因式分解的教学实录与反思.doc

《因式分解》教学实录
江苏海安南屏中学 陈伯平
师：小学我们学过分数的约分，要约分就要进行因数分解，你会把15和42分解因数吗？
生： 15=3×5，42=2×3×7．
师：你知道将一个整数分解因数有什么作用吗？
生：能看出这个数能被哪些数整除。
生：为学习分数的服务。
师：很好！数式通性，你能把一个整式分解成几个整式乘积的形式吗？整式包含了单项式和多项式，单项式简单应该可以，能不能把一些多项式分成几个整式乘积的形式呢？这是我们从这节课开始要研究的内容。请大家完成下面四题。（学生完成）
师：谁先来说说。
生：ma+mb+mc=m(a+b+c) ．
生：x2+x=x(x+1) ．
生：x2-1=(x+1)(x-1) ．
生：a2+2ab+b2=(a+b)2．
师：像上面这些把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，大家可以给它取名字吗？
生：因式分解。
师：下列各式从左到右是因式分解的是（ ）．
⑴x－4 y=(x＋2y)(x－2y)；
⑵(a＋3)(a－3)= a－9；
⑶x＋4x＋4= (x＋2)；
⑷2πR＋2πr＋1=2π（R＋r）＋1．
生：⑴、⑶
师：⑵为什么不是？它属于什么？
生：⑵从左到右的变形属于整式的乘法，不符合因式分解的定义，从右往左才是因式分解。
师：⑷为什么不是？
生：因为等于的右边并不是几个整式乘积的形式。
师：你感觉因式分解会有什么作用呢？
生：跟分解因数应该差不多吧。
师：可以说的具体一点吗？
生：可以看出一个多项式能被哪些整式整除，也应该可以为分式的运算服务。
师：你分析得非常好，因式分解是分式的运算和恒等变形的重要依据。由上面的过程你还能得到哪些结论？
生：因式分解和整式乘法的过程正好相反，借助于整式的乘法可以进行因式分解，也可以借助于整式的乘法检验因式分解是否正确。
师：说得非常好，因式分解是不是一定要根据整式的乘法才能进行呢？这就是我们接下来要研究的因式分解的方法。请大家先来寻找多项式ma+mb+mc的特征。
生：每一项都有因式m.
师：m就是多项式ma+mb+mc的公因式。请同学们思考一下多项式3 x＋2 x－x，8 ab＋12 a bc，2 a（b－c）－3（b－c）各项的公因式各是什么．
生：第一个多项式的公因式是x，第二个多项式的公因式是a、b，第三个多项式的公因式是（b-c）.
师：有没有不同意见的？
生：第二个多项式的公因式是4ab2。
师：你能说理由吗？
生：a、b是第二个多项式的公因式，但没说全。
师：说得非常好，如何来找一个多项式的公因式呢？我们可以从三个方面来思考，第一先考虑公因式的系数，如何确定系数？
生：系数取各项系数的最大公约数。（教师板书公因式满足的要求）
师：第二确定字母（因式），如何确定呢？
生：各项都有的字母（因式）。（教师板书）
师：确定字母（因式）的指数，如何确定？
生：指数应该取最低的。（教师板书）
师：借助于m(a＋b＋c)=ma＋mb＋mc，多项式ma＋mb＋mc就可以写成公因式m与另一个多项式a＋b＋c乘积的形式，从而将多项式进行了因式分解。另一个多项式a＋b＋c是怎么得到的？
生： 用多项式ma＋mb＋mc除以公因式m以后得到的商式。
师：说得非常好！请你将多项式8 ab＋12 a bc进行因式分解。（学生思考）
师：请同学们说说看怎么做？
生：首先确定公因式4ab2，然后确定提出公因式以后各项剩下的部分。
师：请你具体一点。（学生说，教师板书）
生：8 ab＋12 a bc等于4ab2. 2a2+4ab2. 3bc等于4ab2（2a2+ 3bc）
师：不错！如果将8 ab＋12 a bc变成-8 ab＋12 a bc又如何进行因式分解呢？
生：-8 ab＋12 a bc= -4ab2. 2a2+4ab2. 3bc=4ab2（3bc- 2a2）
师：你将两项交换了位置，这样处理的目的是什么？
生：提出公因式后剩下的因式比较简洁。
师：你处理得非常好！如果我将多项式8 ab＋12 a bc变成-8 ab-12 a bc呢？交换位置有作用吗？
生：没有。
师：多项式在首相系数为负的情况下，公因式的系数通常为负，也就是说需要将首相前面的负号提出来。下面请大家用这种方法来完成刚才的两个题目。（两个学生到黑板上完成，其余学生在自己的本子上练习）
教师根据学生完成的情况讲评。
师：下面请同学自己完成第一个多项式的因式分解。教师根据学生完成的情况讲评。
师：通过刚才两道因式分解的练习，你有什么新的发现？
生：多项式的首项系数为负时注意提负号。
生：当多项式的某一项和公因式相同后互为相反数时，在提公因式后剩下的因式中此项所处的位置应该有一个数1或者-1.
