2022-2023学年广东省广州市白云广附教育集团七年级（上）期末数学试卷（含答案）.docx

2022-2023 学年广东省广州市白云广附教育集团七年级（上）期末数学试卷
一．选择题（本大题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有

一个符合题目要求）

1．（3 分）下列语句正确的是( )

A．“ +15 米”表示向东走 15 米 B． 0° C 表示没有温度
C． -a 可以表示正数 D．0 既是正数也是负数
2．（3 分）下列各组数中，数值相等的是( )

第 9页（共 20页）

A． -22

和(-2)2
B． 1 和(-
-
2
2
1 )2
2

2 2 1 2

- 12

C． (-2) 和2 D． -(- ) 和
2 2
3．（3 分）将方程 x = 1 + 1.2 - 0.3x 中分母化为整数，正确的是( )

0.3 0.2
A． 10x = 10 + 12 - 3x 3 2
C． 10x = 1 + 12 - 3x 3 2
B． x = 10 + 1.2 - 0.3x 3 0.2
D． x = 1 + 1.2 - 0.3x 3 2

4．（3 分）骰子是一种特殊的数字立方体（如图），它符合规则：相对的两面的点数之和总是 7．下面四幅图中可以折成符合规则的骰子的是如图中的( )

A． B．
C． D．

5．（3 分）如图，点O ，A ，B ，C 在数轴上的位置如图所示，O 为原点，AC = 2 ，OA = OB ，若点C 所表示的数为 a ，则点 B 所表示的数为( )

A. -a + 2
B. -a - 2
C. a + 2
D. a - 2

6．（3 分）已知无论 x ， y 取什么值，多项式(2x2 - my + 12) - (nx2 + 3y - 6) 的值都等于定值

18，则 m + n 等于( )
A．5 B． -5


C.1 D． -1

7．（3 分）已知线段 AB = 8cm ，点C 是直线 AB 上一点，BC = 2cm ，若 M 是 AB 的中点， N是 BC 的中点，则线段 MN 的长度为( )
A. 5cm B． 5cm 或3cm C． 7cm 或3cm D． 7cm

8．（3 分）下列结论：①一个数和它的倒数相等，则这个数是±1 和 0；②若-1 < m < 0 ，则
m < m2 < 1 ；③若 a + b < 0 ，且 b > 0 ，则| a + 2b |= -a - 2b ；④若 m 是有理数，则| m | +m 是
m a
非负数；⑤若 c < 0 < a < b ，则(a - b)(b - c)(c - a) > 0 ；其中正确的有( )
A.1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
9．（3 分）如图所示的运算程序中，若开始输入 x 的值为 2，则第 2022 次输出的结果是( )

A. -6
B. -3
C. -8
D. -2

10．（3 分）如图所示，某公司有三个住宅区， A 、 B 、C 各区分别住有职工 30 人，15 人，
10 人，且这三点在一条大道上( A ， B ， C 三点共线），已知 AB = 100 米， BC = 200 米．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠 点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在( )

A．点 A B．点 B C． A ， B 之间 D． B ， C 之间二．填空题（本大题共 6 小题，每题 3 分，共 18 分）
11．（3 分）一个角的度数为28°30¢ ，那么这个角的补角度数为 ．

12．（3 分）据统计，杭州市注册志愿者人数已达 109 万人，将 109 万人用科学记数法表示应为 ．
13．（3 分） A 、 B 两城市的位置如图所示，那么 B 城市在 A 城市的 位置．

14．（3 分）当 x = 1 时，ax2 + bx - 1 的值为 6，当 x = -1 时，这个多项式 ax3 + bx - 1 的值是 ．
15．（3 分）已知： | a |= 2 ， | b |= 5 ，若| a - b |= a - b ，则 ab =

