圆心角、弧、弦之间的关系.doc

圆心角、弧、弦关系的教学设计

大同市大同县瓜园中心学校
郭润杰

圆心角、弧、弦之间的关系

一、教学背景分析

1、教学内容分析：本节的内容是人教版九年级上册第二十四章圆第一单元：圆的有关性质的第三课时的 内容。本节课同样是由圆的对称性引入，教学的主要内容是圆心角、弧、弦之间的关系，它由圆的旋转不变性引出，是圆的轴对称性学习之后圆的又一重要性质，圆心角、弧、弦之间的相等关系是对以后学习以及证明和计算起着重要的作用。
2、学生情况分析：学生在八年级已经学习过中心对称与中心对称图形，对于直线型的图形如平行四边形、矩形、菱形等中心对称图形有一定的了解，了解中心对称的概念以及相关的性质。前一节已经学习过弦、弧等圆的有关概念和垂径定理的内容，利用垂径定理及推论解决了与直径、弦、弧等有关的问题，对于圆是中心对称图形和圆具有旋转不变性容易理解。但对弦、弧以及要学到的圆心角、弦心距等之间的关系，并且怎样利用这些关系解决一些有关的证明和计算等方面的问题，圆心角、弧、弦关系这一内容，学生是缺乏的，本节课就是让学生进行探究学习的亲身体验和总结及应用。
二、教学目标
1、知识目标：理解圆的旋转不变性，掌握圆心角、弧、弦之间的关系定理及其推论，会用这三者之间的关系进行简单的证明。
2、能力目标：通过本节课的学习培养学生观察、实验、探究、归纳和概括能力。通过直观感知和数学思考的学习活动，探索圆心角、弧、弦之间的相等关系，并会运用这一关系进行推理和证明，进一步发展图形的想象能力和推理证明的能力。
3、情感态度与价值观：结合本课教学内容向学生渗透事物之间可相互转化的辩证唯物主义教育；渗透圆的内在美——对称性。并使得学生在小组合作中尝试交流，在“做数学”的活动中体会数学的严谨性。
三、教学重点、难点
重点：圆心角、弧、弦之间的关系定理及其推论

难点：对定理中“在同圆或等圆中”前提条件的理解，以及从感性到理性的认识，发现归纳能力的培养。
四、 教学进程
（一） 创设情境直观感知引入新知
1、知识回顾
问题1、什么是中心对称图形？中心对称图形有哪些性质？
问题2、说一说你所了解的中心对称图形有哪些？
实际情境引入：
如图是一个游戏转盘，转盘分成六个相同的扇形，颜色分为黄，绿两 种颜色，指 针
的位置固定。

（1）、通过旋转转盘，你发现圆是中心对称图形吗？
（2）、如果我们把转盘转动90°的角度，它还能与原来的位置位置重合吗？如果是任意一个角度呢？
（二）、探究新知
探究活动一：如果我们将其中颜色为绿色的扇形两条半径的外端连接得到两条弦，想
一想，你认为在转盘（圆）中有哪些相等的量？

预设：学生会初步感知：扇形面积相等,圆心角相等，有相等的弧，相等的弦，半圆面积等等。教师对于学生的发现给予肯定。指出扇形面积，半圆面积等我们前边已经研究过了，今天主要研究圆心角、弧、弦的对应数量关系，点名课题。

探究活动2：你如何说明图中你所找到的相等关系？

简化写成：若∠AOB=∠ A′OB′，那么用符号语言可表示为：
学生活动：
学生回报展示：
（1）AB=A′B′
（2）弧AB=弧A′B′
教师补充过O点分别作AB、A′B′的弦心距，并提出问题
（3）OE与OF什么关系？
预设1：学生可以通过测量近似得到
AB=A′B′，OE=OF， 但是对于说明弧相等缺少方法，在此启发学生利用圆的中心对称性与等弧的定义说明。