师：同学们说得非常到位，刚才我们练习的两题公因式是单项式，公因式可不可能是多项式呢？如果是多项式有如何进行因式分解呢？请同学们完成刚才的第三题。
生完成多项式2 a（b－c）－3（b－c）的因式分解，教师根据完成情况讲评。
师：如果我们将2 a（b－c）－3（b－c）变成2 a（b－c）－3（c－b）你会进行因式分解吗？（学生思考）
师：谁来说说自己的思路？
生：括号中的部分虽然不同，但由于它们互为相反数，可以将（c－b）变成－（b－c），2 a（b－c）－3（c－b）=2 a（b－c）+3（b－c）=（b－c）（2 a +3）
师：他说的有道理吗？你会做了吗？
生：有道理，会做了。
师：如果我们在变式2 a（b－c）－3（c－b）的基础上再做一次变化2 a（b－c）3－3（c－b）2，你会进行因式分解吗?（学生思考，并试着独立完成）
（教师巡视后，找了一个会做的学生到黑板上写过程，然后自己写了一个学生错误的解题过程2 a（b－c）3－3（c－b）2=2 a（b－c）3+3（b－c）2=（b－c）2[2 a（b－c）+3]= （b－c）2（2 ab－2 a c+3）。）
师：请同学们做一下对比，是老师做对了，还是你们的这位同学做对了。如果做错了是什么地方出的错，错的原因是什么？
生：老师做错了。
师：哦，老师会错吗？错在哪里呢？
生：（七嘴八舌）是老师错了。错误的原因是（c－b）2应该等于（b－c）2而不应该等于－（b－c）2。
师：哦，老师明白了，受刚才题目的影响老师确实搞错了，互为相反数的两个数的平方应该是相等的，下面如果有和老师错的一样的学生应该和老师一样弄明白了。
师：下面老师将2 a（b－c）3－3（c－b）2变成2 a（b－c）2－3（c－b）3请大家再来练习一下。（学生自己练习，同组的交换意见，教师选择用不同方法的两位学生到黑板上板演过程。）
生1：2 a（b－c）2－3（c－b）3=2 a（b－c）2+3（b－c）3=（b－c）2[2 a+3（b－c）]= （b－c）2(2 a+3b－3c）
生2：2 a（b－c）2－3（c－b）3=2 a（c－b）2－3（c－b）3=（c－b）2[2 a-3（c－b）]= （b－c）2(2 a+3b－3c）
师：请同学们在对比一下，这两个同学所做的结果都对吗？你能说清楚他们是怎么做的吗？
生：都对，生1选择（c－b）3进行变形，变成－（b－c）3，生2选择（b－c）2进行变形，变成（c－b）2。
师：说得非常好，选择后面的部分进行变化时，括号中的部分要变，同时前面还要加负号，因为互为相反数的两个数的奇数次幂仍然互为相反数；选择前面的部分进行变化时，只要变括号中的部分，不需要再考虑符号，因为互为相反数的两个数的偶数次幂相等。
师：刚才的两个变式可不可以选择前面的部分进行变形呢？
生：可以，但选择前面的进行变形时首项系数就为负，提公因式时还要考虑符号，比较麻烦。
师：说得很有道理，做这种类型的题目通常怎样做？
生：首先看有没有次数是偶数的项，有的话就选这些项进行变形，如果没有就看首项，首项系数为正的话就选择后面的进行变形，首项系数为负就可以选择首项进行变形。
师：同学们总结得很到位！借助于因式分解我们可以进行计算求值。请看下面两个题目：
1、计算5×3＋6×3＋27×3；
2、求式子4 a（x＋7）－3（x＋7）的值，其中a=－5，x=3．（学生思考后找学生到黑板上完成）两个同学到黑板上板书解题过程。
师：谁来说说第一题的思路。
生：先将每一部分共同有的3提出来，然后再将剩下的部分做加法。
师：有没有不同意见的？
生：每一部分共同有34，可以先将它提出来。
师：不错，肯动脑筋。谁来说说第二题的思路。