16．（3 分）已知某铁路桥长 1600 米．现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用 90 秒，整列火车完全在桥上的时间是 70 秒．则这列火车长 米．
三．解答题（本大题共 9 小题，共 72 分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（4 分）计算： (-48) ´ (- 1 - 5 + 7 ) ． 18．（4 分）计算：-32 ¸ (-2)2´ | - 1 ´6 + (-2)3 ．
1 |
2 8 12 3

19．（6 分）解方程： 3x - 1.5 - 2x - 1 = 2 - 4x ．
0.2 0.9 0.5

20．（6 分）如图，在平面内有 A ， B ， C 三点．

（1） 画直线 AC ，线段 BC ，射线 AB ；
（2） 在线段 BC 上任取一点 D （不同于 B ， C) ，连接线段 AD ；

（3） 数数看，此时图中线段的条数．

21．（8 分）点O 是线段 AB 的中点，OB = 14cm ，点 P 将线段 AB 分为两部分，AP : PB = 5 : 2 ．
①求线段OP 的长．

②点 M 在线段 AB 上，若点 M 距离点 P 的长度为 4cm ，求线段 AM 的长．

22．（10 分）（1）若 a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的平方为 4，求代数式 a + b - cd + | x - 1|

的值．

（2）已知 2x2 y2m+5 和与-xn y 是同类项，化简后求代数式 2(mn - 3m2 ) - (mn + 6m2 ) + 2mn 的值．

23．（10 分）已知数轴上 A ， B ， C 三点对应的数分别为-1 、3、5，点 P 为数轴上任意一点，其对应的数为 x ．点 A 与点 P 之间的距离表示为 AP ，点 B 与点 P 之间的距离表示为 BP ．
（1） 若 AP = BP ，则 x = ；
（2） 若 AP + BP = 8 ，求 x 的值；
（3） 若点 P 从点C 出发，以每秒 3 个单位的速度向右运动，点 A 以每秒 1 个单位的速度向左运动，点 B 以每秒 2 个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t 秒，试判断： 4BP - AP 的值是否会随着t 的变化而变化？请说明理由．

24．（12 分）芜湖市一商场经销的 A 、B 两种商品，A 种商品每件售价 60 元，利润率为50% ；
B 种商品每件进价 50 元，售价 80 元．

（1） A 种商品每件进价为 元，每件 B 种商品利润率为 ．

（2） 若该商场同时购进 A 、 B 两种商品共 50 件，恰好总进价为 2100 元，求购进 A 种商品多少件？
（3） 在“春节”期间，该商场只对 A 、 B 两种商品进行如下的优惠促销活动：

打折前一次性购物总金额
优惠措施
少于等于 450 元
不优惠
超过 450 元，但不超过 600 元
按总售价打九折
超过 600 元
其中 600 元部分八折优惠，超过 600 元的部分打七折优惠
按上述优惠条件，若小华一次性购买 A 、 B 商品实际付款 522 元，求若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付多少元？

25．（12 分）如图 1，射线OC 在ÐAOB 的内部，图中共有 3 个角：ÐAOB 、ÐAOC 和ÐBOC ，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC 是ÐAOB 的奇妙线．
（1） 一个角的角平分线 这个角的奇妙线．（填是或不是）
（2） 如图 2，若ÐMPN = 60° ，射线 PQ 绕点 P 从 PN 位置开始，以每秒10° 的速度逆时针旋转，当ÐQPN 首次等于180° 时停止旋转，设旋转的时间为t(s) ．
①当t 为何值时，射线 PM 是ÐQPN 的奇妙线？
②若射线 PM 同时绕点 P 以每秒6° 的速度逆时针旋转，并与 PQ 同时停止旋转．请求出当射线 PQ 是ÐMPN 的奇妙线时t 的值．

2022-2023 学年广东省广州市白云广附教育集团七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一．选择题（本大题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）
1．（3 分）下列语句正确的是( )

