高考数学第一轮复习函数的奇偶性与周期性(课堂PPT).ppt

第三节 函数的奇偶性与周期性,1.,奇函数、偶函数的定义与性质,f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x),y,轴,原点,相反,相同,0,原点,(1),奇函数在关于原点对称的区间上的单调性,_,，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性,_,(2),若奇函数,f,(,x,),在,x,0,处有定义，则,f,(0),0.,(3),设,f,(,x,),，,g,(,x,),有：奇奇奇，奇,奇偶，偶偶偶，偶,偶偶，奇,偶奇,2,奇、偶函数的性质,相同,相反,3.,周期性,(1),周期函数：,T,为函数,f(x),的一个周期，则需满足的条件：,T0;,_,对定义域内的任意,x,都成立,.,(2),最小正周期：如果在周期函数,f(x),的所有周期中存在一个,_,，那么这个,_,就叫做它的最小正周期,(3),周期不唯一：若,T,是函数,y=f(x)(xR),的一个周期，则,nT(nZ,且,n0),也是,f(x),的周期,.,f(x+T)=f(x),最小的正数,最小的正数,4,对称性,判断下面结论是否正确,(,请在括号中打“,”,或“,”).,(1),偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点,.(),(2),函数,f(x)=0,x(0,+),既是奇函数又是偶函数,.(),(3),若函数,y=f(x+a),是偶函数，则函数,y=f(x),关于直线,x=a,对,称,.(),(4),若函数,y=f(x+b),是奇函数，则函数,y=f(x),关于点,(b,0),中心,对称,.(),【解析】,(1),错误,.,当奇函数的定义域不含,0,时，则图象不过原,点,.,(2),错误,.,函数,f(x),的定义域不关于原点对称,.,(3),正确,.,函数,y=f(x+a),关于直线,x=0,对称，则函数,y=f(x),关于,直线,x=a,对称,.,(4),正确,.,函数,y=f(x+b),关于点,(0,，,0),中心对称，则函数,y=f(x),关于点,(b,0),中心对称,.,答案：,(1)(2)(3)(4),1.,已知函数,y=f(x),是奇函数，则函数,y=f(x+1),的图象的对,称中心是,(),(A)(1,0)(B)(-1,0)(C)(0,1)(D)(0,-1),【解析】,选,B.,函数,y=f(x),的图象关于点,(0,0),对称，函数,y=f(x+1),的图象可由,y=f(x),的图象向左平移,1,个单位得到，,故函数,y=f(x+1),的图象的对称中心为,(-1,，,0).,2.,函数 的图象关于,(),(A)y,轴对称,(B),直线,y=-x,对称,(C),坐标原点对称,(D),直线,y=x,对称,【解析】,选,C.,函数,f(x),的定义域为,(-,0)(0,+),，且,函数,f(x),是奇函数,.,故选,C.,3.,已知定义在,R,上的奇函数,f(x),满足,f(x+4)=f(x),则,f(8),的值为,(),(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2,【解析】,选,B.f(x+4)=f(x),f(x),是以,4,为周期的周期,函数，,f(8)=f(0).,又函数,f(x),是定义在,R,上的奇函数，,f(8)=f(0)=0,故选,B.,4.,已知函数,y=f(x),是定义在,R,上的偶函数，且在,(-,0),上,是减函数，若,f(a)f(2),则实数,a,的取值范围是,(),(A)a2 (B)a-2,或,a2,(C)a-2 (D)-2a2,【解析】,选,B.,由题意知函数,y=f(x),在,(0,+),上是增函数，,且,f(-2)=f(2),故由,f(a)f(2),得,f(|a|)f(2),|a|2,，,解得,a2,或,a-2.,考向,1,函数奇偶性的判断,【典例,1,】,判断下列各函数的奇偶性,.,(1),(2),(3),【规范解答】,(1),由 得,-1,x1,因此函数的定义域,为,(-1,，,1,，不关于原点对称，故,f(x),为非奇非偶函数,.,(2),由 得,-1,x,0,或,0,x,1.,函数,f(x),的定义域为,(-1,0)(0,1).,此时,x-2,0,|x-2|-2=-x,又,函数,f(x),为奇函数,.,(3),显然函数,f(x),的定义域为：,(-,，,0)(0,+),，关于原,点对称，,当,x0,，则,f(-x)=-(-x),2,-x=-x,2,-x=-f(x),；,当,x0,时,-x0,，则,f(-x)=(-x),2,-x=x,2,-x=-f(x).,综上可知：对于定义域内的任意,x,，总有,f(-x)=-f(x),成立，,函数,f(x),为奇函数,.,【规律方法】,判断函数奇偶性的两个方法,(1),定义法：,(2),图象法：,【变式训练】,(1),若函数,f(x)=3,x,+3,-x,与,g(x)=3,x,-3,-x,的定义,域均为,R,，则,(),(A)f(x),与,g(x),均为偶函数,(B)f(x),为偶函数,g(x),为奇函数,(C)f(x),与,g(x),均为奇函数,(D)f(x),为奇函数,g(x),为偶函数,【解析】,选,B.f(-x)=3,-x,+3,x,=f(x),，,g(-x)=3,-x,-3,x,=-g(x),，,f(x),为偶函数,g(x),为奇函数，故选,B.,(2),判断下列函数的奇偶性：,【解析】,由 