1,x,k,在定义域中，以使迭代过程不会中止，其次要求迭代序列收敛而且尽可能收敛得快。,例,7,（续）,26/76,迭代法几何含义,从几何上看，迭代法是将求曲线,y,=,f,(,x,),零点问题化为求曲线,y,=,(,x,),与直线,y,=,x,交点，迭代过程如图,2-2,所表示，从初始点,x,0,出发，沿直线,x,=,x,0,走到曲线,y,=,(,x,)，,得点(,x,0,(,x,0,)，,再沿直线,y,=,(,x,0,),走到直线,y,=,x,，,交点为(,x,1,(x,1),)，,如此继续下去，越来越靠近点(,x,*,x,*)。,y,=,x,y,=,(,x,),x,x,0,x,2,x,*,x,1,x,y,y,=,x,y,=,(,x,),x,2,x,0,x,*,x,1,图2-2,27/76,当然，迭代过程也可能出现图,2-3,所表示情况，此时点(,x,n,x,n,),越来越远离交点(,x,*,x,*)，,迭代序列发散,。,y,y,=,x,y,=,(,x,),x,x,2,x,0,x,*,x,3,x,1,y,=,x,y,=,(,x,),x,x,2,x,0,x,*,x,1,图2-3,由此可见，,使用迭代法必须处理两个问题：一是,迭代格式满足什么条件才能确保收敛；,二是,怎样判别迭代收敛速度，建立收敛快迭代格式。,迭代法几何含义（续）,28/76,2.2 迭代法收敛条件（三大定理）,定理2.1,（压缩映象原理）,设,函数,(,x,),在区间,a,b,上满足条件：,则,方程,x,=,(,x,),在,a,b,内有唯一,根,x,*，,且对任意,初值,x,0,a,b,，,迭代序列：,证实见下屏：,定理,给出了判别迭代收敛充分条件。,2.1,29/76,压缩映象原理证实,由条件（2）易得,(,x,),在,a,b,上连续。,令,(,x,)=,x,(,x,)，,则,(,x,),也在,a,b,上连续，且：,由连续函数介值定理，存在,a,b,，,使得,(,)=0，,即,=,(,)所以方程,x=,(,x,),在,a,b,内有根。,假设方程,x=,(,x,),在,a,b,内有两个根,x,1,*,x,2,*，,由,条件（2）有：,导出矛盾，唯一性得证。,（存在性）,（唯一性）,30/76,对任意,x,0,a,b,，,由迭代公式有：,即对任意初值,x,0,a,b,，,迭代序列,x,n,均收敛到方程根,x,*。,压缩映象原理证实（续1）,（收敛性）,（2,31/76,类似地，对任意正整数,K,，,有：,定理2.1证实中两个误差预计式（2-5）,（2-6）是很有意义。,压缩映象原理证实（续2）,（误差预计公式）,利用,32/76,两个主要误差公式说明,1.,式,（2-5）,说明，在正常情况下，即,L,不太靠近于1（若,L,靠近于1，则收敛速度很慢），,可用相邻两次迭代值之差绝对值来预计误差，控制迭代次数,。,就停顿计算，取,x,n,作为方程近似根。,这种用相邻两次计算结果来预计误差方法，称为,事后预计法,。,即当给定精度,时，假如有,：,33/76,2.,而式,（2-6）,误差预计，称为,事前预计法,，,因为用它能够预计出要到达给定精度,所需次数,n,实际上，由,注意：,定理8.1,给出了判别迭代收敛,充分条件,。,在实际计算时，因为,L,比较难求，而我们所讨,论函数通常是可导函数，所以，,实用收敛条件是用,导数界得到。,见下屏,定理2.2：,两个主要误差公式说明（续）,34/76,迭代法收敛条件之二,定理2.2,（1）对任意,x,a,b,，,有,(,x,),a,b,；,（2）,存在常数0,L,1,超线性收敛,r,=2,平方收敛,设序列,x,n,收敛于,x,*，,若存在正数,r,和,a,使得：,46/76,x,n,r,阶收敛定理,定理2.4,设迭代函数,(,x,),在,x,*,邻近有,r,阶连续导数，且,x,*=,(,x,*)，,而且有,证实：,1）,(,x,),满足收敛定理条件,x,n,x,*；,紧接下屏,47/76,定理2.4（续）,2）利用,Taylor,公式将,(,x,),在,x,*,附近展开,：,这表明：,x,n,是,r,阶收敛。,一阶收敛即为线性收敛，收敛速度较慢，下面想法加速：,48/76,1、,Aitken,加速法,若序列,x,n,线性收敛于,x,*，,可按式：,当,n,充分大时，有：,紧接下屏,49/76,Aitken,加速法（续）,由此式可推导出：,由此可得比值：,50/76,2、,Steffensen,加速收敛式,将,Aitken,加速法,与简单迭代格式,x,n,+1,=,(,x,n,),相结合就得到,Steffensen,加速,收敛式,：,当,n,时，比值中分子趋于0速度比分母趋于0速度快，亦即分子是比分母高阶无穷小，这表明,x,n,比,x,n,更加快地收敛于,x,*,。,51/76,例,8,于是由,x,0,=1.5，,可计算：,继续下去,，在此可,求,x,2,x,3,由此例题可见：,Steffensen,方法收敛很快,，到达了加紧收敛目标。