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好问题，还需好引导
浙江省衢州市实验学校 胡赵云 章晓慧（邮编324000）
《数学课程标准》指出：“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者。”数学课程“应遵循学生学习数学的心理规律”，数学教学活动“必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上”。这就意味着数学课程、数学教学活动要围绕学生的发展而展开，教师要组织学生发现、寻找、搜集教学资源，引导学生围绕问题的核心进行深度的探索和思想碰撞。在听课中，我们感受到这对于教师而言，要求更高了。
案例展示：
时间：2005年10月24日上午第3节课
地点：衢州市实验学校九（3）班
执教教师：章晓慧
上课内容：北师大新世纪版《数学》教材·九（上）第五章第2节 反比例函数的图象与性质（第1课时）
听课教师：胡赵云
教学片段1：
上课后，教师依次问了下列问题：什么叫函数？表示函数有哪些方法？什么是一次函数？怎样画出函数y=2x+3的图象？学生回答了前三问，教师示范过两点画出函数y=2x+3的图象。然后，
师：你们认为y= 的图象是怎样的？画一画。
y
x
y
x
y
x
-4
3
-1
1
-2
-2
3
-2
2
4
1
2
4
-1
-3
-4
1
-1
3
-3
4
-4
1
-1
3
-3
4
-4
1
2
3
-3
4
-4
4
-4
-3
2
1
3
-2
-3
2
-2
2
-2
-1
-1
学生埋头画图，教师巡视，并有意让3位同学板演画图。如下（事实上，很多学生也是这样的）：

图1 图2 图3
师生讲评如下：
师：这三位同学画的图象对吗？
生1：（指着图1）这个图象不对，因为反比例函数中，x≠0，而图象中x=0时，y=5．
师：说得好，图１中，图象过点（0，5）是不对的．××同学画图时，只画了两点，就连成一条直线．反比例函数图象是直线吗？不一定．图2、3的折线图对吗?我们来看看,由y= 确定的点是否都在图象上。取x=3时，y= ，画出点（3，）（教师演示描点），可发现这个点在折线的下方，再取x= , 则y=3, 画出点（，3）（教师继续演示描点），又可发现这个点也在折线的下方，都不在折线上，看样子另两位同学画的图也不对，而且，还有一个不对……
教学片段2：
师生一起列表、描点、画图、准确地画出了函数y= 的图象。之后，
师：请同学们观察图象，你发现了什么？
生2：当k>0时，反比函数图象在第1、3象限。
师：你怎么发现的？
生2：k>0时，y随着x的增大而减少。
师：真的吗？（学生迟疑）比如取x=-1，则y=-4; 取x=1，则y=4 .此时……
生2：在同一象限中。
师：嗯，在同一象限时，y是随x的增大而减少的。还有吗？
生3：图象与x轴、y轴无限接近。
师：是这样吗？如取x=8，则y= ；取y=16，则y= ；取x=100，则y= ；取x=400，则y= ，是否越来越接近x轴（教师指着图象演示）。还观察出什么？
生4：图象关于原点O成中心对称。
师：是的。再想一下是轴对称图形吗？
众生，有的说，是的；有的说，不是。随后，教师总结了画图的步骤：列表、描点、连线。
教学片段3：
师：请大家画出函数y= 的图象。
同学们列表、描点、连线，画出了函数y= 的图象。教师让一位同学板演。板演画图，很耗时间，用了10多分钟。座位上的同学早就画好了，有些等得不耐烦。

问题与建议：
关于片段1：
问题1：怎样分析图1～3的错因？
建议：图1～3的错因不应该以老师讲、演示来表现，而应该让学生通过交流来发现。学生通过错因的分析，提高分析问题的能力，进一步体验探索函数图象形状的方法——列表、描点、连线，不是随意地仿照一次函数图象。
问题2：怎样让学生真正理解反比例函图象是“光滑的”而不是“折线”？
建议：把坐标轴的刻度单位设得更小，x的取值集中在1～3之间，描出较多的点。如果有条件，可使用超级画板（Z+Z智能教学平台）或几何画板，应用电脑技术显示描点形成曲线的过程。