A．“ +15 米”表示向东走 15 米 B． 0° C 表示没有温度
C． -a 可以表示正数 D．0 既是正数也是负数
【解答】解： A 、“ +15 米”不一定表示向东走 15 米，原说法错误，故这个选项不符合题意； B 、0° C 不是没有温度，而是表示零上温度和零下温度的分界点，原说法错误，故这个选项不符合题意；
C 、 -a 可以表示正数，也可以表示负数，原说法正确，故这个选项符合题意；
D 、0 既不是正数也不是负数，原说法错误，故这个选项不符合题意； 故选： C ．
2．（3 分）下列各组数中，数值相等的是( )

A． -22

和(-2)2
B． 1 和(-
-
2
2
1 )2
2

2 2 1 2

- 12

C． (-2) 和2 D． -(- ) 和
2 2
【解答】解：Q-22 = -4 ， (-2)2 = 4 ， -22 ¹ (-2)2 ，
\选项 A 不符合题意；

12 1 1 1 12 1 2

Q- = - ， (- )2 = ， - ¹ (- ) ，
2 2 2 4 2 2
\选项 B 不符合题意；

Q(-2)2 = 4 ， 22 = 4 ， (-2)2 = 22 ，
\选项C 符合题意；

1 1 12 1 1 2 12

Q-(-
)2 = - ， - = - ， -(- ) ¹ - ，

2 4 2 2 2 2

\选项 D 不符合题意．

故选： C ．
3．（3 分）将方程 x = 1 + 1.2 - 0.3x 中分母化为整数，正确的是( )

0.3 0.2
A． 10x = 10 + 12 - 3x 3 2
C． 10x = 1 + 12 - 3x 3 2
【解答】解：方程整理得： 10x = 1 + 12 - 3x ．
3 2
B． x = 10 + 1.2 - 0.3x 3 0.2
D． x = 1 + 1.2 - 0.3x 3 2

故选： C ．
4．（3 分）骰子是一种特殊的数字立方体（如图），它符合规则：相对的两面的点数之和总是 7．下面四幅图中可以折成符合规则的骰子的是如图中的( )

A．

B． C．

D．

【解答】解：根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，

A 、1 点与 3 点是相对面，6 点与 4 点是相对面，2 点与 5 点是相对面，所以不可以折成符合规则的骰子，故本选项不符合题意；
B 、4 点与 3 点是相对面，2 点与 6 点是相对面，1 点与 5 点是相对面，所以不可以折成符合规则的骰子，故本选项不符合题意；
C 、3 点与 4 点是相对面，2 点与 5 点是相对面，1 点与 6 点是相对面，所以可以折成符合规则的骰子，故本选项符合题意；
D 、1 点与 5 点是相对面，3 点与 4 点是相对面，2 点与 6 点是相对面，所以不可以折成符合规则的骰子，故本选项不符合题意．
故选： C ．

5．（3 分）如图，点O ，A ，B ，C 在数轴上的位置如图所示，O 为原点，AC = 2 ，OA = OB ，若点C 所表示的数为 a ，则点 B 所表示的数为( )

第 20页（共 20页）

A. -a + 2
B. -a - 2
C. a + 2
D. a - 2

【解答】解：Q AC = 2 ，点C 所表示的数为 a ，
\ A 点表示的数为： a - 2 ，
Q OA = OB ，
\点 B 所表示的数为： 2 - a ， 故答案为： A ．
6．（3 分）已知无论 x ， y 取什么值，多项式(2x2 - my + 12) - (nx2 + 3y - 6) 的值都等于定值

18，则 m + n 等于( )
A．5 B． -5


C.1 D． -1

【解答】解： (2x2 - my + 12) - (nx2 + 3y - 6)