得,-2x2,且,x0,函数,f(x),的定义域关于原点对称，且,x+3,0,又,函数,f(x),为奇函数,.,f(x),的定义域为,R,，关于原点对称，当,x,0,时，,-x,0,f(-x)=-(-x),2,-2=-(x,2,+2)=-f(x);,当,x,0,时，,-x,0,f(-x)=(-x),2,+2=-(-x,2,-2)=-f(x);,当,x=0,时，,f(0)=0,也满足,f(-x)=-f(x).,故该函数为奇函数,.,考向,2,函数奇偶性的应用,【典例,2,】,(1)(2013,杭州模拟,),已知奇函数,f(x),是定义在,(-3,3),上的减函数,且满足不等式,f(x-3)+f(x,2,-3)0,则不等,式的解集为,.,(2)(2013,苏州模拟,)“a=1”,是“函数 在其定,义域上为,_,函数,【规范解答】,(1),因为,f(x),是奇函数,所以不等式,f(x-3)+f(x,2,-3)0,等价于,f(x,2,-3)-f(x-3)=f(3-x),又,f(x),是定义在,(-3,3),上的减函数,所以,解得,2x ,即不等式的解集为,(2,).,答案,:,(2,),(2),当,a=1,时，此时,=-f(x),f(x),是其定义域上的奇函数,.,当 是其定义域上的奇函数时，,f(-x)=-f(x),即,从而“,a=1”,是“函数 在其定义域上为奇函数”的,充分不必要条件,.,答案：,充分不必要,【变式训练】,(1),设,f(x),是定义在,R,上的奇函数，当,x0,时，,f(x)=2x,2,-x,，则,f(1)=(),(A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3,【解析】,选,A.,由奇函数的定义有,f(-x)=-f(x),，,所以,f(1)=-f(-1)=-,2(-1),2,+1,=-3.,(2),已知函数 为奇函数，则,a+b=_.,【解析】,设,x,0,则,-x,0,f(-x)=(-x),2,-x=x,2,-x.,又,f(-x)=-f(x),x,0,时，,f(x)=-f(-x)=-x,2,+x=ax,2,+bx,a=-1,b=1,a+b=0.,答案：,0,考向,3,函数的周期性及其应用,【典例,3,】,(1)(2012,山东高考,),定义在,R,上的函数,f(x),满足,f(x+6)=f(x),当,-3x,-1,时，,f(x)=-(x+2),2,;,当,-1x,3,时，,f(x)=x,则,f(1)+f(2)+f(3)+f(2 012)=(),(A)335 (B)338,(C)1 678 (D)2 012,(2)(2012,江苏高考,),设,f(x),是定义在,R,上且周期为,2,的函数，在区间,-1,，,1,上，其中,a,bR,若,则,a+3b,的值为,_.,【规范解答】,(1),选,B.f(x+6)=f(x),T=6.,当,-3x,-1,时,f(x)=-(x+2),2,;,当,-1x,3,时，,f(x)=x,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1,f(4)=f(-2)=0,f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0,f(1)+f(2)+,+f(6)=1,f(1)+f(2)+,+f(6)=f(7)+f(8)+,+f(12),=,=f(2 005)+f(2 006)+,+f(2 010)=1,f(1)+f(2)+,+f(2 010)=1 =335.,而,f(2 011)+f(2 012)=f(1)+f(2)=3,f(1)+f(2)+,+f(2 012)=335+3=338.,(2),因为,f(x),的周期为,2,所以,即,又因为,所以,3a+2b=-2 ,又因为,f(-1)=f(1),所以 即,b=-2a ,将,代入,，得,a=2,b=-4,a+3b=2+3(-4)=-10.,答案：,-10,【规律方法】,判断函数周期性的三个常用结论,若对于函数,f(x),定义域内的任意一个,x,都有：,(1)f(x+a)=-f(x)(a0),，则函数,f(x),必为周期函数,2|a|,是它,的一个周期,.,(2),则函数,f(x),必为周期函数，,2|a|,是,它的一个周期,.,(3),则函数,f(x),必为周期函数，,2|a|,是它的,一个周期,.,【提醒】,应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内,.,【变式训练】,设,f(x),是定义在,R,上的奇函数，且对任意实数,x,，,恒有,f(x+2)=-f(x).,当,x,0,2,时，,f(x)=2x-x,2,.,(1),求证：,f(x),是周期函数,.,(2),当,x,2,4,时，求,f(x),的解析式,.,(3),计算,f(0)+f(1)+f(2)+f(2 