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导数典型错误例析
舞阳二高 高广伟
导数是高中数学限选知识中一个重要知识块，应用广泛，尤其是利用导数求函数的单调性、极植、最值、和切线的方程，但在教学过程中，发现导数的应用还存在许多误区。
一、错误理解导数定义
例1. 已知函数，求
错解：因为

剖析：错误的主要原因是由于对导数的定义理解不清，导数
函数在某一点处的导数，就是函数在这一点的函数值的增量与自变量的增量的比值在自变量的增量趋近于零时的极限，分子分母中的自变量的增量△x必须保持对应一致，它是非零的变量，它可以是，等。

二、没有准确理解为极值的充要条件
例2. 函数在处有极值10，求a、b的值。
错解：，由题意知
，且
即，且
解之得或
剖析：错误的主要原因是把为极值的必要条件当作了充要条件，
为极值的充要条件是
且附近两侧的符号相反，所以后面应该加上：
当时

在附近两侧的符号相反，

当时，
在附近两侧的符号相同，
所以舍去。
∴（时，
的图象见下面左图，
时，
的图象见下面右图。）

三、函数的单调区间不完整
例3. 求函数的单调增区间。
错解：由题意得

又因为函数的定义域是
所以函数的单调递增区间是（0，1）和（1，）。
剖析：错解错在对函数在处是否连续没有研究，显然函数在处是连续的，所以函数的单调递增区间是。（函数的图象见下图）对于（或）的解集中的断开点的连续性，我们要进行研究，不能草率下结论。

四、没搞清函数单调的充要条件
例4. 已知函数在内单调递减，求实数a的取值范围。
错解：，由函数在内单调递减知在内恒成立
即在内恒成立
因此
剖析：错误的主要原因是由于对函数在D上单调递增（或递减）的充要条件是（或）且在D任一子区间上不恒为零没有理解。而当时在恒成立，所以不符合题意，舍去。
五、求函数的最值时没有考虑函数的不可导点。
例5. 求在上的最大值和最小值。
错解：由题意得
令得

∴当和3时，函数的最大值是
当时，函数的最小值是1
剖析：错误的主要原因是解题过程中忽略了对函数的不可导点的考察，因为函数的最值可以在导数为零的点或不可导点或区间的端点处取得。所以后面应该加上：在定义域内不可导的点为：

∴当和3时，函数的最大值是
当或2时，函数的最小值是0
函数的图象如图

六、求函数的极值时没有考虑函数的不可导点
例6. 求在上的极值。
错解：由题意得
令，得
当时，在附近两侧的符号相反，左正右负
∴，是函数的极大值点。
剖析：错误的主要原因是解题过程中忽略了对函数的不可导点的考察，因为函数的极值可以在定义域内导数为零的点或不可导点取得。所以后面还应该加上：在定义域内不可导的点为：
经计算，在附近两侧的符号相反，左负右正
在附近两侧的符号相反，左负右正
和是函数的两个极小值点
∴函数的极大值为
极小值为
（函数的图象见上图）

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