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第二节 定积分的性质和基本定理
用求积分和式的极限的方法来计算定积分不是很方便，在很情况下难以求出定积分的值。因此，我们在定积分定义的基础上，讨论它的各种性质，揭示定积分与微分的内在联系，寻找定积分的有效的，简便的计算方法。
§2.1 定积分的基本性质
一、定积分的基本性质
性质1 ∫ba1dx=∫badx=b-a
证 f(ξi）Δxi＝
１·Δxi＝ (b-a)=b-a
所以
∫ba1dx=∫badx=b-a
性质2(线性运算法则)，设f(x),g(x)在［a,b］上可积，对任何常数α、β，则αf(x)+βg(x)在［a,b］上可积，且
∫ba［αf(x)+βg(x)］dx=α∫baf(x)dx+β∫bag(x)dx
证：设F(x)=αf(x)+βg(x),由
F(ξi）Δxi＝［αf(ξi)+βg(ξi）］Δxi
＝［αf(ξi）Δxi＋βg(ξi）Δxi］
＝α∫baf(x)dx+β∫bag(x)dx，因此
αf(x)+βg(x)在［a,b］上可积，且
∫ba［αf(x)+βg(x)］dx=α∫baf(x)dx+β∫bag(x)dx
特别当α=1,β=±1时，有
∫ba［f(x)±g(x)］dx=∫baf(x)dx±∫bag(x)dx
当β=0时
∫baαf(x)dx=α∫baf(x)dx
性质2 主要用于定积分的计算
性质3 对于任意三个实数a,b,c，若f(x)在任意两点构成的区间上可积，则
∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx
证 a,b,c的位置，由排列知有六种顺序
(i)当a<c<b，按定义，定积分的值与区间分法无关，在划分区间［a,b］时，可以让点C是一个固定的分点，则有
∫baf(x)dx=
f(ξi）Δxi
＝［f(ξi）Δxi＋f(ξi)Δxi］
＝f(ξi)Δxi＋f(ξi）Δxi
＝∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx
（ii)当c<b<a
由(i)知∫acf(x)dx=∫bcf(x)dx+∫abf(x)dx有
-∫caf(x)dx=∫bcf(x)dx-∫baf(x)dx,则
∫baf(x)dx=∫caf(x)dx+∫bcf(x)dx
对于其它4种位置与(ii)证明类似。
性质3主要用于分段函数的计算及定积分说明。。
性质4 若f(x)在［a,b］上可积，f(x)≥0，且a<b,则∫baf(x)dx≥0
证 由f(ξi）≥0,Δxi>0，有f(ξi）Δxi>0有
f(ξi）Δxi>0，由函数极限不等式知
∫baf(x)dx=f(ξi）Δxi≥0
性质4用于不通过计算，判别定积分的符号。
性质5 若f(x),g(x)在［a,b］上可积，f(x)≥g(x)，且a<b，则
∫baf(x)dx≥∫bag(x)dx
证：由f(x)-g(x)≥0，由性质2，4知。
∫baf(x)dx-∫bag(x)dx＝∫ba［f(x)-g(x)］dx≥0
性质5用于不通过计算，比较两定积分大小。
性质6 若f(x)在［a,b］上连续f(x)≥0但f(x)０，则∫baf(x)dx>0
证 由f(x)=0，则存在x0∈［a,b］，不妨设x０∈(a,b)，有f(x０)>0，由f(x)在［a,b］上连续，所以在点x０处连续，即f(x)=f(x０)>0，由连续保号性知，对0<<f(x０），
存在δ１>0，当x∈(x０-δ１,x０＋δ１）时，有f(x)> x∈［x０－，x０＋］ (x０－δ１，x０＋δ１）时，f(x)> ，则
∫baf(x)dx=∫x０－af(x)dx+f(x)dx+∫bx０＋f(x)dx≥f(x)dx≥