关于片段2：
问题1：生2、3的结论是真的自己观察的结果？如果不是怎么办？
建议：生2、3的结论有着明显提前阅读教材，而从书中得到结论的痕迹，教师要继续直问“为什么？”“怎么观察？”
问题2：在生2、3回答了“自己观察结果”的时候，大多数学生还没有观察，他们处于被动接受同学的结论，是另一种方式的被动“教学”。怎样让更多学生能自主观察、思考？
建议：先让学生独立观察几分钟，写下观察结果，再让学生发言或同伴交流。
问题3：生2、3发现的结论不是本节教材安排的内容，是下节教材的内容，教师该怎样看待学生发现的结果？
建议：如果多数同学能接受可以顺着学生的思维发展，调整原教学设计，把课堂教学顺势拓展到下一课时的内容。
问题4：生2～4的发言，所观察发现的结论都不是教材所设置的，当然也不是教师备课所期望的。这与没有对比函数y= 的图象有关。如何处理才能把学生引到教材的内容上？
建议：如果仅仅为了得到“反比例函数y= 的图象是双曲线，当k>0时，双曲线分别位于第一、三象限内；当k<0时，双曲线分别位于第二、四象限内”，那么可以在画出函数y= 、y= 后，让学生比较图象，观察它们的相同点与不同点。
关于片段3：
问题1：学生板演画图时间太长，座位上的同学在空等，怎么办？
建议：为了节约时间，不必让学生上讲台板演，而且，学生应该准备方格纸画图，可用投影技术展示同学画图情况。如果要板演，事先用小黑板画好坐标系及方格。

评点与感悟：
1．自主探究，让教师明了学生的思维水平。
长期以来， 笔者与同事们总是这样教反比例函数图象：先取很多个x值，列表算出y的值，再描点、连线，然后自然地告诉学生反比例函数图象是两条光滑的曲线——双曲线。似乎学生画图必然会描出很多个点，似乎学生接受反比例函数图象是光滑的双曲线，……，等等，都是天经地义的。而章老师让学生自行画出函数y= 的图象时，学生会用画一次函数图象的方法取两个点，画直线；还会画3个点或4个点，用线段连接成折线，……。由此可见，受原有认知水平与经验影响，学生用直的线去连接点与点，是天经地义的自然的，而“光滑”是难以理解的。如果没有学生的自行探索画图，学生凭什么就该接受反比例函数图象是“光滑的双曲线”；如果没有本次课学生的自行探索画图，我们还真的不能明了学生开始对反比例函数图象的认知思维水平。教师总是采用从自己的知识结构、认知水平出发来讲解新知识，这是不恰当的。
2．独立思考空间，所有学生都很需要。
优秀学生或者已阅读过教材的学生，一看到函数y= 的图象，就能描述出图象的特征，而且还能描述出超过本课教材内容的图象特征与性质，这样的学生一举手，教师往往率先看见选中发言，更多的学生一听同学的发言，就不必观察，不需思考，久而久之，这些学生就永远被动地听老师讲，同学讲，没有了冷静地观察与火热的思考。教师在让学生交流（不论是面对全班还是小组、同伴）前，都应该有一小段时间让学生静静地独立地观察、运算、分析、思考，最好能写下所见、所思、所想的结论，这个独立的、不受影响的时间与空间很重要，是促使全体同学都能学好数学所需要的。
3．好问题，还需好引导。
章老师不加任何暗示地让学生独立地画一画函数y= 的图象，确实是一个好问题。但是，这个问题仅仅是让学生探究函数y= 的图象形状吗？从中还能引出什么？还具有更高的教学价值吗？
其实，分析图1～3的错处与错因是很重要的。除了生1与章老师讲的错处外，还有许多处。如图1中：
（1）图象在第二、四象限是不对的，因为第二、四象限内，点的纵横坐标是异号，而y= 中，x、y是同号。
（2）不仅x≠0，同样y也不能等于零。
（3）一次函数的图象是直线，反比例函数不是一次函数，反比例函数图象也应该与直线有区别。
在图2～3中，显然函数y= 的自变量x≠0，x可取正，也可取负，而图中没有x取负数时的图象。
……
引导学生从不同的角度观察图象，分析图象的合理性与不合理性，对培养学生的观察能力、分析问题能力、明断自己解题结果是否合理的能力都是十分有益的，更重要的是要引导学生分析三位同学都没有画对图象的根本原因：是三位同学都没有按照探究一个新函数图象形状的方法进行。探究一个新函数图象形状，要通过取多个x值，列表求y值，再描点，观察判断形状。不是简单地用一次函数图象来替代。从而让学生明确探究是要讲方法的，应遵循科学方法的要求。

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