立体几何证明的向量公式和定理证明.doc

立体几何证明的向量公式和定理证明

附表2
平
行
的
证
明
线线平行
线面平行
面面平行

（1）向量法

（2）线面平行性质定理
（线面平行线线平行）

（3）面面平行性质定理

（4）线面垂直性质定理

（1）向量法

（2）线面平行判定定理
（线线平行线面平行）

（3）面面平行线面平行

（1）向量法

（2）面面平行判定定理
（线面平行面面平行）

（3）面面平行判定定理推论
垂
直
的
证
明
线线垂直
线面垂直
面面垂直

（1）向量法

（2）线面垂直线线垂直

（3）三垂线定理

（4）三垂线逆定理

（1）向量法

（2）线面垂直判定定理
（线线垂直线面垂直）

（3）面面垂直性质定理
（面面垂直线面垂直）

（1）向量法

（2）面面垂直判定定理
（线面垂直面面垂直）

角度的计算
两异面直线所成角（0，】
线面角【0，】
二面角【0，】

（1）向量法

（2）直接法：平行移动一条或两条直线，直到他们相交。这时所成的角（或其补角）为所求角。
技巧：多找中点，中位线，平行四边形等，或实行拓展补图等。

（1）向量法

（2）定义法：直接找到斜
线和射影所成角。
（3）
（4）三角余弦定理：

（1）向量法

2找平面角
（3）射影面积法

距离的计算
点面距离线面距离面面距离
两异面直线间的距离
（1）向量法：
（2）转化法
（3）等体积法：
（1）向量法

（2）定义法：找出异面直线的公垂线段。

（3）转化法：转化为线面距离或面面距离来求。

（四）利用向量方法证明和计算的原理（非常重要）
证明
分类
示意图
所需条件
证明原理
平
行
的
证
明

线线
平行

（1）直线m方向向量；
（2）直线n方向向量
∥∥
线面
平行

（1）直线m方向向量；
（2）平面的法向量

直线∥平面
面面
平行

（1）平面的法向量
（2）平面的法向量

∥
平面∥平面
垂
直
的
证
明
线线垂直

（1）直线m方向向量；
（2）直线n方向向量
⊥
线面
垂直

（1）直线m方向向量；
（2）平面的法向量

∥
直线⊥平面

（1）直线m方向向量；
（2）平面内两相交直线的方向向量,
=0⊥AB
=0⊥CD⊥
AB,CD且ABCD=P
面面
垂直

（1）平面的法向量
（2）平面的法向量

平面⊥平面

计算
分类
示意图
所需条件
证明原理
角
的
计
算

两异
面直
线所
成角
（0，】

（1）直线m方向向量
（2）直线n方向向量

简化：
线面角
【0，】
θ

（1）直线OA的方向向量；
（2）平面的法向量

简化：sin=
二面角
【0，】

同进同出为互补
（1）平面的法向量
（2）平面的法向量

（1二面角平面角是锐角余弦就取正值
（2二面角平面角是钝角余弦就取负值

一进一出为相等
距
离
的
计
算
两异面直线间的距离

（1）直线a和直线b的公垂线的方向向量；
（2）a上任意一点A，b上任意一点B，构成向量

点面距离
点
面
距
离

点A到平面的距离
（1）点A和平面内任意一点B构成一个向量；
（2）平面的法向量

线面距离点面距离
面面距离点面距离

高考数学专题——立体几何
综合近几年的高考题可知，本章高考命题的形式比较稳定，难易适中。主要考线线、线面及面面的平行与垂直，三垂线定理及逆定理的应用，以及空间角和距离的计算。从解答题来看，一般遵循先证明后计算的原则，即融推理于计算之中，突出模型法，平移法等数学方法。注重考查转化与化归的思想。（即立体几何平面化：面面问题线面问题线线问题；几何问题代数化）
一、基本定理梳理
平行的证明
线面平行
面面平行
定义
一条直线与一个平面没有公共点，叫做直线与平面平行。
如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行，也叫做平行平面。
判
定
定
理
文字
语言
如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另外一个平面，那么这两个平面平行。
推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另外一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。
图
形
语
言

符
号
语
言

性
质
定
理

文字
语言
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么他们的交线平行。
图
形
语
言

符
号
语
言

其他
重要
结论
如果两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面。

垂直的证明
线面垂直
面面垂直
其他重要结论
定义
如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直。
相交成直二面角的两个平面叫做相互垂直的平面。
判
定
定
理
文字
语言
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线垂直于这个平面内的任意一条直线。
图形
语言

符号
语言

性
质
定
理

文字
语言
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另外一个平面。
如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
图形
语言

符号
语言

三垂线定理
三垂线逆定理
文字语言
在平面内的一条直线，如果它和这个平面内的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
在平面内的一条直线，如果它和这个平面内的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。
图形语言

符号语言