,Steffensen,加速收敛举例,用,Steffensen,方法求方程：,根，取,x,0,=1.5，,误差精度,=10,6,。,52/76,3,Newton,法与弦截法,3.1,Newton,法,将非线性方程线性化，以线性方程解逐步迫近非线性方程解，这就是,Newton,法基本思想,。,设已知方程,f,(,x,)=0,近似根,x,0,，,f,(,x,),在其零点,x,*,邻近一阶连续可微，且,f,(,x,),0，,当,x,0,充分靠近,x,*,时，,f,(,x,),可用,Taylor,公式近似表示为：,则方程,f,(,x,)=0,可用线性方程近似代替，即：,53/76,Newton,法（续）,解此线性方程得：,取此,x,作为原方程新近似值,x,1,，,重复以上步骤，,于是得迭代公式：,按式（2-7）求方程,f,(,x,)=0,近似解称为,Newton,法。,54/76,Newton,法几何意义,如此继续下去，,x,n,+1,为曲线上点(,x,n,f,(,x,n,),处切线与,x,轴交点。所以,Newton,法是用曲线切线与,x,轴交点作为曲线与,x,轴交点近似，故,Newton,法又称为切线法,。,X,x*,x,2,x,1,x,0,Y,图2-4,Newton,迭代法有,着显著几何意,义如图,2-4,所表示，,过点(,x,0,f,(,x,0,),作曲线,y,=,f,(,x,),切线，,切线方程为：,y,=,f,(,x,0,)+,f,(,x,)(,x,x,0,),该切线与,x,轴交点横坐标即为新近似值,x,1,，,而,x,2,则是曲线上点(,x,1,f,(,x,1,),处切线与,x,轴交点。,55/76,Newton,法举例,例,9,解：,因为,f,(,x,)=3,x,2,+10，,故,Newton,迭代公式为：,x,1,=1.5970149，,x,2,=1.5945637，,x,3,=1.5945621=,x,4,迭代三次所得近似解就准确到8位有效数字。,代入初值,x,0,得：,可见,Newton,法收敛很快。,普通地，有以下屏定理2-5：,56/76,Newton,法收敛定理,定理2.5,设函数,f,(,x,),在其零点,x,*,邻近二阶连续可微，且,f,(,x,*),0，,则存在,0，使得对任意,x,0,x,*,x,*+,，,Newton,法所产生序列,x,n,最少二阶收敛于,x,*。,按式（2-7），,Newton,法迭代函数为：,于是有：,证实：,57/76,定理2.5（续）,由已知,f,(,x,),在,x,*,邻近连续，因而,(,x,),在,x,*,邻近连续，且,依据,定理2.4,，,Newton,法产生序列,x,n,最少二阶收敛于,x,*。,定理2.5,表明，当初值,x,0,充分靠近,x,*,时，,Newton,法收敛速度较快，但当初值不够好时，可能会不收敛或收敛于别根，这可从,Newton,法几何意义看到：,紧接下屏,58/76,Newton,法几何意义及其优劣,如图2-5（,a,）,所表示.应用中可由实际问题背景来预测利用对分区间法求得很好初值,x,0,。,使在其邻近,f,(,x,),f,(,x,),不变号，而且使,f,(,x,0,),f,(,x,0,)0，,这就能确保收敛，如图2-5（,b,）（,d,）。,Newton,法含有收敛快，稳定性好，精度高等优点，它是求解非线性方程有效方法之一。,但它每次迭代均需要计算函数值与导数值，故计算量较大。而且当导数值提供有困难时，,Newton,法无法进行。,x,1,x,0,x,*,X,(,a,),x,1,x,0,x,*,X,(,b,),x,*,x,0,x,1,X,(,c,),x,*,x,1,x,0,X,(,d,),（图2-5）,59/76,3.2 计算重根牛顿迭代法,若,x,*,为方程,f,(,x,)=0,m,(,m,1),重根，则,f,(,x,),可表为:,其中,g,(,x,*),0,，,此时用牛顿迭代法求,x,*,依然收敛，只是收敛速度将大大减慢。实际上，因为:,60/76,计算重根牛顿迭代法(续1）,可见用牛顿法求方程重根仅为线性收敛。,为了提升求重根收敛速度，有两种可供选择方法:,(1),方法之一是将求重根问题转化为求单根。注意到函数：,61/76,计算重根牛顿迭代法(续2）,上述迭代格式右端较复杂，应用起来不方便。,(2),另一个求,m,重根方法是采取以下迭代格式：,能够证实它是求,m,重根,x,*,具平方收敛迭代格式。,问题是怎样确定根重数,m,？,下面介绍一个边迭代边预计重数方法。设,x,k,2,，,x,k,1,，,x,k,为用牛顿迭代格式（,2-7,）所得三个相邻迭代值，令,62/76,计算重根牛顿迭代法(续3）,则,由式（,2-8,）可知,故,所以可用,下式预计,m,63/76,例,8,用牛顿迭代法求方程,在0.95附近之根。