双曲线及其标准方程的教学设计全国二等奖.doc

名称: “双曲线及其标准方程”教学设计
作者: 刘荣锋
地址: 江西省赣州市会昌县会昌中学
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“双曲线及其标准方程”教学设计

江西省赣州市会昌县会昌中学 刘荣锋
一、 教材内容解析
“双曲线及其标准方程”与“椭圆及其标准方程”、 “抛物线及其标准方程”是圆锥曲线三种曲线方程, 三部分在圆锥曲线中地位相同。它能在不一样层次上表现数学中知识交汇和解题方法丰富多彩, 也所以备受高考关注。双曲线及其标准方程概念与椭圆及其标准方程相类似。教材处理也相仿, 在知识体系中二者表现为平行关系, 但双曲线却是全部圆锥曲线中学习难度最大一个。所以在教学中首先要注意与已学习过椭圆进行类比, 在类比迁移中找到知识和方法上相通处; 其次也要重视其相异点, 以建构起新数学认知。学好本节课内容是学好圆锥曲线关键之一, 对后面能深入了解掌握由曲线求方程和由方程讨论曲线性质, 从而借助形和数对应关系, 把形问题转化为数来研究。再把数研究转化为形来讨论, 能使学生深入感受坐标法及数形结合思想, 为后面用代数方法研究抛物线提供了必需工具和基础。所以本节内容起到一个承上启下作用。
二、 教学目标
（１）、 知识目标:
1、 经过教学, 使学生熟记双曲线定义及其标准方程, 并了解这一定义及其标准方程探索推导过程。
2、 了解并熟记双曲线焦点位置与两类标准方程之间对应关系。
（２）、 能力目标:
经过“试验观察”、 “思索探究”与“合作交流”等一系列数学活动, 培养学生观察、 类比、 分析、 概括能力以及逻辑思维能力, 使学生学会数学思索与推理, 学会反思与感悟, 形成良好数学观。
1、 在类比及试验中取得双曲线知识, 培养学生合理猜测能力。
2、 在双曲线标准方程推导中, 深入提升学生代数运算能力和理性化数学思维。
3、 能依据已知条件, 选择合适形式双曲线方程解题。
4、 加深对类比、 求简、 分类讨论思想了解与利用。
（３）、 情感目标:
1、 经过实例引入和剖析, 让学生再一次感受到数学起源于实践又反作用于实践; 生活中四处有数学。
2、 在教学中渗透“量变产生质变”辩证唯物主义世界观。

三、 教学问题诊疗
认知基础:
因为“双曲线及其标准方程”与“椭圆及其标准方程”从教材地位、 作用以及内容极其相同, 在建立双曲线及其标准方程概念之前, 先复习回顾椭圆定义、 标准方程, 再提出问题引入概念。

难点或疑点:
定义剖析与了解（“差绝对值”、 “2a与2c”关系）
双曲线定义, 从数学角度上讲语义复杂, 学生学习也困难。所以怎样分解、 组合这个概念规则, 怎样引导学生以合适次序将新规则学习与组成它概念组合起来, 怎样对这个概念进行精细加工是一个挑战。

突破关键:
经过问题处理以自然进入新问题情境, 将双曲线表象信息（曲线）加工为言语信息（定义）。老师在学生使用信息技术基础上, 经过学生演示用言语不停引导, 用技术支持了老师言语指导线索可认同性, 辅助老师使学生取得概念各部细节, 支持了老师主导作用。学生在老师指导下选择、 控制和推理, 行走在教学目标轨道上

四、 教学支持条件
因为轨迹问题经过板画无法达成意想效果, 在教学中, 以多媒体教学课件为依靠, 采取试验探索: 经过试验、 演示, 观察得出轨迹是双曲线, 用坐标法探求方程。
多媒体课件介入能够增强课堂趣味性, 能够在动态演示中化解教学难点, 有效处理教学关键

五、 教学过程设计

（一）设置情景, 引发探究

探究一(概念引入)（数学选修1-1 习题2.1 第七题P47页）
问题: 圆O半径为定长r, A是圆内一个定点, P是圆上任意一点, 线段AP垂直平分线和半径OP相交于点Q, 当点P在圆上运动时, 点Q轨迹是什么？为何？拖动点A, 观察动点M轨迹。
学生活动: 拖动点A, 观察点A分别在圆内与圆外时轨迹形状改变, 从图形中找出几何特征。

