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旋转与全等的综合应用
【基础回顾】
1、如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，则图中的△ 和△ 可以经过旋转得到，这时旋转中心是 .

2、如右图，A(2,3)是双曲线上的一点，P为轴正半轴上一点，将A点绕P点顺时针旋转
90°，恰好落在双曲线上的另一点B，则P点的坐标是 .

【例题解析】
【例1】已知Rt△ABC中，∠ACB＝90º，BC＝5，＝ ．将△ABC绕点C逆时针旋转α（45°＜α＜135°）得到△DCE，设直线DE与直线AB相交于点P，连接CP．
（1）如图1，当CD⊥AB时，求证：PC平分∠EPA；
（2）如图2，当点P在边AB上时，求证：①PC平分∠EPA；②PE＋PB＝6；
（3）在△ABC旋转过程中，连接BE，当△BCE的面积为 时，求∠BPE的度数及PB的长.
A
C
B
D
E
F
P
图1
A
C
B
D
E
F
P
图2

【练】如图，把一块含60°的三角尺ACB与边长为2的正方形ACFG按如图所示重叠在一起，∠B=30°．若把三角尺绕直角顶点C按顺时针方向旋转，使斜边AB恰好经过正方形ACFG的顶点F，得△PCN，PC，PN交AB于D、E．
（1） △ACB至少旋转多少度才能得到△PCN？请通过计算说明理由；
（2）求PD的长度；
（3）试求出△ACB与△PCN的重叠部分（即四边形CDEF）的面积.

【例2】把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕O点逆时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°），四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）．
（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；
（2）连接HK，在上述旋转过程中，设BH=x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的？若存在，求出此时x的值；若不存在，说明理由．

【练】在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AB=4，把一个含60°角的三角板与这个菱形叠合，使三角板的60°角的顶点与点A重合，两边分别落在AB、AC上．将三角板绕点A按逆时针旋转，设旋转角为α.
（1）如图①，当0°＜α＜60°时，三角板的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F，请你通过观察或测量写出图中现有的两组相等线段（菱形的边和对角线除外）．
（2）如图②，当60°＜α＜120°时，三角板的两边分别与BC、CD的延长线相交于点E、F，你在（1）中得到的结论还成立吗？若成立，请你选择一组加以证明；若不成立，请你说明理由．
（3）当0°＜α＜60°时，三角板的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F，请你求出这个三角板与这个菱形重合部分的面积．

【例3】（2013年新起点调考25题）如图1，△ABC，△AED都是等腰直角三角形，∠ABC=∠E=90°，
如图2，将△ADE绕点A逆时针旋转，使BE=100，连接DC，求五边形ABCDE的面积.
图2

图1

图1

【家庭作业】
1. 在平面直角坐标中，边长为2的正方形的两顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点在原点.现将正方形绕点顺时针旋转，当点第一次落在直线上时停止旋转，旋转过程中，边交直线于点，边交轴于点（如图）.
（1）求边在旋转过程中所扫过的面积；
（2）旋转过程中，当和平行时，求正方形旋转的度数；

O
A
B
C
M
N

（3）设的周长为，在旋转正方形的过程中，值是否有变化？请证明你的结论.

2.（2012年元月调考题）在等腰△ABC中，AB＝AC，边 AB绕点 A逆时针旋转角度m得到线段 AD·
（1）如图1，∠ BAC＝30°，30°＜m＜180°，连接BD，请用含m的式子表示∠DB C的度数；
（2）如图2，若∠BAC＝60°，0°＜m＜360°，连接BD、DC，直接写出△BDC为等腰三角形时m所有可能的取值 ；
（3）如图3，若∠BAC＝90°，射线AD与直线BC相交于点E，是否存在旋转角度m，使，若存在．求出所有符合条件的m的值，若不存在，请说明理由．