dx=dx=>0
性质6用于判断定积分值的符号
推论 若f(x),g(x)在［a,b］上连续，f(x)≥g(x)，且f(x)≠g(x)，a<b，则∫baf(x)dx>∫bag(x)dx
该推论用于不通过计算比较两定积分的大小
若将性质5用不等式
－｜f(x)｜≤f(x)≤｜f(x)｜，有
－∫ba｜f(x)｜dx≤∫baf(x)dx≤∫ba｜f(x)｜dx，于是有
性质7 若f(x)在［a,b］上连续，则
｜∫baf(x)｜dx≤∫ba｜f(x)｜dx
性质8 若f(x)在［a,b］上连续，m、M是f(x)区间［a,b］上的最小值与最大值，则
m(b-a)≤∫baf(x)dx≤M(b-a)
该性质用于估计定积分值的范围
证：由m≤f(x)≤M,x∈［a,b］ a<b
由性质5知
m(b-a)=∫bamdx≤∫baf(x)dx≤∫bamdx=M(b-a)
性质9 (积分中值定理)若f(x)在闭区间［a,b］上连续，a<b则至少存一点ξ∈［a,b］，使
∫baf(x)dx=f(ξ)(b-a) （２．１）
证：由性质8知
m(b-a)≤∫baf(x)dx≤M(b-a)
不等式两边同除b-a，由b-a>0，有
m≤≤M
由f(x)在［a,b］上连续，则［m,M］为函数值域，故至少存在一点ξ∈［a,b］，使
＝f(ξ) (2.2)
则 ∫baf(x)dx=f(ξ)(b-a)
积分中值定理的几何意义：设f(x)≥0，则∫baf(x)dx的数值表示曲线y=f(x),y=0,x=a,x=b同成的曲边梯形面积，如图５-５表明，在区间［a,b］上至少存在一点ξ，以ξ处的纵坐标f(ξ)为高，(b-a)为底的矩形面积，等于该曲边梯形的面积。
图５-５
f(ξ)即(2.2)式左边所确定的值，称为函数f(x)在区间［a,b］上的平均值。
积分中值定理与微分中值定理同样重要，利用积分中值定理可以证明方程根的存在性，适合某种条件ξ的存在性及不等式，有时与微分中值定理综合运用解决一些问题。
例 设函数f(x)在［0,1］上连续，(0，1)内可导，且3f(x)dx=f(0),证明在(0,1)内存在一点ξ，使f′（ξ)=0
证：由积分中值定理知，在［，１］上存在一点c,使
３f(x)dx=３·f(c)（１－）＝f(c)=f(0)
故f(x)在区间［0,c］上满足罗尔定理条件，因此至少存在一点ξ∈(0,c) (0,1)
使f′(ξ)=0
例 证明dx=0
证 由积分中值定理
0≤dx
＝ ０≤ξn≤，有
０≤ξnn≤（）n，由（）n=0，由夹逼定理知
ξnn＝０，而0<≤１
有·ξnn·＝０，由夹逼定理知
dx=0。
§2.2 积分学基本定理
一、变上限函数
设f(x)在区间X上连续，a∈X是一固定点，任给x∈X，有［a,x］或［x,a］X，所以f(t)在［a,x］或［x,a］上连续，则f(t)在［a,x］或［x,a］上可积，对每一个x∈X都有唯一的值
∫xaf(t)dt与之对应，由函数的定义知，∫xaf(t)dt是区间X上的一个函数，称为变上限函数，记作G(x)
G(x)=∫xaf(t)dt x∈X
二、微积分学基本定理
定理 设f(x)在区间X上连续，a∈X是一固定点，则由变动上限积分
G(x)=∫xaf(t)dt x∈X （１）
定义的函数G(x)在X上可导，且G′(x)=f(x)，也就是说函数∫xaf(t)dt是被积函数f(x)在X上的一个原函数。
证 任给x∈X当｜Δx｜充分小时，有x+Δx∈X，由
＝
＝＝
＝＝f(ξ) ξ介与x,x+Δx之间
＝f(ξ） 由f(t)在x处连续
所以f(ξ)=f(x)，因此，G(x)在x处可导且
G′(x)=∫xaf(t)dt=f(x)
本定理沟通了导数和定积分这两个从表面看去似乎不相干的概念之间的内在联系。