探究结果: 点A在圆内时为椭圆, 满足|QO|+|QA|=|QO|+|QP|=|OP|=r（常数）, 点A在圆外时为双曲线, 满足|QA|-|QO|=|QP|-|QO|=|OP|=r（常数）
教学中可能出现情况:
（1）轨迹为双曲线时, 其几何关系式可能有同学能发觉, 假如发觉, 让学生说明理由; 假如没有发觉, 老师有必需给出深入引导。
（2）可能会有同学提出, 当点A在圆上时轨迹是什么？假如有, 引导学生动手做试验得结论; 假如没有, 老师则因提出让学生思索。
学生初步尝试概括双曲线定义（部分内容, 轻易忽略“绝对值”“2a与2c”关系。）

[设计意图: 数学教学需要一定问题情景支撑, 合适问题情景能激起学生情感体验, 有利于学生学习爱好激发, 也有利于学生良好数学观形成。所以, 在教学中, 应努力争取经过合适问题情景创设, 让学生产生主动学习心态, 在具体情景中实现知识学习。我们以游戏开始, 能够激发学生爱好, 进而激起她们研究热情。在这一过程中我们不仅给出了研究目标而且表现了数学建模过程, 即把生活中问题转化成纯数学问题, 这时学生自然地产生了探究当动点到圆外轨迹到底是什么强烈愿望。让学生在“观察”、 “思索”、 “探究”等活动中, 自己发觉问题、 提出问题]

探究二(数学试验)（反思、 完善定义）
在双曲线定义中, 请同学们思索下面问题:
Q1: 联想到椭圆定义, 你是否感到双曲线中常数2a也需要某种限制？为何？
Q2: 若2a=2c, 则M点轨迹又会是什么呢？又2a＞2c呢？（试验二）

探究结果:
所以, 轨迹为双曲线, 必需限制2a＜2c,且2a≠0。学生第一次修改定义.(2a＜2c, 非零常数)

设计意图: 经过类比椭圆定义中限制条件, 迁移至双曲线中是否成立？让学生大胆猜想, 做试验验证。借助于计算机, 把难以想象轨迹, 变成直观、 运动轨迹图形, 不仅使学生对双曲线有感性认识, 而且加深了对事物内在本质了解。

探究三(数学试验)
Q3: 拖动点M在左（右）支上运动, MF1―MF2 数值有什么改变？你发觉了什么？（试验三）

学生活动: 拖动点P分别在左、 右支上, 观察PF1 –PF2 数值改变？

探究结果: 点P分别在左、 右支上时, 到两定点差绝对值相等。
学生第二次修改, 全方面概括定义内容, 强调定义中中心句与关键词（让学生自己找出）, 并与椭圆定义进行比较。
①规范学生语言描述, 提出双曲线定义书面文字。
②强调定义中心句和关键词（让学生自己找出）。并与椭圆定义进行比较。

发散思索: 平面内一动点到两定点之和为一常数（大于|F1 F2|）轨迹是椭圆, 平面内一动点到两定点之差绝对值为一常数（小于|F1 F2|）轨迹是双曲线, 那么, 平面内一动点到两定点之积为一常数轨迹是什么呢？之商呢？

欣赏: 然后老师播放部分经典双曲线型标志性建筑, 让学生欣赏审美, 陶冶情操, 激发爱好。

[设计意图: 由上述问题情景引出了双曲线定义, 顺理成章。教学中四处重视师生之间互动, 重视学生观察、 比较、 分析、 概括能力培养, 重视反思步骤落实。经过学生亲身实践、 主动思维, 让学生在实践中得到体验, 在反思中产生感悟, 使学生学会思索并养成自主学习、 勇于探索良好习惯。经过让学生动口参与教学活动, 培养了学生自然观察能力和数学语言表示能力: 借助于计算机演示, 把难以想象点运动变成直观运动轨迹, 不仅使学生对双曲线定义有感性认识, 而且加深了对事物内在本质了解; 同时经过欣赏生活中部分双曲线型建筑, 不仅加强了学生对双曲线感性认识, 而且使学生受数学起源于实践又反作用于实践; 生活中四处有数学]