,解,取,x,0,=0.95,，,用牛顿迭代法，,按式,（,2-7,）,求得,x,k,见,表,2-3,，由表中数据可见,x,k,收敛很慢。由,可知，所求根为,m,=2,重根，,改用式,(2-9),迭代格式，得：,收敛速度大大快于直接用牛顿迭代公式,（,2-6,）,.,64/76,例,8（续）,表,2-3,k,x,k,k,0,1,2,3,4,5,6,0.95,0.9744279,0.9870583,0.9934878,0.9967328,0.9983576,0.9991901,0.5090,0.5047,0.5007,0.5125,2.0369,2.0190,2.0028,2.0511,m,65/76,3.2 弦截法,不 足 之 处：,需要计算导数值，较难；,这就是,弦截法迭代公式,Newton,法优点：,收敛快（平方阶），固定格式；,修 正：,以差商代替导数（微商）,66/76,弦截法迭代公式几何解释,与,x,轴相交，,即,y,=0，,解出,x,得：,即,以割线代替曲线,f,(,x,)，,以割线与,x,轴交点去近似曲线与,x,轴交点，故,弦截法,又,称为,割线法,。,割线法,也可看作以（,x,n,-1,，,f,(,x,n,-1,)），(,x,n,，,f,(,x,n,),作,线性 插值,，而以此插值多项式近似,f,(,x,)，,以其零点近似,f,(,x,),零点。,67/76,弦截法几点说明,1。,需要两个点,x,0,，,x,1,才能开始进行迭代：,（1）,若只给定,x,0,，,则须利用其它方法，如对分,法，求,x,1,，,然后再利用弦截法，求,x,2,，,x,3,，；,（2）,若给定一有根区间，可直接用两端点作,x,0,，,x,1,。,x,n,收敛，收敛阶为1.618，超线性收敛。,68/76,3.,上述弦截法又称为变端点弦截法，其实还可,写为：,固定一端点,x,0,，,称为定端点,弦截法（单点）,，如右图：,x,1,x,2,x,3,x,0,x,y,图8-5,弦截法几点说明(续）,69/76,弦截法举例,例9,用定端点，变端点截线法求方程：,f,(,x,)=,x,3,2,x,5,在区间2,3内一个实根（有12位有效数字实根为,=2.09455148514）。,解,：,取,x,0,=2,x,1,=3，,用两种方法计算结果以下：,（见表2,-,4）,可见 变端点比定端点收敛速度快得多。变端点,x,6,已达准确值，而定端点,x,6,只有7位有效数字。,70/76,6,2.094551140,-,0.34210,6,2.094551481,-0.54010,-9,迭代次数,单点,双点,0,2,-0.0945,-0.0946,1,3,0.9054,3,0.9054,2,2.058823529,-0.0357,2.058823529,-0.0357,3,2.096558636,0.20110,-2,2.081263660,-0.0133,4,2.094440519,-0.11110,-3,2.094824184,0.27310,-3,5,2.094557622,0.61410,-5,2.094549432,-0.20510,-5,x,k,x,k,-,x,k,x,k,-,2,表2-4,71/76,4 抛物线法,弦截法可看作是以一次插值多项式零点去近似,f,(,x,)=0,零点(根)，若用二次插值多项式去近似,f,(,x,)，,而以二次插值多项式零点近似,f,(,x,)=0,零点可导出,抛物线法。,若已知,f,(,x,)=0,根三个近似值：,x,n,2,，,x,n,1,，,x,n,由此可得对应,f,(,x,n,-2,)，,f,(,x,n,1,)，,f,(,x,n,)，,以这三个点为节点作二次插值多项式：(按差商),72/76,抛物线法（续）,以,N,2,(,x,),代替,f,(,x,)，,以,N,2,(,x,)=0,根近似,f,(,x,)=0,根，而,N,2,(,x,)=0,根为：,在两个根中选取一个根，标准是使|,x-x,n,|,较小，这就是,抛物线法格式（,Muller,法，二次插值法）：,第二项分子分母乘分子共轭，得：,73/76,抛物线法几点说明,2.若,f,(,x,),在零点邻域内三阶连续可微，且 初值,x,0,x,1,x,2,充分靠近,x,*,抛物线法收敛，收敛阶为1.84，实际计算时，并不要,x,0,，,x,1,，,x,2,一定要充分靠近,x,*，,初值差一些，也会收敛；,1.抛物线法几何意义：以三点作成抛物 线（二次插值多项式）与,x,轴交点近似 曲线与,x,轴交点；,3.格式较繁，所以计算程序就较复杂，并可 能出现复数，适用初值不太好方程求复 根。,74/76,抛物线法举例,例9,解：此例在弦截法中已经有，所以可取,x,0,=1.5,x,1,=1.75，,x,2,=2，,对应：,而：,所以：,可继续下去，直到满足给定精度。,75/76,结 束,76/76,
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