推论 若函数f(x)在某区间X上连续，则在此区间上f(x)的原函数存在，原函数的一般表达式可写成
∫xaf(t)dt+C
其中C是任意常数，a∈X为固定点，x∈X
这个定理告诉我们区间上的连续函数一定存在原函数，但原函数不一定是初等函数
若u(x),v(x)在区间X上可导，当x∈X时，u(x),v(x)∈E且f(x)在区间E上连续，则
f(t)dt=f(u(x′)u′(x)-f(v(x))v′(x)
事实上，取a∈E，a为定点，利用导数的运算法则和复合函数求导，有
f(t)dt=［f(t)dt+f(t)dt］
＝［－f(t)dt+f(t)dt］
＝f(u(x))u′(x)-f(v(x)V′(x)
特别f(t)dt=f(u(x))u′(x)，
f(t)dt=-f(v(x)v′(x)，∫axf(t)dt=-f(x)
例3 求cost２dt
解 cosx２dt=3x２cost６－2xcosx４
例4 求
解 （）
＝
＝·＝
三、牛顿—莱布尼兹公式
由和式的极限求定积分的值是十分复杂的，在多数情况下是行不通的，而微积分学基本定理却为定积分的计算方法开避了新途径，我们有下面的定理。
定理二(牛顿—莱布尼兹公式)设函数f(x)在［a,b］上连续且F(x)是它在该区间上的一个原函数，则
∫baf(x)dx=F(b)-F(a) （２．５）
证 由定理条件知，∫ xaf(t)dt是f(x)在区间［a,b］上的一个原函数，而F(x)也是f(x)在区间［a,b］上的一个原函数，则
∫xaf(t)dt-F(x)≡C,C是某一个常数
即∫xaf(t)dt≡F(x)+C
在上式两边令x=a，有０＝∫aaf(t)dt=F(a)+C，有C=-F(a)，有
∫xaf(t)dt=F(x)-F(a)
再令x=b，就有
∫baf(t)dt=F(b)-F(a)
即 ∫baf(x)dx=F(b)-F(a)
公式(2.5)称为牛顿—莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式，这是一个非常重要的公式，它给出了定积分与不定积分之间的联系，通过它，我们可利用不定积分来计算定积分，而不必用求和式极限的方法来计算，这个公式是定积分计算的基础，为了书写方便，常用F(x)｜ba表示F(b)-F(a)，于是公式(2.5)可写成
∫baf(x)dx=F(x)｜ba=F(b)-F(a)
例5 求∫１０x３dx
解 ∫10x３dx＝x４＝（１－０）＝
例6 求 (x２+2cosx)dx
解 (x２+2cosx)dx
＝x２dx+cosxdx
＝（x３)＋２(sinx）
＝（－０）＋２（sin-sin０）
＝＋２
例7 设f(x)= 求f(x)dx
解 由函数f(x)在［０，２］上有间断点，除该点外函数连续，由本章第一节定理已知f(x)在［０，π］上可积，且
f(x)dxsinxdx+xdx
＝-(cosx）＋（x２）
＝１＋（π２－）＝１＋π２
第三节 定积分的计算方法
§3.1 几种基本的定积分计算方法
虽然定积分的计算可以归结为求被积函数的原函数，但有时求被积函数的原函数是比较麻烦的，例如
用变量代换法，求得原函数后，再换回原来的变量，而定积分只需计算出它的值，由不定积
分中有换元法，因此有
一、变量代换法
定理(定积分换元积分法)若函数f(x)在［a,b］上连续作变量代换x=ψ(t)，ψ(t)满足下列条件
(i)ψ(α)=α，ψ(β)=b且ψ(t)∈［a,b］,t∈［α、β］
(ii)在［α，β］(或［β，α］)上有连续的导数ψ′(t)，则有定积分换元公式
∫baf(x)dx=∫βαf［ψ(t)］ψ′(t)dt （３．１）