013).,【解析】,(1)f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),，,f(x),是周期为,4,的周期函数,.,(2),当,x,-2,0,时，,-x,0,2,，由已知得,f(-x)=2(-x)-(-x),2,=-2x-x,2,.,又,f(x),是奇函数，,f(-x)=-f(x)=-2x-x,2,f(x)=x,2,+2x.,又当,x,2,4,时，,x-4,-2,0,f(x-4)=(x-4),2,+2(x-4).,又,f(x),是周期为,4,的周期函数，,f(x)=f(x-4)=(x-4),2,+2(x-4)=x,2,-6x+8.,从而求得,x,2,4,时，,f(x)=x,2,-6x+8.,(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.,又,f(x),是周期为,4,的周期函数,f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7),=,=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)=0,，,f(0)+f(1)+f(2)+,+f(2 013)=f(0)+f(1)=0+1=1.,【创新体验,2,】,创新运用函数奇偶性问题,【典例】,(2013,辽宁高考,),已知函数,f(x)=ln(-3x)+1,则,f(lg 2)+f(lg )=(),(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2,【解析】,选,D.,令,g(x)=ln(-3x),，,则因为 ,3x,，所以函数定义域为,R,又,g(-x)=ln(+3x)=,=-ln(-3x)=-g(x),，,所以,g(x),为奇函数,所以,g(-x)+g(x)=0,，,所以,g(lg 2)+g(lg )=g(lg 2)+g(-lg 2)=0,，,所以,f(lg 2)+f(lg )=,g(lg 2)+1,+,g(lg )+1,=,g(lg 2)+g(-lg 2)+2=0+2=2.,【创新点拨】,1.,命题形式,:,常以给出函数,f(x)=g(x)+c(,其中,c,为非零常数,而,g(x),为奇函数,),求,f(x),最大值与最小值的和,或求,f(-a)+f(a)=2c,形式出现,.,【新题快递】,1.(2013,南京模拟,),已知函数,f(x)=,a=f(ln2 014),b=f(),则,a+b=,.,【解析】,由已知,f(x)=,令,g(x)=,则,g(x),为奇函数,且,f(x)=g(x)+1,，,a=f(ln2 014)=g(ln 2 014)+1,b=f(ln )=g(-ln 2 014)+1,则,a+b=g(ln 2 014)-g(ln 2 014)+2=2.,答案：,2,2.(2013,宁波模拟,),已知函数,f(x)=ln(x+),，,g(x)=,f(x)+2 015,，下列命题,:,f(x),的定义域为,(-,+);,f(x),是奇函数,;,f(x),在,(-,+),单调递增,;,若实数,a,b,满足,f(a)+f(b-1)=0,，则,a+b=1;,设函数,g(x),在,-2 015,2 015,的最大值为,M,最小值为,m,，则,M+m=2 015.,其中真命题的序号是,.(,写出所有真命题的序号,),【解析】,因为 ,x,所以,正确,.,对于,f(-x)=ln(-x+),=ln()=-ln(x+)=-f(x),，,所以,正确,.,对于,令,h(x)=x+,则,h(x),为增函数,又,y=ln x,为增函数,所以,f(x),在,(-,+),上单调递增,所以,正确,.,对于,，因为,f(x),为奇函数,所以,f(x)+f(-x)=0,所以,a=1-b,所以,a+b=1,，所以,正确,.,对于,f(x)=g(x)-2 015,为奇函数,f(x),max,=M-2 015,f(x),min,=m-2 015,，,所以,(M-2 015)+(m-2 015)=0,所以,M+m=4 030,，所以,错误,.,答案：,2.(2013,宁波模拟,),设偶函数,f(x),对任意,xR,，都有,且当,x,-3,-2,时，,f(x)=4x,则,f(107.5)=(),(A)10 (B)(C)-10 (D),【解析】,选,B.,因此,f(x),是周期为,6,的函数,.,又,f(x),是偶函数，,3.(2013,湖州模拟,),设函数,f(x),是定义在,R,上的周期为,2,的偶函,数，当,x,0,1,时，,f(x)=x+1,则,f()=_.,【思路点拨】,先根据周期性缩小自变量，再根据奇偶性把自变,量转到区间,0,，,1,上,.,【解析】,函数,f(x),是周期为,2,的偶函数，,答案：,4.(2013,温州模拟,),定义在,-2,2,上的奇函数,f(x),当,x(0,2,时，,f(x)=-x+1,则不等式,f(x)-f(-x)2x,的,解集为,.,【解析】,函数,f(x),为奇函数，,f(-x)=-f(x),则,f(x)-f(-x)=2f(x)2x,即,f(x)x,当,x(0,2,时,f(x)=-x+1x,解得,0 x ,当,x=0,时，,f(x)=0 x,解得,x=0,当,x,-2,0),时，,f(x)=-x-1x,解得,-2x-,综上所述：,-2x-,或,0 x .,答案：,x|-2x-,或,0 x ,