= 2x2 - my + 12 - nx2 - 3y + 6

= (2 - n)x2 + (-m - 3) y + 18 ，

Q无论 x ， y 取什么值，多项式(2x2 - my + 12) - (nx2 + 3y - 6) 的值都等于定值 18，

í-m - 3 = 0
\ ì2 - n = 0
î
，得ìm = -3 ，
ín = 2
î

\ m + n = -3 + 2 = -1 ， 故选： D ．
7．（3 分）已知线段 AB = 8cm ，点C 是直线 AB 上一点，BC = 2cm ，若 M 是 AB 的中点， N是 BC 的中点，则线段 MN 的长度为( )
A. 5cm B． 5cm 或3cm C． 7cm 或3cm D． 7cm

【解答】解：如图 1，
由 M 是 AB 的中点， N 是 BC 的中点，得
MB = 1 AB = 4cm ， BN = 1 BC = 1cm ，
2 2
由线段的和差，得

MN = MB + BN = 4 + 1 = 5cm ；
如图 2，
由 M 是 AB 的中点， N 是 BC 的中点，得
MB = 1 AB = 4cm ， BN = 1 BC = 1cm ，
2 2
由线段的和差，得

MN = MB - BN = 4 - 1 = 3cm ； 故选： B ．
8．（3 分）下列结论：①一个数和它的倒数相等，则这个数是±1 和 0；②若-1 < m < 0 ，则
m < m2 < 1 ；③若 a + b < 0 ，且 b > 0 ，则| a + 2b |= -a - 2b ；④若 m 是有理数，则| m | +m 是
m a
非负数；⑤若 c < 0 < a < b ，则(a - b)(b - c)(c - a) > 0 ；其中正确的有( )
A.1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【解答】解：Q 0 没有倒数，
\①错误．

Q-1 < m < 0 ，
\ 1 < 0 ， m2 > 0 ，
m
\②错误．
Q a + b < 0 ，且 b > 0 ，
a
\ a < 0 ， b < 0 ．
\ a + 2b < 0 ，
\| a + 2b |= -a - 2b ．
\③正确．
Q| m |… - m ，
\| m | +m…0 ，
\④正确，
Q c < 0 < a < b ，
\ a - b < 0 ， b - c > 0 ， c - a < 0 ．
\(a - b)(b - c)(c - a) > 0 正确．
\⑤正确． 故选： C ．
9．（3 分）如图所示的运算程序中，若开始输入 x 的值为 2，则第 2022 次输出的结果是( )

A. -6
B. -3
C. -8
D. -2

【解答】解：①当 x = 2 时，输出为 1 ´ 2 = 1 ，
2
②当 x = 1 时，输出为1 - 5 = -4 ，
③当 x = -4 时，输出为 1 ´ (-4) = -2 ，
2
④当 x = -2 时，输出为 1 ´ (-2) = -1，
2
⑤当 x = -1 时，输出为-1 - 5 = -6 ，

⑥当 x = -6 时，输出结果为 1 ´ (-6) = -3 ，
2
⑦当 x = -3 时，输出为-3 - 5 = -8 ；
⑧当 x = -8 时，输出为 1 ´ (-8) = -4 ；
2

从第 8 次开始，结果开始循环，每输入 6 次结果循环一次；
Q(2022 -1) ¸ 6 = 336¼¼5 ，
\第 2022 次输出结果和第 6 次结果相同，即为-3 ． 故选： B ．
10．（3 分）如图所示，某公司有三个住宅区， A 、 B 、C 各区分别住有职工 30 人，15 人，
10 人，且这三点在一条大道上( A ， B ， C 三点共线），已知 AB = 100 米， BC = 200 米．为了方便职工上下班，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有的人步行到停靠 点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在( )

