二次函数的最值.doc

二次函数的最值问题教案
仁和坪中学 邓勇
一． 复习内容：二次函数的最值问题
二． 教学目标：
知识与技能：1.理解二次函数的顶点、端点与最值的关系；
2．能利用二次函数知识解决实际问题中的最值问题。
过程与方法：1.能将实际问题转化为二次函数问题，进而建立数学模型。
情感态度与价值观：通过实际问题与二次函数的联系，培养学生应用数学知识解决实际问题的能力。
三． 教学重难点：
重点：利用二次函数的最值问题解决实际问题。
难点：如何讨论二次函数在约束条件下的最值问题。
四． 教学方法：自主学习，合作探究。
五． 教学过程：
（一） 知识回顾：
1. 说出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标及函数的最大值或最小值。
1）y=2x2 2) y=-3x2+5 3) y=4(x-1)2 +2 4) y=- x2—x +4
2. 你能说出二次函数y=x2-2x-3 的最大值或最小值吗？
3. 对于任意的二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 如何确定其最大值或最小值？
y=ax2+bx+c (a≠0) 如果a＞0 当x=-时 函数有最小值，最小值为
如果a＜0 当x=-时 函数有最大值，最大值为
（二） 变式探究：
如果自变量取值范围不限制，则最大（最小）值在顶点处取得。若自变量在给定范围内，那又如何确定其最值呢？
例、在下列范围内求二次函数y=x2－2x－3的最大或最小值
① 0≤x ≤ 3 ②2≤x ≤ 4

（三）二次函数与最大利润
例：某商店将每件进价8元的商品按每件10元出售，一天可销售约100件，该店想通过降低售价的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？

解：设每件商品降价x元（0≤x ≤ 2），该商品每天的利润为y元
则y与x的关系式为：
Y=（10－x－8）（100+100 x）
Y=- 100x2+100 x+200
Y=-100（x－0.5）2+225
∵x=0.5时满足0≤x ≤ 2 ∴当x=0.5时 函数取最大值y=225
则将这种商品的售价降低0.5时能使销售利润最大.

（三） 二次函数与最大面积
如图，有长为24米的篱笆，利用一面墙（墙的最大可用长度a为10米）围成中间有一道篱笆的长方形菜园。设菜园的宽为AB为x米，面积为S米。
（1） 求S与x的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（2） 当x取何值时，S有最大值，求出最大值。

解（1）S=x（24－3 x）=-3x2+24x
∵0＜24－3 x≤10
∴≤x＜8
（3） 令x=
S=-×（24－3×）=
则当x取时，S有最大值，最大值为。

（
四）巩固练习：在一个底为8米，高为6米的三角形木板上，要从中剪一个面积最大的距形，则距形面积是多少？
A
B
F
E
D
G
C
H
K
解：设EF=X 距形面积为S (0＜X＜6
∵EFGH是距形
∴EH∥FG
∴△AEH∽△ABC
∴=
6EH=48－8X
EH=8－ X
∴S=（8－ X）·X=－ X2+8 X=－（X－3）2+12

∵X=3时 满足0＜X＜6
∴当EF=3时 距形面积最大，最大面积为12米2

（五）课堂小结：利用二次函数求最值问题，首先要分析问题中的变量和常量，写出二次函数的关系式，a＞0函数有最小值，a＜0函数有最大值，最大（最小）值为，直线x=-是抛物线对称轴，在没有给出自变量取值范围的情况下，最值顶点处取得；但在实际问题中的二次函数，可能不是一条完整的抛物线，而只是抛物线的一部分，实际问题中函数值的变化范围，应结合函数图像增减性进行分析。