线性代数与空间解析几何学习指导.doc

哈尔滨工业大学远程教育学院
《线性代数与空间解析几何》学习指导
陈延梅

课程名称：线性代数与空间解析几何
英文名称：Linear Algebra and Space Analytic Geometry
开课院系：远程教育学院
开课学时：54
学 分：3
授课对象：远程教育学院专升本计算机科学与技术专业学生
一、教学目的与课程性质、任务。
《线性代数与空间解析几何》是为计算机等工科专业开设的一门重要基础数学课，它具有逻辑推理的严密性和实际应用的广泛性。本课程的基本概念、基本方法和基本理论是计算机专业学生学习后继课程所必备的数学基础，同时本课程对于培养学生的严密的逻辑推理能力，抽象的思维表达能力，空间想象能力以及解决实际问题的能力都有着十分重要的意义。本课程将线性代数与空间解析几何融为一体，使学生切实体会“代数”与“几何”的密切关系，学会并掌握以代数为工具研究几何问题以及为代数问题寻找直观的几何背景。
二、教学要求
通过这门课程的学习，使学生能够比较系统地掌握行列式，矩阵，几何向量，n维向量，线性方程组，特征值、特征向量和相似矩阵，二次型及二次曲面的基本概念、基本方法和基本运算技巧。逐步培养学生抽象思维能力，逻辑推理能力，运算技能，并且能运用所学知识解决实际问题。具体要求如下：
第一章 行列式
1 了解行列式的定义；
2 掌握行列式性质、行列式的降阶法则；
3 熟练掌握三阶行列式、四阶行列式和特殊高阶行列式的计算方法；
4 了解克莱姆法则的基本思想，并会将其运用于求解特殊的线性方程组。
第二章 矩阵
1 了解矩阵的概念和一些特殊矩阵；
2 掌握矩阵的基本运算（加法、减法、数乘以及矩阵的乘法）；
3 理解方阵的逆的概念和方阵可逆的充分必要条件，会用伴随矩阵方法求可逆方阵的逆；
4 理解矩阵的秩的概念；
5 掌握矩阵的初等变换和矩阵等价的概念，并会熟练运用矩阵的初等变换将矩阵化成行阶梯形、最简形和标准形；掌握利用矩阵的初等变换求矩阵的秩和可逆方阵的逆；
6 了解初等方阵的概念及其与初等变换的关系；
7 了解分块矩阵的概念，熟悉分块矩阵的基本运算。
第三章 几何向量
1 了解几何向量、自由向量的概念及其线性运算（加法、减法和数乘）；
2 掌握几何向量的投影、数量积、向量积和混合积的概念和基本性质；
3 熟悉空间直角坐标系的概念、向量的坐标及其与空间中点的坐标的关系；掌握计算向量的数量积、向量积和混合积的方法；
4 理解空间中平面、直线的方程的各种表示形式以及它们相互之间的转化，会求空间中平面和直线方程；
5 掌握空间中平面与平面、平面与直线、直线与直线的位置关系的确定方法。
第四章 n维向量
1 了解n维向量的概念及其表示，了解向量组与矩阵的关系；
2 理解向量组线性相关与线性无关的概念、性质及其判定方法；
3 掌握向量组的极大无关组和向量组的秩的概念及其求法；
4 了解向量空间及其维数、基和坐标的概念和确定方法，掌握将线性无关向量组正交化、单位化的方法。
第五章 线性方程组
1 理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件；
2 理解非齐次线性方程组解的存在性判定的充分必要条件及其与导出组的关系；
3 熟练掌握利用矩阵的初等变换求齐次线性方程组的基础解系和通解；
4 熟练掌握利用矩阵的初等变换求非解齐次线性方程组；
5 了解含参数的线性方程组的解的判定及其求解方法；
6 了解线性方程组及其解的几何意义。
第六章 相似矩阵
1 理解方阵的特征值和特征向量概念及其性质；
2 熟练掌握求方阵的特征值和特征向量的具体方法；
3 理解矩阵相似的概念、相似矩阵的性质和矩阵相似对角化的条件；
4 掌握矩阵相似对角化的方法和步骤；
5 掌握实对称矩阵的正交相似对角化方法。
第七章 二次型与二次曲面