证 由(3.1)式两边的定积分的被积函数都是连续，所以它们的原函数都存在，设F(x)是f(x)在［a,b］上的原函数，即F′(x)=f(x)，由F(ψ(t))=F′(ψ(t))ψ′(t)=f(ψ(t))ψ′(t)，即F(ψ(t))是f(ψ(t))ψ′(t)的原函数，由牛顿—莱布尼兹公式，有
∫baf(x)dx=F(x)｜ba=F(b)-F(a)
∫βαf(ψ(t))ψ′(t)dt=F(ψ(t))｜βα=F(ψ(β))-F(ψ(α))=F(b)-F(a)
从而(3.1)式成立
公式(3.1)式从右向左又称为定积分的凑微分法，实际上，我们常按下面的方法计算
∫βαg(t)dt=∫βαf(ψ(t))ψ′(t)dt=F(ψ(t))｜βα=F(ψ(β))-F(ψ(α))
避免变动上下限
公式(3.1)式从左向右又称为定积分的变量代换法。
在用变量代换法时，为了保证ψ(t)∈［a,b］，只需ψ(t)在［α，β］(或［β，α］)上单调即可。
注意(1)对应a的α为下限，对应b的β为上限
(2)公式(3.1)式中的α，β，谁大谁小不受限制
例1 求∫e１dx
解 ∫e１dx
＝∫e１ d(1+lnx)
＝（１＋lnx)３／２｜e１
＝［（１＋lne)３／２－１］＝（２－１）
例2 计算∫a0dx(a>0)
解 令x=asint，则t∈［０，］时，x=asint∈［0,a］，且t=0时，x=0,t=时，x=a,于是
∫a０dx
＝a｜cost｜dasint＝a２cos２tdt
＝ (1+cos2t)dt
＝［t+］＝·＝
图５-６
利用定积分几何意义知，由≥0，则∫a０dx表示曲线y=与x轴，y轴围成的曲边梯形面积，即以原点为心以a为半径圆面积的倍，为
例3
解 设＝t，即x＝，则dx=-tdt
由变换t=，当x=-1时，t=3，当x=1时，t=1，因此
＝∫１３·（－）t dt
＝∫１３ dt＝（t３－5t）｜１３＝
例4 求
解 令x=sint，则dx=costdt，当x＝时，t=；当x＝时，t=，故
＝＝csc２x dt
＝（-ot t)=(-1)-(-）＝－１
例5 设f(x)=，求∫３１f(x-2)dx
解 ∫３１f(x-2)dx,令x-2=tf(t)dt
＋
＝（t+t３）＋（-e-t)
＝－（－１－）＋（－e－１＋１）＝－
二、分部积分
相应于不定积分的分部积分公式，定积分也有分部积分公式，若u(x),v(x)在区间［a,b］上具有连续的导数，有
［u(x)v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)有
u(x)v′(x)=［u(x)v(x)］′-u′(x)v(x)
由等式两边的函数在［a,b］上都连续，因此可积且相等，有
∫bau(x)v′(x)dx=∫ba［(u(x)v(x))′-u′(x)v(x)］dx于是
∫bau(x)dv(x)=u(x)v(x)｜ba－∫bav(x)du(x)，简记为
∫baudv=uv｜ba-∫bavdu，因此有
定理(定积分的分部积分)，若u(x),v(x)在［a,b］上具有连续的导函数，则
∫baudv=uv｜ba-∫bavdu （３．２）
公式(3.2)告诉我们，在利用定积分分部积分公式计算定积分时，不必等到原函数求出以后才将上下限代入，可以算一步就代一步。
例6 x２cosx dx
解x２cosx dx=x２dsinx
＝x２sinx－2xsinxdx=+2xdcosx
＝２（xcosx－cosxdx)=2(2π-sinx)
＝４π
例7 dx
解dx
＝dx
＝xdtgx
＝［xtanx-tanxdx］
＝［＋lncosx］＝－ln2
例8 设f(x)=∫x０ dt,计算f(x)dx
解 f(x)dx=xf(x) －xf′(x)dx
＝πdt-xdx
＝dx-xdx
＝sinxdx＝sinxdx
=（-cosx) ＝２
§3.2 几种定积分简化的计算方法
