初中阶段需要掌握的主要数学思想.doc

初中阶段需要掌握的主要数学思想

一、分类讨论思想
当数学问题不宜统一方法处理时，我们常常根据研究对象性质的差异，按照一定的分类方法或标准，将问题分为全而不重，广而不漏的若干类，然后逐类分别讨论，再把结论汇总，得出问题的答案的思想。这就是主要考查了分类讨论的数学思想方法。
1、数学问题比较复杂时，有时可以将其分割成若干个小问题或一系列步骤，从而通过问题的局部突破来实现整体解决，正确应用分类思想，是完整接替的基础。而在学业考试中，分类讨论思想也贯穿其中，命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度，很多压轴题也都设计分类讨论。由此可见分类思想的重要性，在数学中，我们常常需要根据研究队形性质的差异，分个中不同情况予以观察，这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法的解题策略，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分级问题、解决问题的能力都是十分重要的。
2、分类讨论设计全部初中数学的知识点，其关键是要弄清楚引起分类的原因，明确分类讨论的对象和标准，应该按可能出现的情况做出既不重复，又不遗漏，分门别类加以讨论求解，再将不同结论综合归纳，得出正确答案。
3、热点内容
(1).实数的分类。
(2).绝对值、算术根
(3).各类函数的自变量取值范围
(4).函数的增减性：

(5).点与直线的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与直线的位置关系。
(6).三角形的分类、四边形的分类

二、数形结合的思想
把问题中的数量关系与形象直观的几何图形有机的结合起来，并充分利用这种结合寻找解题的思路，使问题得到解决的思想方法，在分析问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，根据问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获取简便易行的方法。涉及实数与数轴上点的对应关系，公式、定理的几何背景问题，函数与方程的对应关系等。
1、数形结合思想方法是初中数学中一种重要的思想方法.数是形的抽象概括,形是数的直观表现,用数形结合的思想解题可分两类:一是利用几何图形的直观表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等;二是运用数量关系来研究几何图形问题,常需要建立方程(组)或建立函数关系式等
2.、热点内容
(1).利用数轴解不等式(组)
(2).研究函数图象隐含的信息,判断函数解析式的系数之间的关系,确定函数解析式和解决与函数性质有关的问题.
(3).研究与几何图形有关的数据,判断几何图形的形状、位置等问题.
(4).运用几何图形的性质、图形的面积等关系,进行有关计算或构件方程(组),求得有关结论等问题.
（三）转化的思想
转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，在研究数学问题时，我们通常是将未知的问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题等，我们也常常在不同的数学问题之间互相转化，可以说在解决数学问题时转化思想几乎是无处不在的。
将未知解法或难以解决的问题，通过观察、分析、类比、联想等思想的过程，选择运用的数学方法进行交换，化归为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题思想叫做转化与化归的思想，转化与化归思想的实质是揭示联系，实现转化。
除简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的，化归月转化思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程，数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，函数与方程的转化，无限向有限的转化等，都是转化思想的体现。
熟练，扎实的掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想，机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识的去发现事物之间的本质联系。“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙。
四、函数与方程的思想
函数思想就是用运动、变化的观点分析和研究现实中的数量关系，通过问题所提供的数量特征及关系建立函数关系式，然后运用有关的函数知识解决问题。如果问题中的变量关系可以用解析式表示出来，则可把关系式看作一个方程，通过对方程的分析使问题获解。
所谓方程的思想，就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的的解题思路和策略，它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。函数与方程思想是中学数学中最常用、最重要的数学思想。

中考函数试题解法及新颖题目研究
函数是初中代数的重点，也是难点，在中考的代数部分所占比重最大，综合题中离不开函数内容。中考函数考察的重点是：函数自变量取值范围，正反比例函数、一次函数、二次函数的定义和性质，画函数图像，求函数表达式。近年来中考比较侧重实际应用问题的考察。中考的最后一道题，常常要用到多个数学思想方法，纵观近几年的中考题，基本上都是函数、方程、几何（主要是圆）的综合题。
1．初中函数知识网络
函数
定义
解析式
三种函数
一次函数
二次函数
反比例函数
平面直角坐标系
坐标特征
函数图象
综合运用

