浅谈函数在数列中的应用.doc

浅谈函数在数列中的应用 阜阳市城郊中学 李雷 数列是一类定义在正整数集或它的有限子集1,2,3,n上的特殊函数, 当自变量由小到大的顺序依次取值时,所对应的一列函数值;数列的通项公式an=f(n)是数列的第n项an与自变量n之间的函数解析式;数列的图像是横坐标为正整数的一系列的离散的点，可见,任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义,具有函数的一些固有特征。另外,数列与函数的综合也是当今高考命题的重点与热点,因此我们在解决数列问题时,应充分利用函数有关知识,以它的概念、图象、性质为纽带,架起函数与数列间的桥梁,揭示它们间的内在联系,从而有效地分解数列问题。【摘要】数列是高中数学的重点内容之一，它既能培养学生逻辑思维、抽象思维、归纳思维等能力，也能起到承前启后的作用，在学习了函数之后学习数列，有助学生用函数的观点去认识它的本质，也有利于学生对函数概念的理解。【关键词】函数 、数列在高中数学教学中，如果能把各个知识版块相互交叉、渗透，往往会让人耳目一新，不但会加深对知识的理解，而且会提高解题的速度。函数与数列就是其中之一，可以从两个角度对数列给出了定义，一是描述性定义：数列是按照一定顺序排列着的一列数，二是函数性定义：数列是一类定义在整数集或它的有限子集上的一种特殊函数，由此可见，任何数列问题都具有函数的性质以及函数的一些固有特征。因此，在教学中，教师要引导学生充分利用函数的概念、图象、性质去揭示它们之间的内在联系，从而达到更有效、更快捷地解决数列的问题。另外，数列与函数的综合问题也是当今高考命题的重点与热点，本文从几个例子给出了函数知识在数列中的应用。数列的通项公式及其前n项和公式的作用在于反映an及Sn与n之间的函数关系式。等差数列和等比数列式两类特殊的数列,它们的特殊性在通项公式和前n项和公式的结构特征中有充分体现,同时在两公式的相互关联上也有所反映。 1、一次函数的性质在数列中的应用在等差数列的通项公式教学中，教师主要是引导学生如何使用常规的方法（通项公式法）求数列一些有关的量，此外，由于等差数列an的通项公式为 an=a1+(n-1)d，an可以看做n的一次函数（特殊地，d=0为常数函数），它的图象是一次函数上离散点，所有表示（n，an）的点都在同一直线上。例如：已知数列an，“对任意nN*，点Pn(n，an)都在直线y3x2上”是“an成等差数列”的()A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既不是充分条件也不是必要条件解析对任意nN*，点Pn(n，an)都在直线y3x2上，即an3n2，所以an成等差数列，反之，an成等差数列，虽然必有对任意nN*，点Pn(n，an)都在直线上，但满足直线y3x2上的点不一定都是(n，an)，故选A.2、利用变化等差数列的前n项和公式为一次函数解题等差数列的前n项和公式Snna1是关于n的二次函数，且是关于n的一次函数，因此，可以利用一次函数ykxb的性质研究有关等差数列的前n项和的问题例如：已知项数为奇数的等差数列奇数项的和为44，偶数项的和为33，求这个数列的项数及中间项解析：设这个数列共有2n1项且n为偶数，由于f(n)是关于n的一次函数，则点，共线由斜率相等得n3.所以该数列共有7项，中间项为11.3、二次函数的性质在数列中的应用等差数列的前n项和公式Snna1是关于n的二次函数因此，可以利用二次函数yax2bxc解决等差数列与Sn最值相关问题例如：已知数列an的前n项和，求数列an的最大和Sn。解析：由数列的求和公式可以看出：是以为自变量的二次函数，其图像开口向下，存在最大值，对称轴为n=6,所以Sn的前六项和最大，Sn=36。4、解答数列的增减性问题对于数列an，若an1an对于任意的正整数n都成立，则数列an成为递增数列；若an1an对于任意的正整数n都成立，则数列an成为递减数列；若an1an对于任意的正整数n都成立，则数列an成为常数数列这一定义，类似于函数单调性的概念，但又有所区别，我们可以利用函数思想探求数列的单调性例如：判断数列an的增减性，其中an1解析 考察函数f(x)1 (nR)的单调性可知它是增函数，所以数列an1是递增数列本题可以由数列单调性定义比较an1与an的大小去解题，可以利用数列的函数特征转化为函数单调性去解决本题用第二种思路解之4. 利用反比例函数平移后的单调性解题例如：已知则在数列an的前30项中，最大项和最小项分别是 ()Aa1，a30Ba1，a9Ca10，a9 Da10，a30 解析：将分离常数得：如图，类比反比例函数图像，可知a9最小，a10最大。 解析：数列的通项公式就是一个函数表达式，求数列的最大项和最小项需要分析数列的函数性质，找准单调区间，或画出图象观察最高点和最低点求数列的最大项或最小项时，通常有两种方法：一是考查数列的单调性；二是作出数列的点列图形，找最高点和最低点 在用函数性质解数列问题时，除了利用上述的性质外，还可以利用函数的周期性，包括用导函数来解决数列的增减性，求最值。只要我们在解数列问题时，仔细审题，找出题目与函数之间的关系，加上熟练地运用函数性质，就可以在解决数列客观题和主观题时游刃有余，同时也对进一步理解函数性质和熟练运用函数性质提供很好的帮助。