（二） 合作交流, 导出方程
1、 类比: 类比椭圆标准方程建立过程（用屏幕显示图形）, 让学生认真捉摸坐标系位置特点（努力争取使其方程形式最简单）。
2、 合作: 师生合作共同推导双曲线标准方程。（学生推导, 然后老师归纳）
按下列四步骤进行: 建系、 设点、 列式、 化简从而得出了双曲线标准方程。
双曲线标准方程: 焦点在x轴上(a>0,b>0)
3、 探究: 在建立椭圆标准方程时, 选择不一样坐标系我们得到了不一样形式标准方程。那么双曲线标准方程还有哪些形式？
焦点在y轴上 (a>0,b>0) 其中: c2=a2+b2

（设计说明: 在给出双曲线第一个标准方程以后, 可直接经过对换坐标而得第二种标准方程。）
4、 观察、 归纳, 寻求异同:
双曲线标准方程与图形间对应关系及它们之间内在联络。
新

旧

知

识

对

比
双曲线与椭圆作一简单对比
定义
｛M||MF1|＋|MF2|=2a(＞2c)｝
｛M||MF1|－|MF2||=2a(＜2c)｝
图形
M
y

F1 o F2 x

y

M F2
o x
F1
y
M
x
F1 o F2
y
F2 M

o x
F1
标准方程

(a＞b＞0)

(a＞b＞0)

(a＞0,b＞0)

(a＞0,b＞0)
焦点
(0,±c)
(±c,0)
(0,±c)
(±c,0)
a、 b、 c关系
a2=b2+c2
c2=a2+b2

注: 1．焦点位置与标准方程 椭 圆: 分母大小焦点位置
双曲线: 分母正负焦点位置
2．单支双曲线表示: 限制x或y。

[设计意图: 教学过程是师生相互交流、 共同参与过程。数学经过交流, 才能得以深入发展, 数学思想才能变得愈加清楚; 经过多边合作, 又能够增强学生合作能力与群体发明意识。教学中, 只有在师生亲密合作、 共同探索气氛中数学交流才能得以真正实施。上述设计在探究双曲线标准方程时, 经过师生对话交流、 亲密合作和信息互动, 让学生体验合作交流, 类比探究学习过程, 并自觉地建构起双曲线标准方程知识系统]

（三）练习反馈, 巩固提升

1、 能依据条件求出双曲线标准方程
例1 已知双曲线两个焦点分别为F1（-5, 0）, F2（5, 0）, 双曲线上点P到F1 、 F2 距离差绝对值等于6, 求双曲线标准方程。
变式(1): 若两定点为F1(0,-5),F2(0,5)则轨迹方程怎样？
变式(2) : 若两定点为|F1F2|=10则轨迹方程怎样？
感悟:
①求给定双曲线标准方程基础方法是: 待定系数法。关键是先定形后定量。（若焦点不定, 则要注意分类讨论思想。）
②本例与变式（1）是在已定坐标系下直接利用双曲线标准方程来处理轨迹方程。变式（2）是在未定坐标系下建立轨迹方程, 其目在于培养学生全方面考虑问题能力。

[设计意图: 以书本例题为本, 既让学生巩固和加深对双曲线及其标准方程了解, 又使学生在“练”过程中经过反思、 感悟, 不停调整自己认识结构和经验结构, 完成人经验自主建构过程]

2、 依据方程, 讨论曲线形状。
例2 讨论方程x2+ky2 =4+k(k∈R)表示曲线。（试验作先导, 理论作后盾）

[设计意图: 似曾相识二次方程将学生已经有知识调动起来, 尽管刚学习圆锥曲线定义, 对分类讨论不熟练, 但经过思索、 尝试和交流, 共同经历了完整认识二次方程与圆锥曲线关系过程。尤其是经过电脑演示所展现从量变到质变, 给学生是事物发展规律, 及辩证唯物主义思想见解。]

(四) 小结与回顾
让学生回想并小结、 提炼本节课学习内容:
1、 双曲线定义（其本质属性）; 2、 双曲线标准方程（注意二种形式异同）;
3、 求双曲线标准方程要注意选择方程形式, 以简化计算。
4、 关键思想方法有类比思想、 数形结合思想及特殊与通常、 量变与质变辩证关系。

[设计意图: 引导学生自我反馈、 自我总结, 并对所学知识进行提炼升华。让学生学会学习, 学会内化知识方法与经验, 促进目标达成。]

参考文件
[1] 丁亿 点评: 让数学课堂动起来。中学数学教学参考 , 5