2．命题思路与知识要点：
2．1一般函数
2．1．1考查要点：平面直角坐标系的有关概念；常量、变量、函数的意义；函数自变量的取值范围和函数值的意义及确定。
2．1．2考纲要求：理解平面直角坐标系的有关概念，掌握各象限及坐标轴上的点的坐标特征，会求对称点坐标，能确定函数自变量的取值范围。
2．1．3主要题型：填空题，选择题，阅读理解题。
2．1．4知识要点：
x
y
0
第一象限
（+，+）
第二象限
（－，+）
第四象限
（+，－）
第三象限
（－，－）
1
1
-1
-1
图1
（1）平面直角坐标系中，每一个点都与有序实数对一一对应；象限与坐标符号如图1。
（2）特殊位置上点的坐标特点：
①点P(x，y)在x轴上 y=0；
点P(x，y)在y轴上 x=0；
②点P(x，y)在第一、三象限角平分线上 x=y；
点P(x，y)在第二、四象限角平分线上 x+y=0;
③点P(x，y)关于x轴对称的点的坐标是(x，－y)；
点P(x，y)关于y轴对称的点的坐标是(－x，y)；
点P(x，y)关于原点对称的点的坐标是(－x，－y)；
确定函数自变量取值范围，就是要找出使函数有意义的自变量的全部取值。一般从以下几方面考虑：
（1）解析式型：函数直接由解析式给出，不涉及其它问题。主要有以下五种情况：①整式型：自变量的取值范围是全体实数；②分式型：自变量的取值范围是使分母不为零的实数；③二次根式型：自变量的取值范围是使被开方式为非负数的实数；④零指数和负指数型：自变量的取值范围是使底数不为零的实数。⑤综合型：自变量的取值范围是使各部分有意义的公共部分。
（2）具体问题型：函数涉及具体问题时，要考虑使具体问题有意义。主要有以下两种情况：①几何问题型：要使自变量取正值，且满足几何的定义、公理、定理等；②实际问题型；自变量的取值使实际问题有意义。
（3）动态问题型：在动态问题中，自变量的取值范围受动点运动范围的限制。一般先求动点运动的极端值，从而确定自变量的取值范围。
自变量的取值范围可以是无限的，也可以是有限的，甚至可以是几个数或单独的一个数。
2．2一次函数
2．2．1考查要点：一次函数的概念、图象、性质；一次函数解析式的确定。
2．2．2考纲要求：理解正比例、一次函数的概念并会用待定系数法求出函数解析式；熟练掌握一次函数的图象及其性质，并能灵活运用。
2．2．3主要题型：填空题，选择题，解答题。
2．2．4知识要点：
（1）一般地，如果y=kx+b（k、b是常数，k≠0），那么，y叫做x的一次函数。k、b是常数的含义是，对于一个特定的函数式，k和b的值是固定的。k≠0这个条件不能省略不写，若k=0，则y=kx+b变形为y=b，b是关于x的0次式，因此不是一次函数。
特别地，当b=0时，一次函数y=kx+b就成为y=kx（k是常数，k≠0），这时y叫做x的正比例函数。正比例函数是一次函数的特例。
(2)一次函数的图象是一条直线。由几何知识可得，要画一条直线只要知道两点就可以了。所以一次函数图象的方法是：只要先描出两点，再连成直线就可以了。画正比例函数y=kx的图象，通常取（0，0）和（1，k）两点连成直线。画一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象，通常选取和两点连成直线。通常，我们把一次函数y=kx+b的图象叫做直线y=kx+b。
直线的倾斜形态与k的关系如下：（1）k>0时，直线的倾斜形态“/”；（2）k<0时，直线的倾斜形态“\”。要树立“数形结合”的数学思想方法。由k的数值（正、负）决定出直线的倾斜形态，反之，由直线的倾斜形态能确定k的正、负。y＝kx＋b（k≠0）与y＝kx（k≠0）的图象是两直平行线。
直线所经过的象限与k、b的关系：
示意图