一、关于原点对称区间上函数的定积分
(i)若f(x)在区间［-a,a］上连续，则
f(x)= （３．３）
事实上，由f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx
由f(x)dx,令x=-t, f(-t)d(-t)＝f(-x)dx＝ 故
f(x)dx=
(ii)若f(x)在［-a,a］上连续
f(x)=＋，由
为偶函数，为奇函数，由(i)知
f(x)dx=dx+ dx
＝2dx=［f(x)+f(-x)］dx （３．４）
例9 求 (｜x｜+x)e-｜x｜dx
解 由｜x｜e-｜x｜为偶函数，xe-｜x｜为奇函数，从而
（｜x｜+x)e-｜x｜dx
＝２∫２０｜x｜e－｜x｜dx=2∫２０xe-xdx
＝2∫２０xd(-e-x)=2［-xe-x｜２０＋∫２０e-xdx］
＝２［－２e－２-e-x｜２０］＝２［－２e－２－e－２＋１］＝２－
例10 dx
解，虽然在［－，］上既不是奇函数，也不是偶函数，但我们可以利用(ii)来简化计算，有
dx=［＋］dx
＝(＋)dx=sin２xdx
＝（１－cos2x)dx= (x-sin2x)＝（２π－３）
注：本题用其它方法很难求出。
二、周期函数的定积分
设f(x)为同期函数，周期为T，且连续，则
f(x)dx=∫Ｔ０f(x)dx(a是任意常数) (3.5)
事实上，由f(x)dx＝∫０af(x)dx+∫T０f(x)dx+f(x)dx
由f(x)dx∫a０f(t+T)dt=∫a０f(t)dt=∫a０f(x)dx,于是
f(x)dx=-∫a０f(x)dx+∫T０f(x)dx+∫a０f(x)dx=∫Ｔ０f(x)dx
三、sinnx,cosnx在［０，］上的积分
对任意的自然数n，有
sinnxdx＝cosnxdx＝ （３．６）
证：首先证明sinnxdx＝cosnxdx
由sinnxdxsinn（－t)d(－t)＝－cosntdt＝cosnxdx
设 In＝sinnxdx
由 In＝sinnxdx＝－sinn-1xdcosx
＝-sinn-1xcosx+cosx(n-1)sinn-2xcosxdx
＝(n-1) sinn-2x(1-sin２x)dx
＝(n-1) sinn-2xdx-(n-1) sinnxdx
＝(n-1)In-2-(n-1)In，有
In＝ In-2＝·In-4＝…
当n为偶数时 In=·…Ｉ０
当n为奇数时 In=·…Ｉ１
由I０＝sin０xdx=，Ｉ１＝sinxdx＝－cosx＝１
因此 sinnxdx＝
例11 求x４ dx
解 x４dx＝２∫１０x４dx
2sin４tcos２dt=2sin４t(1-sin２t)dt
＝２［sin４tdt-sin６t dt］
＝２（·－···）＝π
例12 证明sin2nxdx=cos2nx=4sin2ndx
证 首先证明sin2nxdx=cos2nxdx
由sin2nxdx－sin2n(2π-t)dt
＝cos2ntdt＝cos2nxdx
由sin２x＝周期为π，当然2π也是它的一个周期，从而sin2nx的周期为π，并且2π也是它的一个周期，由公式(3.5)
有
sin2nxdx=sin2nxdx＝２sin2nxdx
＝２sin2nxdx=4sin2nxdx
＝４··…＝π
从证明的过程，我们还可以得到
sin2nx dx＝cos2nxdx=2sin2nxdx
掌握以上的公式，可以化简定积分的计算
四、灵活运用变量代换、计算定积分
例13 设函数f(x)在［０，１］上连续，证明
xf(sinx)dx＝f(sinx)dx
并利用此结果，计算dx
证xf(sinx)dx-(π-t)f(sint)dt
＝ (π-x)f(sinx)dx=πf(sinx)dx-xf(sinx)dx