生：先对4 a（x＋7）－3（x＋7）进行因式分解，然后再求值。
师：本节课你有哪些收获？
生：（畅所欲言）因式分解的定义，因式分解与整式乘法的关系，公因式，以及提公因式法等。
师：同学们总结得比较到位，在具体的解题中还要注意一些细节。
《因式分解》的教学反思
江苏海安南屏中学 陈伯平
“书读百遍，其意自现” 这里的书自然包括数学课本。数学课本是数学知识和数学思想方法的载体，是教学的依据，是数学试题的源头，教材的很多内容精而少，我们应该如何研读呢？本文就海安县第二期骨干教师送教下乡的一节课谈谈自己的看法。
一、从宏观上研读教材，把握知识体系
因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它为分式的运算、解方程和解方程组提供了必要的基础。本节课的重点是因式分解的定义和提公因式法进行因式分解，难点是理解因式分解与整式乘法的关系以及公因式的确定，为了突出重点，突破难点，根据学生的认知特点从分数的约分引出分解因数，由数的分解再类比到式的分解，结合前面所学的整式的乘法，把四个多项式写成整式乘法的形式，引出了因式分解的定义。这样的引入符合学生的认知特征，也体现了数学上类比方法的使用。我们不仅可以由分解因数的定义类似地得到分解因式的定义，更重要的是由分解因数的作用也可类似地推出分解因式的作用。学生知道了分解因式的作用，就不会受到前面所学知识的负迁移的影响，将因式分解不知不觉地做成了整式的乘法。
教材是数学知识和数学思想方法的载体，教学并不是简单地将这些静态的结果“教”给学生，学生只是被动地浅层次地参与教学活动，教师说研究什么就研究什么，解决了教师提出的问题后还需要思考什么，只是茫然。教师要想方设法将这静态的结果变为学生可以参与数学活动的过程。面对教材上少而精的内容，需要教师认真研读，把握知识的生长点，从中挖出教材的本质，深刻领会教材的内涵，及时向学生渗透学习数学的方法，实现知识的迁移、同化和顺应，为后续学习指明方向，同时也让学生主动建构新知识，完善知识结构。
二、从微观上研读题目，把握问题的内涵
课本上在提公因式法进行因式分解处安排了两个例题，例1的公因式是单项式，例2的公因式是多项式，公因式由单项式过渡到多项式，不少的学生不太能适应。此题是对课本上的例2进行认真研读的基础上作了适当的变化，首先出现的例题和课本上的例题类似，括号中的部分完全相同，教者在学生掌握后进行了第一次变式，括号中的部分互为相反数，学生经过思考后发现将（c－b）变成－（b－c）就可以继续了，接着教者在变式的基础上再一次进行了变化，将原先的次数都为1分别改成3和2，有的学生受（c－b）变成－（b－c）的影响出现了将（c－b）2变成－（b－c）2的错误，在这里我将题目再次进行变式，变为2 a（b－c）2－3（c－b）3，第三次变式与第二次变式相比，形式上虽然差不多，但在再次变化后的题目中，我们既可以将（b－c）2变成（c－b）2，也可以将（c－b）3变成—（b－c）3，这样既巩固了前面所学的内容，同时还引导了学生寻找不同的解题方法，另外通过第三次变式的训练，学生自然地就想到刚才的两个变式是否也有两种方法，从而引导学生寻找最优的解法。
在教学中选用一题多解、一题多变的题目，不仅能在有限的时间内启发、引导和激励学生广开思路，同时也能不断地完善他们的知识结构，培养了学生的创新能力。教材中的例题、习题具有较强的代表性，有多种教育功能，它能同化、深化、活化概念和定理。教师只有在认真研读例题、习题的基础上，才能理解编者的意图，充分利用教材上的题目并对它们进行进一步的挖掘、联想、推广、引申，从而以问题为载体训练学生思维的灵活性，培养学生探究问题、分析问题和解决问题的能力。