k、b的符号
k＞0
k＞0
b＞0
b＜0
b＞0
b＜0
直线y＝kx＋b所经过的象限
一、二、三
一、三、四
一、二、四
二、三、四
直线y＝kx＋b不经过的象限
四
三
二
一
（3）一次函数的性质：
一般地，正比例函数y=kx和一次函数y=kx+b都有下列性质：（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
（4）一次函数解析式的确定：
在正比例函数y=kx（k≠0）中，只要求出k的数值，这个正比例函数解析式就求得。所以求y=kx（k≠0）所需条件是一个点坐标。
由于一次函数y=kx+b（k≠0）中需要求出k与b的数值，所以需要两个点的坐标（或说两个相互独立的条件），代入解析式中，得到关于k与b的二元一次方程组，通过解方程组求出k与b的数值。
要注意掌握由坐标求线段长度，由线段长度求坐标的转换方法。掌握由直线解析式求与坐标轴交点的坐标和由直线上两点坐标，求直线解析式的方法。掌握求两直线交点坐标的方法。
2．3反比例函数
2．3．1考查要点：反比例函数的概念、图象、性质；反比例函数解析式的确定。
2．3．2考纲要求：理解反比例函数的概念并会用待定系数法求出函数解析式；熟练掌握反比例函数的图象及其性质，并能灵活运用。
2．3．3主要题型：填空题，选择题，解答题，应用题。
2．3．4知识要点：
（1）如果y=(或y=kx或xy=k)(k≠0)，那么y叫做x的反比例函数。注意反比例函数有三种不同表现形式：①y=(k≠0)；②y=kx(k≠0)；③xy=k(k≠0)。自变量x的取值范围是x≠0的实数。在反比例函数中，两个变量成反比例关系。因此，判定两个变量是否成反比例关系，看是否能写成反比例函数关系，即两个变量的积是不是一个不为0的常数。
（2）反比例函数y=(或y=kx或xy=k)(k≠0)的图象是由两条曲线组成，叫做双曲线，它们关于原点成中心对称。反比例函数的图象是两条双曲线，两条双曲线既不过原点，又与两个坐标轴不相交（因为xy≠0），它只是无限接近x轴和y轴。用描点法画反比例函数图象时，可先画一个分支，由两个分之关于原点对称的性质，再画另一个分支。要注意两个分支不能相连，即两个分支是断开的。
（3）反比例函数解析式的确定。因为反比例函数解析式y=(k≠0)，只含有一个待定系数，所以要确定函数解析式，只需要已知图象所经过的一个点的坐标即可。
（4）反比例函数性质的学习要结合图象进行。k>0时，反比例函数y=(或y=kx)的图象在一、三象限，函数y在每个象限内随x的增大而减小。k<0时，反比例函数y=(或y=kx)的图象在二、四象限，函数y在每个象限内随x的增大而增大。
y
x
O
P
M
N
图2
（5）反比例函数y=(或y=kx)(k≠0)中比例系数k的几何意义是：过双曲线上任一点P(x,y)作x轴、y轴的垂线PM、PN，所得的矩形PMON的面积S=PM·PN=。如果再连结PO，则。如图2。
（6）一次函数与二元一次方程（组）的关系：
将一次函数y=kx+b移项，得kx-y+b=0，可以看出这是一个二元一次方程。这样，y=kx+b的图象也是方程kx-y+b=0图象，图象上每个点的坐标都适合方程kx-y+b=0，也就是方程kx-y+b=0的解。直线y=kx+b与x轴的交点的纵坐标等于0，即直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标就是一元一次方程kx+b=0的解。
设直线和直线的交点坐标为(a,b)，则a,b适合这两个函数关系式。所以直线和直线的交点坐标就是方程组的解。
因此，我们可以用图象法来求一元一次方程、二元一次方程组以及一元一次不等式的近似解。
2．4二次函数
2．4．1考查要点：描点法画函数图象；二次函数和抛物线的有关的概念、性质；二次函数解析式的确定。
2．4．2考纲要求：了解描点法画函数图象，理解二次函数和抛物线的有关的概念，抛物线的顶点、对称轴；会用待定系数法求出函数解析式；熟练掌握二次函数的图象及其性质，并能灵活运用。
2．4．3主要题型：填空题，选择题，解答题，阅读理解题，应用题。
2．4．4知识要点：
（1）二次函数解析式，主要有两种形式：一般式y=ax2+bx+c与顶点式y=a(x-h)2+k，其中a≠0。它的图象为抛物线，其位置与各系数关系为：(1)a 决定抛物线的开口方向：a>0，开口向上；a<0,开口向下；(2)抛物线与y轴交点的坐标为(0,c)；(3)a、b结合决定抛物线对称轴的位置，对称轴x=-，若a、b同号，则对称轴在y轴左侧；若b=0,则对称轴是y轴；若a、b异号，则对称轴在y轴右侧；(4)一般式的顶点坐标为（-，）,顶点式的顶点坐标为（h,k）。
（2）求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式：若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式；若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。
例1图
3．中考函数新颖试题分析
中考数学试题里，有关函数的试题覆盖了函数的主要考点，且出现了一些体现新课程理念，具有强烈的时代气息的新颖试题，下面结合一些事例作简单分析。
3．1．坐标系与相似三角形
例1请同学们在右边的同一个直角坐标系中，画出两个形状相同，但面积不等的三角形。
答案不唯一。如
评注：此给学生广阔的思维空间，体现数形结合思想，学生可从边或角两个角度探求直角，画出符合要求的直角三角形。本题考查学生发散思维的能力、运用知识解决问题的能力及数形结合思想。
3．2．网格与坐标系
例2如图，是象棋盘的一部分，若帅位于点（1，-2）上，相位于点（3，-2）上，则炮位于点（ ）上。

