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七桥问题及其证明
七桥问题对很多人来说并不是陌生的名词，尤其当它已经被写进了小学数学课本……不过，此处还是再来啰嗦地介绍一下七桥问题到底是怎样的一个命题。
    传说在18世纪普鲁士的哥尼斯堡城，有一条叫做普雷格尔的河，河中间有两个岛，有七座桥把这两个岛与河岸相连，就像下面这个示意图里左图给出的一样。市民们饭后茶余就在讨论，能不能不重复的经过每一座桥而回到出发点呢。这个问题也可以被简化成右图是否能够被一笔画的问题。

    大数学家欧拉思考过后认为，市民们一直在找寻的那条路径是不存在的，把每座桥看成图的一个边（右图），想要不重复的经过每一条边而回到原点，则每个顶点必须有偶数条边与之相连，才能满足从一条边来从另一条边出。用图论的语言来说，一个非空连通图是Euler图当且仅当它没有奇度顶点。
    这里Euler图指的是有Euler闭迹的图，而Euler闭迹是，经过图G的每条边恰好一次的闭迹。有了这样的定义，上面的“七桥问题一笔画是不可能的”论证过程可以这样表述：设图G是Euler图，C是G中一个Euler闭迹。对G中任一个顶点v，v必在C上出现。因C每经过v一次，就有两条与V关联的边被使用。设C经过v共k次，则C经过了2k条与v关联的边，故v的度为2k（节点v的度指图G中与v相连的边的数量）

    细心而学究的人会发现，上面仅仅是对命题的必要性证明，那么，充分性的证明呢？当一个非空连通图G的每个顶点都是偶度顶点，那图G就有Euler闭迹吗？直接证明这个比较困难，可以用反证法来证明：
    无妨设图Ｇ的顶点个数n >1。因G连通，故至少有一条边。假设图G无奇度顶点，但它不是Euler图。令S = {G | G是至少有一条边的n阶连通图，无奇度顶点，且不是Euler图}，则S非空。取S中边数最少的一个，记为G0。因G0无奇度顶点，故G0中顶点的度至少为2，因此G0含有圈，从而含有闭迹。设C是中一条最长的闭迹。由假设，C不是G0的Euler闭迹。因此G0中将C的边去掉后必有一个连通分支至少含有一条边。记这个连通分支为G1。由于C是闭迹，故G1中没有奇度顶点，且G1的边少于G0的边。由G0的选择可知，G1必有Euler闭迹，记为C1。因此C＋C1是的一条闭迹，且它比C更长，这与C的选取矛盾。证毕。

    是不是看的稀里糊涂呢？其实仔细想想不难理解，考虑所有节点度之和为偶数，则除去一个Euler闭迹后，剩下的节点度之和还是偶数，说明还有闭迹……最后可知整个图便只有整个一个最大的闭迹就是Euler闭迹了~