A．点 A B．点 B C． A ， B 之间 D． B ， C 之间
【解答】解：①以点 A 为停靠点，则所有人的路程的和= 15 ´100 + 10 ´ 300 = 4500 （米) ，
②以点 B 为停靠点，则所有人的路程的和= 30 ´100 + 10 ´ 200 = 5000 （米) ，
③以点C 为停靠点，则所有人的路程的和= 30 ´ 300 + 15 ´ 200 = 12000 （米) ，
④当在 AB 之间停靠时，设停靠点到 A 的距离是 m ，则(0 < m < 100) ，则所有人的路程的和是： 30m + 15(100 - m) + 10(300 - m) = 4500 + 5m > 4500 ，
⑤ 当在 BC 之间停靠时， 设停靠点到 B 的距离为 n ， 则 (0 < n < 200) ， 则总路程为
30(100 + n) +15n +10(200 - n) = 5000 + 35n > 4500 ．
\该停靠点的位置应设在点 A ； 故选： A ．
二．填空题（本大题共 6 小题，每题 3 分，共 18 分）

11．（3 分）一个角的度数为28°30¢ ，那么这个角的补角度数为 151°30¢ ．
【解答】解：Q一个角的度数是 28°30¢ ，
\它的补角= 180° - 28°30¢ = 151°30¢ ． 故答案为：151°30¢．
12．（3 分）据统计，杭州市注册志愿者人数已达 109 万人，将 109 万人用科学记数法表示

应为 1.09 ´106 ．
【解答】解：将 109 万用科学记数法表示为1.09 ´106 ． 故答案为：1.09 ´106 ．
13．（3 分） A 、 B 两城市的位置如图所示，那么 B 城市在 A 城市的 南偏东30° 位置．

【解答】解： A 、 B 两城市的位置如图所示，那么 B 城市在 A 城市的南偏东30° 位置， 故答案为南偏东30° ．
14．（3 分）当 x = 1 时， ax2 + bx - 1 的值为 6，当 x = -1 时，这个多项式 ax3 + bx - 1 的值是
-8 ．
【解答】解：Q x = 1时， ax2 + bx - 1 的值为 6，
\ a + b - 1 = 6 ，
\ a + b = 7 ，
\当 x = -1 时，
ax3 + bx - 1
= -a - b - 1
= -(a + b) - 1
= -7 - 1
= -8 ．
故答案为： -8 ．
15．（3 分）已知： | a |= 2 ， | b |= 5 ，若| a - b |= a - b ，则 ab = ±10
【解答】解：Q| a |= 2 ， | b |= 5 ，
\ a = ±2 ， b = ±5 ．
Q| a - b |…0 ，
\a - b…0 ，
\ a = ±2 ， b = -5 ．
\ ab = ±2´ (-5) = ±10 ．

故答案为： ±10 ．
16．（3 分）已知某铁路桥长 1600 米．现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用 90 秒，整列火车完全在桥上的时间是 70 秒．则这列火车长 200 米．
【解答】解：设这列火车的长为 x 米，
根据题意得， 1600 + x = 1600 - x ，
90 70
解得 x = 200 ，
\这列火车的长为 200 米． 故答案为：200．
三．解答题（本大题共 9 小题，共 72 分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（4 分）计算： (-48) ´ (- 1 - 5 + 7 ) ．
2 8 12
【解答】解： (-48) ´ (- 1 - 5 + 7 )
2 8 12
= 48 ´ 1 + 48 ´ 5 - 48 ´ 7
2 8 12
= 24 + 30 - 28
= 26 ．

18．（4 分）计算： -32 ¸ (-2)2´ | -
1 ´6 + (-2)3 ．

【解答】解： -32 ¸ (-2)2´ | -
1 |
3
1 ´6 + (-2)3

1 |
3
= -9 ¸ 4 ´ 4 ´ 6 + (-8) 3
= -9 ´ 1 ´ 4 ´ 6 + (-8)
4 3
= -18 + (-8)

= -26 ．
19．（6 分）解方程： 3x - 1.5 - 2x - 1 = 2 - 4x ．
0.2 0.9 0.5
【解答】解：化简得： 30x - 15 - 20x - 10 = 4 - 8x ，
2 9 1
去分母得： 9(30x -15) - 2(20x -10) = 18(4 - 8x) ， 去括号得： 270x - 135 - 40x + 20 = 72 - 144x ， 移项合并同类项得： 374x = 187 ，
系数化为 1 得： x = 0.5 ．