3．3．网格与坐标系与中心对称
例4图
例4如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么称点P与点Q关于点M对称，定点M叫做对称中心。此时，M是线段PQ的中点。如图，在直角坐标系中，⊿ABO的顶点A、B、O的坐标分别为（1，0）、（0，1）、（0，0）。点列P1、P2、P3、…中的相邻两点都关于⊿ABO的一个顶点对称：
点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称，…。对称中心分别是A、B，O，A，B，O，…，且这些对称中心依次循环。已知点P1的坐标是（1，1），试求出点P2、P7、P100的坐标。
答案：P2(1，－1) P7(1，1) P100=(1，－3)
例5图
评注：本题将中心对称、坐标以及规律寻找结合起来。
3．4．阅读函数图象，解决实际问题。
例5某游乐场每天的赢利额y（元）与售出的门票x（张）之间的函数关系如图所示.
（1）当0≤x≤200，且x为整数时，y关于x的函数解析式为 ；
当200＜x≤300，且x为整数时，y关于x的函数解析式为 .
（2）要使游乐场一天的赢利超过1000元，试问该天至少应售出多少张门票？
（3）请思考并解释图像与y轴交点（0，－1000）的实际意义.
（4）根据图像，请你再提供2条信息。
答案：（1）y=100x-1000；（2）y=150x-2500。（3）没有售出门票时，亏损1000元。（4）答案不惟一。
评注：此题巧妙地将函数知识与实际生活情景联系在一起。
3．5．二次函数的最值与应用。
由可知：当a＞0时，顶点是抛物线的最低点，即时，二次函数取得最小值。当a＜0时，顶点是抛物线的最高点，即时，二次函数取得最大值。
例6某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品。已知每件产品的进价为40元，每年销售该种产品的总开支（不含进价）总计120万元。在销售过程中发现，年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间存在着如图所示的一次函数关系。
80
60
40
20
0
6
5
4
3
2
1
x(元)
y(万件)
例6图
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）试写出该公司销售该种产品的年获利z（万元）关于销售单价x（元）的函数关系式（年获利＝年销售额一年销售产品总进价一年总开支）。当销售单价x为何值时，年获利最大？并求这个最大值；
（3）若公司希望该种产品一年的销售获利不低于40万元，借助⑵中函数的图象，请你帮助该公司确定销售单价的范围。在此情况下，要使产品销售量最大，你认为销售单价应定为多少元？
答案：（1）
（2）当元时，年获利最大为60万元。
（3）要使销售量最大，又要使年获利不低于40万元，销售单价应定为80元。
评注：本题在日常情景中，运用了许多数学知识，如解方程组，二次函数的画图及求二次函数的极值。应用二次函数的有关知识，分析和解决生产、生活或相关学科中简单问题，既可提高学习数学的兴趣，又能增强用数学的意识，也是当前体现“人人学有用数学”的热点考题。需要注意的是，实际问题中，有时需要根据实际问题的具体情况确定“局部最值”。
3．6．函数与跨学科试题
5
2
I(安)
R(欧)
例7图
例7在某一电路中，保持电压不变，电流I（安）与电阻R（欧）成反比例函数关系，其图像如图3，则这一电路的电压为 伏.。
析解：因为在某一电路中，保持电压不变，电流I（安）与电阻R（欧）成反比例函数关系。所以可设。又根据图象过（2，5）。所以容易求得U=IR=10（伏）。
例8图
O
x
y
y=x