1 了解合同矩阵，二次型概念及其矩阵表示；
2 掌握将实二次型化成标准形的三种方法（正交变换法、合同变换法—初等变换法和配方法）；
3 了解实二次型的惯性定律和正定二次型概念；
4 掌握判定二次型正定性的多种方法（定义法、特征值法、顺序主子式法等）；
5 了解二次曲面的概念，熟记特殊二次曲面的表示形式；
6 掌握建立旋转曲面方程的基本方法；
7 熟悉空间曲线在坐标面上的投影方程的建立；
8 在几何空间中，掌握判定二次型属于何种几何曲面的方法。
三、教学进度表
序号
知 识 点
学时分配
1
行列式概念和性质
2
2
行列式降阶法则，行列式计算，克莱姆法则
2
3
矩阵概念、特殊矩阵，矩阵线性运算（加、减和数乘），矩阵乘法
2
4
矩阵乘法（续），方阵的逆，矩阵的秩
2
5
初等变换和等价矩阵
2
6
初等方阵
2
7
分块矩阵及其运算
2
8
几何向量概念和线性运算（加、减和数乘），投影、数量积
2
9
向量积，混合积，直角坐标系，几何空间中平面
2
10
几何空间中直线方程，位置关系
2
11
n维向量概念、线性运算，向量组与矩阵的关系
2
12
向量组线性相关、线性无关概念、性质
2
13
向量组线性相关性的判定，极大无关组
2
14
向量组的秩
2
15
向量空间基、维数和坐标，向量组正交化、单位化
2
16
齐次线性方程组解的结构及求解
2
17
非齐次线性方程组解的存在性判定及求解方法
2
18
方阵特征值、特征向量定义、性质和求法
2
19
相似矩阵概念、性质，矩阵可相似对角化条件
2
20
实对称矩阵正交相似对角化
4
21
合同矩阵，二次型概念、矩阵表示
2
22
用正交变换法、配方法和初等变换法化二次型为标准型
2
23
惯性定律，正定二次型概念、判定
2
24
空间中曲面方程，旋转曲面
2
25
空间曲线，投影
2
26
二次型与二次曲面，分类
2
27
总复习
2
四、课程的重点和难点
第一章 行列式
本章学习重点：
l、行列式性质；
2、行列式降阶法则；
3、行列式计算。
本章难点：
1、余子式和代数余子式
第二章 矩阵
本章学习重点：
l、矩阵乘法；
2、可逆方阵的逆的判定和求法；
3、初等变换与等价矩阵。
本章难点：
1、伴随矩阵；
2、矩阵的秩。
第三章 几何向量
本章学习重点：
l、几何向量的数量积、向量积和混合积；
2、几何空间中平面方程、直线方程；
3、平面与平面、平面与直线、直线与直线的位置关系。
本章难点：
l、几何向量的向量积，混合积；
2、距离。
第四章 n维向量
本章学习重点：
l、向量组的线性相关与线性无关概念、性质与判定
2、极大无关组与向量组的秩。
本章难点：
1．向量组的相关性概念；
2．向量组的秩。
第五章 线性方程组
本章学习重点：
l．齐次、非齐次线性方程组解的结构；
2、齐次、非齐次线性方程组的求解；
本章难点：
l、齐次线性方程组有非零解的充要条件；
2、非齐次线性方程组有解的充要条件；
3、含参数的线性方程组的解的结构及求解。
第六章 相似矩阵
本章学习重点：
l、方阵的特征值、特征向量的性质和求法；
2、相似矩阵的性质。
3、实对称矩阵的正交相似对角化。
本章难点：
l、矩阵的相似对角化。
第七章 二次型与二次曲面
本章学习重点：
l、化二次型为标准形的三种方法；
2、二次型及对称矩阵的正定性；
3、典型的二次曲面的标准方程；
4、二次曲面分类。
本章难点：
l、用正交变换和初等变换化二次型为标准形；
2、典型二次曲面方程的建立。
五、教材及学习参考书：
1、郑宝东等编，《线性代数与空间解析几何》，哈尔滨工业大学出版社，2001年。
2、龚冬保等编，《线性代数与空间解析几何》，西安交大出版社，2000年。
3、龚冬保等编，《线性代数与空间解析几何典型题》，西安交大出版社，2000年。
六、成绩考核办法
1、平时作业：10分。
2、期末考试：90分。