基本函数基本函数的图象及其基本性质、分段函数、复合函数、抽象函数的图象与-....doc

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高考数学讲座——函数
主讲：奉贤中学 宋林荣
函数是中学数学最重要的内容之一（三大板块内容之一），是高中数学教材的一条主线，是历年高考命题的重点。函数的概念是以集合为基础，也是学习高等数学的基础。
函数的主要内容：函数的概念（三个要素：定义域、值域和对应法则）、基本初等函数的性质和图像。其中包括了三角函数和反三角函数，数列实质上也是函数，只是定义域为正整数集或正整数集的子集。
学习中，要求掌握的函数具体内容有：函数的定义域、值域、图像、奇偶性、单调性、周期性、最值、反函数、和（积）函数，以及相关的具体函数的图像及性质。
研究函数，主要从定义、图像、性质三方面加以研究。
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一、函数与反函数
【例题1】 已知，而且。由此能否确定一个函数关系？如果能，求出其解析式、定义域和值域；如果不能，请说明理由。

【例题2】下列各对函数中，相同的是（ ）
（A）和 （B）和
（C）和 （D）和
【例题3】求下列函数的反函数：（1）；（2）。

【例题4】下列函数中，反函数为其自身的函数是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【例题5】函数，函数是函数的反函数，求的值。

二、函数的定义域与值域（最值）
【例题6】（1）已知函数的定义域为，的定义域为，求。
（2）函数的定义域为 。

【例题7】求函数定义域和值域。

【变式题】求函数定义域和值域。

【例题8】设，是在上的最小值，求的最大值。

三、和函数与积函数
【例题9】设是R上的任意函数,则下列叙述正确的是（ ）
(A)是奇函数 (B)是奇函数
(C) 是偶函数 (D) 是偶函数

四、函数的奇偶性与单调性
【例题10】（1）判断下列函数的奇偶性： ①；②。

（2）已知a常数，函数为奇函数，求实数a的值；

（3）已知是上的减函数，那么的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）

【例题11】已知函数。（1）当a为何值时，函数为偶函数；
（2）若函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围。

【例题12】求下列函数的单调区间：（1）；（2）。

五、函数的对称性与周期性
【例题13】函数的图像关于直线对称的图像为C，求C对应的函数的解析式。

【例题14】已知函数对任意的，都有，且。（1）求、、的值；（2）求函数的一个周期并证明；（3）若，求的值。

六、函数图像变换与图像应用
【例题15】（1）把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：若函数的图像与函数的图像关于 对称，则函数 。（答案不唯一）
（2）若函数在区间上是增函数，求实数a、b的取值范围。

【例题16】 方程x2+x－1＝0的解可视为函数y＝x+的图像与函数y＝的图像交点的横坐标，若x4+ax－4＝0的各个实根x1，x2，…，xk (k≤4)所对应的点(xi ,)（i＝1,2,…,k）均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是 。
七、二次函数与分式函数
【例题17】已知函数，，求函数的最小值。

【例题18】已知函数。（1）若存在实数x，使得，求实数a的取值范围；（2）设，在区间上递增，求实数a的取值范围。

【例题19】已知函数 （常数）求在区间上的最值。

八、含绝对值函数与分段函数
【例题20】画出函数的大致图像。

【例题21】（1）设函数，则 。
（2）设函数，若，则的取值范围是 。
【例题22】 对a,bR,记max{a,b}=，函数f（x）＝max{|x+1|,|x-2|}(xR)的最小值是（ ） (A)0 (B) (C) (D)3
九、复合函数与抽象函数
【例题23】求函数的单调递增区间。
【例题24】已知的定义域为，且对一切正实数x，y都成立，若，则 。
【例题25】已知定义域为，且对任意的、，恒有，时，。（１）求的值，并证明；（２）求证：在的定义域内恒有。

十、函数的应用性问题与综合性问题
【例题26】已知函数的图象与函数的图象关于点A（0，1）对称.（1）求函数的解析式（2）若=+，且在区间（0，上的值不小于，求实数的取值范围。

【例题27】 某工厂生产一种机器的固定成本为5000元，且每生产100部，需要增加投入2500元，对销售市场进行调查后得知，市场对此产品的需求量为每年500部，已知销售收入的函数为，其中x是产品销售的数量（0≤x≤500）。（1）若x为年产量，y表示利润，求y=f(x)的表达式。(2)当年产量为何值时，工厂的利润最大，其最大值是多少？（3）当年产量为何值时，工厂有盈利？

十一、函数存在性问题与恒成立问题
【例题28】已知函数是奇函数，当x>0时，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1).（1）试求函数f(x)的解析式；（2）问函数f(x)图象上是否存在关于点（1，0）对称的两点，若存在，求出点的坐标;若不存在，说明理由。

【例题29】设，。（1）当时，恒成立，求的取值范围；（2）当时，恒成立，求的取值范围。

【例题30】已知函数对任意实数都有，（1）若为自然数，试求的表达式；（2）若为自然数,且时，恒成立，求的最大值。