于是移项并除2，就有
xf(sinx)dx=f(sinx)dx
利用此结果
dx=dx=dxcosx
＝－dcosx＝dcosx
＝dcosx－πdcosx
＝（cosx）－π(aretan(cosx) ）＝－π＋
例14 计算∫１０ dx
解 ∫１０dxsec２tdt
＝lndt=dt
＝lndt＋lncos（－t)dt-lncostdt
图５-７
由lncos（－t)dt－lncosudu
＝lncostdt，所以
质式＝ln dt＝ln
以上两个例子，被积函数的原函数很难求出来。
例18 求dt
解 由dt－du
＝du＝dt
由dt＋dt=dt=
故dt＝。
第四节 定积分的应用
§4.1 平面图形的面积
设连续曲线y=f(x)，ox轴及直线x=a,
x=b(a<b)
图５-８
所围成的曲边梯形的面积为S
(1)当f(x)≥0时，由定积分几何意义知，S=∫baf(x)dx＝∫ba｜f(x)｜dx
(2)当f(x)≤0时，作出曲线y=f(x)关于ox轴的对称曲线y=-f(x)，则曲线y=-f(x)，ox轴及直线x=a,x=b围成曲边梯形的面积S１与S相等，如图５-８，即
S＝Ｓ１＝∫ba-f(x)dx=∫ba｜f(x)｜dx
因此，一般地连续曲线y=f(x),ox轴及直线x=a,x=b(a<b)所围的曲边梯形的面积S为
S=∫ba｜f(x′)｜dx （４．１）
同理，由曲线x=ψ(y),oy轴及直线y=c,y=d(c<d)所围的曲边梯形面积S(如图５-９)为
S=∫dc｜ψ(y)｜dy=∫ecψ(y)dy+∫de-ψ(y)dy
一般地，由两条连续曲线y=f１(x),y=f２(x)及直线x=a,x=b(a<b)，所围的平面图形面积的计算公式为
S=∫ba｜f２(x)-f１(x)｜dx （４．３）
图５-９ 图５-１０
事实上，对图５-１０
Ｓ＝∫baf２(x)dx-∫baf１(x)dx
＝∫ba［f２(x)-f１(x)］dx＝∫ba｜f２(x)-f１(x)｜dx
图５-１１ 图5-12
对图5-11进行坐标轴平移(设｜00′｜=k)，在新坐标系下两条曲线分别为y=f２(x)+k,y=f１(x)+k,由图5-10知
S＝∫ba｜(f２(x)+k)-(f１(x)+k)｜dx
＝∫ba｜f２(x)-f１(x)｜dx
对如图5-12
Ｓ＝∫ca［f２(x)-f１(x)］dx+∫bc［f１(x)-f２(x)］dx
＝∫ca｜f２(x)-f１(x)｜dx＋∫bc｜f２(x)-f１(x)｜dx
＝∫ba｜f２(x)-f１(x)｜dx
对上面3种情况也可用定义得到，如图５-１３，在［a,b］内插入n-1个分点
a=x０<x１<x２<…<xi-1<xi<…<xn-1<xn=b
相应地分成n个小区间［xi-1,xi］，记Δxi=xi-xi-1过分点作oy轴平行线增大的图形分成n个小的图形。设第i个图形的面积为Si i=1,2,…n由两条曲线连续，近似看成矩形，底为Δxiξi∈［xi-1,xi］,高为｜f２（ξi)-f１(ξi）｜有Si≈｜f２(ξi)-fi(ξi）｜Δxi
S≈｜f２(ξi）-f１(ξi)｜Δxi＝∫ba｜f２(x)-f１(x)｜dx
同样 由连续曲线x=ψ２(y)，x=ψ１(y)，及直线y=c,y=d所围的曲边梯形面积为S=∫dc(ψ２(y)-ψ１（y)｜dy，如图５-１３
图５-１３ 图5-14
求简单曲线所围成的面积时
(1)首先求出曲线的交点
(2)画出经过交点的曲线
(3)由所围的平面图形，选择适当的公式来计算。
注意 若曲线很简单时，也可在画曲线的过程中求交点。
另外，也可利曲线关于坐标轴对称，来简化计算。
例１ 求由抛物线y２=2x及直线y=x-4所围成的平面图形的面积。
解 由 解得
图5-１５