鼓励学生写出已知和求证

预设2：部分学生可以通过三角形全等的证明来论证（1）、（3） 的结论。

思考：若把同圆换成等圆，结论成立么？
（利用手中的等圆纸片旋转确认）

鼓励学生用简练的语言叙述结论，并画图，写出几何推理格式

师生共同总结概括：
定理：在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等。（对弦的弦心距也相等）

探究活动3：思考：若没有“在同圆或等圆中”这个前提条件，结论还成立么？若不成立，举出反例。

自主思考
会举反例说明
三种语言的对照，严谨几何推理格式

探究活动4：
找出定理的题设和结论，提出问题，每次交换一个题设与结论，结论是否成立？

分组合作，探究展示并形成结论

前提条件： 在同圆或等圆中，相等的圆心角
结论： 所对的弦相等，所对的弧相等，所对的弦的弦心距相等

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦（弦心距）中的一组量相等，那么他们对应的其余各组量都分别相等

（三） 学以致用巩固新知
探究活动5课：已知：如图，点P在⊙O外,圆心O在∠EPF的平分线上，∠ EPF的两边交⊙O于点A、B和C、D。
求证：AB=CD

探究活动6.
1 变式（1）：当点P从圆外依次平移到圆上，圆内时，上述结果还成立么？证明过程相同么？
2 变式（2）若以O为圆心作圆，分别交∠ EPF于A、B、C、D四点，且AB=CD,问：圆心O在∠ EPF的平分线上么？
反思：在此题目中，你学到了什么辅助线的做法？

探究活动7
已知：（1）弦AB所对的劣弧是圆的三分之一，且OC ﬩AB,垂足为E.问：△ACO是什么三角形？四边形ACBO是什么特殊四边形？为什么？

（2）若∠AOB= 120°，C
是弧AB的中点，四边形ACBO是什么特殊形？为什么？

探究活动8（拓广与延伸）
弧、弦、弦心距之间的不等量关系
（1）在同圆或等圆中，是不是弧越长，它所对的弦越长？是不是弦越长，它所对的弧越长？
（2）AB和CD是⊙O的两条弦，OM和ON分别是AB和CD的弦心距，如果AB>CD，那么OM和ON有什么关系？为什么？
四、课堂小结及布置作业

归纳小结布置作业
本节课的知识点：一个定理一个推论
思想方法小结。
要养成及时小结数学方法的习惯：如如何证明等弧、等弦、圆心角相等，共有几种方法等，
小结辅助线的做法
作业：练习册相关作业
自由发言，互相补充，完善课堂
通过课堂及时小结，帮助学生几时归纳所学的知识点以及思想方法，对新旧知识形成网络。

五．课后反思
一、在创设情景引入方面，引用贴近学生生活的实例，他们都熟知，感兴趣的转盘游戏入手，把学生带入探索式的学习情景中。将圆分成六等份，是在学生已有知识经验的基础上来引入本课时的学习内容，达到以旧引新，同时又能激发学生学习的兴趣。《课标》一再强调，数学从生活中来，又服务于生活，一定要赋予数学问题以书本知识的世界与学生的经验世界这二方面中恰恰好的链接的桥梁。
二、在定理的探究上，采取了思维发散的探究方式。即没有点明老师想要学生探究的方向，一切从学生兴趣与愿望出发，这样既能发展学生的发散思维，又能使得学生对于自己的发现欲望产生兴趣，积极地去探索，使课堂教学充分的发挥学生学习的主体性和小组间的合作性。
三、本节课的设计完全采取学生小组合作探究的方式进行。数学《课标》要求学生在“做数学”，在做的活动中通过小组合作的方式，经历尝试、猜想与他们的相互交流中获益，并学会尊重他人的看法，在数学活动中感受他人的思维方式和思维过程，以改进自己在认知方面的单一性，促进每一个学生的发展。充分体现学生的课堂参与性与教师的启发性与引导性。
四、例题设计采取“一题多变，多解归一”的方式，令学生认识“形变”结论不变的本质，以此发展学生的数学发散思维，培养他们的数学学习的方法，提高分析问题和解决问题的能力。