20．（6 分）如图，在平面内有 A ， B ， C 三点．

（1） 画直线 AC ，线段 BC ，射线 AB ；
（2） 在线段 BC 上任取一点 D （不同于 B ， C) ，连接线段 AD ；

（3） 数数看，此时图中线段的条数．

【解答】解：（1）如图，直线 AC ，线段 BC ，射线 AB 即为所求；

（2） 如图，线段 AD 即为所求；

（3） 由题可得，图中线段的条数为 6．

21．（8 分）点O 是线段 AB 的中点，OB = 14cm ，点 P 将线段 AB 分为两部分，AP : PB = 5 : 2 ．
①求线段OP 的长．

②点 M 在线段 AB 上，若点 M 距离点 P 的长度为 4cm ，求线段 AM 的长．

【解答】解：①Q点O 是线段 AB 的中点， OB = 14cm ，
\ AB = 2OB = 28cm ，
Q AP : PB = 5 : 2 ．
\ BP = 2 AB = 8cm ，
7
\OP = OB - BP = 14 - 8 = 6(cm) ；
②如图 1，当 M 点在 P 点的左边时，
AM = AB - (PM + BP) = 28 - (4 + 8) = 16(cm) ， 如图 2，当 M 点在 P 点的右边时，

AM = AB - BM = AB - (BP - PM ) = 28 - (8 - 4) = 24(cm) ． 综上， AM = 16cm 或 24cm ．
22．（10 分）（1）若 a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的平方为 4，求代数式 a + b - cd + | x - 1|

的值．
（2）已知 2x2 y2m+5 和与-xn y 是同类项，化简后求代数式 2(mn - 3m2 ) - (mn + 6m2 ) + 2mn 的值．
【解答】解：（1）Q a 、b 互为相反数， c 、 d 互为倒数， x 的平方为 4，
\ a + b = 0 ， cd = 1 ， x = ±2 ，
\①当 x = 2 时，
a + b - cd + | x - 1|= 0 - 1+ | 2 - 1|= 0 - 1+ 1 = 0 ，
②当 x = -2 时，
a + b - cd + | x - 1|= 0 - 1+ | -2 - 1|= 0 - 1+ 3 = 2 ，
\代数式 a + b - cd + | x - 1| 的值为 0 或 2；

（2） 2(mn - 3m2 ) - (mn + 6m2 ) + 2mn

= 2mn - 6m2 - mn - 6m2 + 2mn
= 3mn - 12m2 ，
Q2x2 y2m+5 和与-xn y 是同类项，

\ n = 2 ， 2m + 5 = 1 ，
\ m = -2 ，

\原式= 3´ (-2) ´ 2 -12 ´ (-2)2

= -12 - 48
= -60 ．
23．（10 分）已知数轴上 A ， B ， C 三点对应的数分别为-1 、3、5，点 P 为数轴上任意一点，其对应的数为 x ．点 A 与点 P 之间的距离表示为 AP ，点 B 与点 P 之间的距离表示为 BP ．
（1） 若 AP = BP ，则 x = 1 ；
（2） 若 AP + BP = 8 ，求 x 的值；
（3） 若点 P 从点C 出发，以每秒 3 个单位的速度向右运动，点 A 以每秒 1 个单位的速度向左运动，点 B 以每秒 2 个单位的速度向右运动，三点同时出发．设运动时间为t 秒，试判断：