评注：动态的数量变化预示着函数的广泛运用。实际生活中的许多问题都可以用函数的有关知识来解决。尽管我们初中生的数学知识十分有限，但也能解决不少的实际问题。在我们学习的物理知识中，许多物理量之间的关系就是我们数学上的反比例函数关系。在倡导素质教育的今天，在数学试题中渗透物理知识是一个新热点。在近几年的中考数学试题中，已开始出现数学与物理综合的考题，学科结合型试题也是今后中考命题的一个趋势，值得引起大家的注意。
3．7．函数探索性试题
例8如图，P是y轴上一动点，是否存在平行于y轴的直线x＝t，使它与直线y＝x和直线分别交于点D、E（E在D的上方），且△PDE为等腰直角三角形。若存在，求t的值及点P的坐标；若不存在，请说明原因。
分析：对存在性探索试题，其一般解题思路是：先对作出肯定的假设，然后由肯定假设出发，结合已知条件进行正确的推理或计算，再对得出的结果进行分析检验，说明假设是否正确，由此得出符合条件的数学对象存在或不存在。顺着这种思路，对该题，我们很容易得到以下两种解法。
答案：存在。当t＝时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，）或（0，）；当时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，）；当t＝－4时，△PDE为等腰直角三角形，此时P点坐标为（0，0）。
评注：所谓探索型试题，是指缺少一定的题设和结论，需要学生自己推断、补充并加以解决的一类数学考题。由于这类考题形式新颖、思考方向不确定，因此，综合性和逻辑性较强，它着力于考查学生的观察、分析、比较、归纳、推理等方面的能力，对提高学生的思维品质，培养学生独立解决问题的能力具有十分重要的作用，因此成为近年来各地中考命题的一类热门题型。其具体形式多样，其中，存在性探索题是最常见的一类。
3．8．函数综合题
M
例9图
例9如图，已知抛物线的顶点坐标为M(1,4)，且经过点N(2,3)，与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C。（1）求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标；（2）若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；（3）点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x轴上方是否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
解：（1）A（－1，0），B（3，0）；C（0，3）.
（2）略。
（3）满足题意的点P存在，其坐标为（1，）。
评注：这是最典型的中考数学压轴题。
几何中的基本元素——线段做为函数中的变量，求函数解析式，一般寻找一个等量关系列方程，再转化为函数解析式，难点是求自变量取值范围及画函数图象的示意图。函数知识与几何知识相互转化的基础是｜点坐标｜＝线段长。
一般解题思路是：（1）已知点坐标Þ线段长，线段长Þ……Þ点坐标；（2）用待定系数法求函数解析式；（3）解析式Þ点坐标Þ线段长Þ面积及其它。
解综合题中注意合理运用点在函数图象上，点的坐标适合函数解析式：（1）已知点P（a，b）（a，b为已知数）代入含“待定系数”的函数解析式构造关于待定系数的方程。（2）点P（a，k）或（k，b）（其中a，b为已知数，k为待定系数）代入含“待定系数k”的函数解析式，构造关于k的方程。（3）已知点P（a，y）或（x，b）（其中a，b为已知数，x，y为未知数），代入已知函数解析式，则可以用关于a的代数式表示y或用关于b的代数式表示x。（4）已知点P（x，b）（其中b为已知数，x为未知数），代入含待定系数k的函数解析式，可以用含k的代数式表示x。
解函数——几何综合题时，注意图形的分解。（把基本的几何图形从直角坐标系中分离出来，求出所需线段长后，再放回坐标系中）。
解函数——几何综合题时，注意对点位置的讨论。
综合题的学习既要见题有一定的思路，又不能模式化地套用旧有模式，应以数学思想方法为指导，致力于能力的提高。
五、数学建模的思想
简单的说就是把实际问题用数学语言抽象概括，从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出的关于实际问题的数学描述。其形式是多样的，可以是方程（组）、不等式、函数、几何图形等等。这需要考生具备阅读理解材料、获取有用信息、建立数学模型、解决实际问题的能力。
1.新情境应用问题有以下特点：（1）提供的背景材料新，提出的问题新；（2）注重考查阅读理解能力，许多中考试题中涉及的数学知识并不难，但是读懂和理解背景材料成了一道“关”；（3）注重考查问题的转化能力．解应用题的难点是能否将实际问题转化为数学问题，这也是应用能力的核心.
2.解答应用题的主要步骤有：(1)建模，它是解答应用解题的最关键的步骤，即在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题的本质抽象转化为数学问题；(2)解模，即运用所学的知识和方法对数学模型进行分析、运用，解答纯数学问题，最后检验所得的解，写出实际问题的结论．其解答的基本程序可表示如上。
3.常见的数学模型及相关问题归类如下：
建模
相关内容
方
程
工程、行程、质量分数、增长率（降低率）、利息、存贷、调配、面积等
函数
方案优化、风险估算、成本最低、利润最大
不等式、统计、概率
最佳设计、租金预算、合理调配、人口、环保、投资估算
解直角三角形
测高量距、航海、气象、图形设计、土地测量、堤坝、屋架计算
线性规划初步
产品成本、销售盈亏、投资获利、城市规划、产业预估、利润分配、生产方案设计