4BP - AP 的值是否会随着t 的变化而变化？请说明理由．

【解答】解：（1）由数轴可得：若 AP = BP ，则 x = 1 ；故答案为：1；
（2）Q AP + BP = 8 ，
\若点 P 在点 A 左侧，则-1 - x + 3 - x = 8 ，
\ x = -3 ，
若点 P 在点 A 右侧，则 x + 1 + x - 3 = 8 ，
\ x = 5 ，
\ x 的值为-3 或 5．
（3） BP = 5 + 3t - (3 + 2t) = t + 2 ，
AP = t + 6 + 3t = 4t + 6 ，
\ 4BP - AP = 4(t + 2) - (4t + 6) = 2 ，
\ 4BP - AP 的值不会随着t 的变化而变化．
24．（12 分）芜湖市一商场经销的 A 、B 两种商品，A 种商品每件售价 60 元，利润率为50% ；
B 种商品每件进价 50 元，售价 80 元．

（1） A 种商品每件进价为 40 元，每件 B 种商品利润率为 ．

（2） 若该商场同时购进 A 、 B 两种商品共 50 件，恰好总进价为 2100 元，求购进 A 种商品多少件？
（3） 在“春节”期间，该商场只对 A 、 B 两种商品进行如下的优惠促销活动：

打折前一次性购物总金额
优惠措施
少于等于 450 元
不优惠
超过 450 元，但不超过 600 元
按总售价打九折
超过 600 元
其中 600 元部分八折优惠，超过 600 元的部分打七折优惠
按上述优惠条件，若小华一次性购买 A 、 B 商品实际付款 522 元，求若没有优惠促销，小华在该商场购买同样商品要付多少元？
【解答】解：（1）设 A 种商品每件进价为 x 元，则(60 - x) = 50% x ，
解得： x = 40 ．

故 A 种商品每件进价为 40 元；
每件 B 种商品利润率为(80 - 50) ¸ 50 = 60% ．
故答案为：40； 60% ；
（2） 设购进 A 种商品 x 件，则购进 B 种商品(50 - x) 件， 由题意得， 40x + 50(50 - x) = 2100 ，
解得： x = 40 ．
即购进 A 种商品 40 件， B 种商品 10 件．
（3） 设小华打折前应付款为 y 元，

①打折前购物金额超过 450 元，但不超过 600 元， 由题意得0.9 y = 522 ，
解得： y = 580 ；
②打折前购物金额超过 600 元，
600 ´ 0.8 + ( y - 600) ´ 0.7 = 522 ，
解得： y = 660 ．
综上可得，小华在该商场购买同样商品要付 580 元或 660 元．

25．（12 分）如图 1，射线OC 在ÐAOB 的内部，图中共有 3 个角：ÐAOB 、ÐAOC 和ÐBOC ，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC 是ÐAOB 的奇妙线．
（1） 一个角的角平分线 是 这个角的奇妙线．（填是或不是）
（2） 如图 2，若ÐMPN = 60° ，射线 PQ 绕点 P 从 PN 位置开始，以每秒10° 的速度逆时针旋转，当ÐQPN 首次等于180° 时停止旋转，设旋转的时间为t(s) ．
①当t 为何值时，射线 PM 是ÐQPN 的奇妙线？
②若射线 PM 同时绕点 P 以每秒6° 的速度逆时针旋转，并与 PQ 同时停止旋转．请求出当射线 PQ 是ÐMPN 的奇妙线时t 的值．

【解答】解：（1）一个角的平分线是这个角的“奇妙线”；

（2）①依题意有

（a）10t = 60 + 1 ´ 60 ，
2
解得t = 9 ；
（b）10t = 2 ´ 60 ， 解得t = 12 ；
（c）10t = 60 + 2 ´ 60 ， 解得t = 18 ．
故当t 为 9 或 12 或 18 时，射线 PM 是ÐQPN 的“奇妙线”；
②依题意有
（a）10t = 1 (6t + 60) ，
3
解得t = 5 ；
2
（b）10t = 1 (6t + 60) ，
2
解得t = 30 ；
7
（c）10t = 2 (6t + 60) ，
3
解得t = 20 ．
3
故当射线 PQ 是ÐMPN 的奇妙线时t 的值为 5 或 30 或 20 ．

故答案为：是．
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