所求的面积是由曲线x=y+4,x=y２及直线y=2,y=4所围成，如图５-１５，故有
S＝［(y+4)- y２］dy
＝（＋４y－）＝１８
本题如用公式(4.3)来计算，就需要将整个面积分成两部分S１及S２，然后计算S１，Ｓ２，相加才得S１＋Ｓ２＝Ｓ，读者可以计算一下，这样做就复杂多了。
例２ 求曲线y=，及直线y=x,x=2所围成的平面图形面积
解 此题的曲线都很简单，可在画曲线的过程中求出交点，所求的面积由曲线y=x,y=及直线，x=2所围成，如图５-１６，故有
图5-１６
S＝∫２１(x-）dx
＝（x２-lnx)｜２１＝（２－ln2)-( －０）
＝－ln2
图5-１７
例３ 求椭图＋＝１所图的面积
解 由椭园关于x轴及y轴对称，只需计算位于第一象限部分的面积，然后乘以4就得到求平面图形面积S，如图５-１４
由＋＝１，解得y=±，故上半椭园的方程是y=，因此
S＝４∫a０dx
acostacostdt=4abcos２tdt
＝4ab··=πab
特别，当a=b=R时，得园的面积为S=πR２
§4.2 立体及旋转体的体积
一、立体的体积
设Ω为一空间位体，它夹在垂直于x轴的两平面x=a与x=b之间(a<b)，我们称Ω为位于［a,b］上的空间立体，在区间［a,b］上任意一点x处，作垂直于x轴的平面，它截得立体Ω的截面面积显然是x的函数，记为A(x),设为x的连续函数，x∈［a,b］，我们称为空间立体Ω的截面面积函数，如图５-１５所示，如何计算立体的体积。
1.分割 在区间［a,b］内插入n-1个分点
a=x０<x１<x２<…<xi-1<xi<…<xn-1<xn=b
过x=xi(i=0,1,2…n)作垂直于x轴的n+1个平面，这些平面把Ω分割成n个薄片，记Δxi=xi-xi-1,i=1,2…n
2.作和 由A(x)在［a,b］上连续，当λ=max｛Δxi 1≤i≤n｝很小时，A(x)在［xi-1,xi］上变化不大，从而每个薄片都可以用一个薄柱体来近似第i个薄片的体积，Vi近似于以ξi∈［xi-1,xi］，A(ξi)为底，以Δxi为高的柱体体积，即
图5-18
Vi≈A(ξi)Δxi i=1,2,…n
从而Ω的体积 V＝Vi≈A(ξi）Δxi
3.取极限 由A(x)在［a,b］上连续，所以∫baA(x)dx存在
V=A(ξi）Δxi＝∫baA(x)dx （４．５）
例4 设有底面半径为a的园柱，被一与园柱的底交成α角，且过底之直径AB的平面所截，求截下的楔形的体积。
解 取坐标系如图５-１６，这时，垂直于x轴的截断面都是直角三角形，它的一个锐角为α，这个锐角的邻边长为，故断面面积为
图5-19
A(x)＝ (a２-x２）tanα
则所求楔形的体积为
V＝2∫a０ (a２-x２）tanαdx
＝tanα∫a０(a２-x２)dx
=a３tanα
二、旋转体的体积
求由连续曲线y=f(x),ox轴及直线x=a,x=b所围成的曲边梯形，绕ox轴旋转而成的旋转体的体积Vx
图5-20
把旋转体看成夹在两平行平面x=a，x=b之间，那么在［a,b］上任意一点x处作平行两底面的平面与立体相截截面积为A(x)=π｜f(x)｜２=πf２(x)，因此，由公式(4.5)知
图５-２１
Vx＝π∫baf２(x)dx （４．６）
例5 求由椭园＋＝１围成的图形绕ox轴旋转面成的旋转椭球体的体积。
解 由椭园方程解得y２= (a２-x２)，根据(4.6)式得该椭园围成的平面绕ox轴旋转而成的旋转椭球体体积为
Ｖ＝∫a-aπy２dx=∫a-aπ (a２-x２)dx
＝２π∫a０(a２-x２)dx
＝２π［a２x-｜a0=πab２
特别，当a=b=R时，可得半径为R的球体的体积 Ｖ＝πＲ３
§4.3 微元法及应用
一、微元法
回顾前面讨论的曲边梯形面积，变力作功，变速直线运动路程，立体的体积等具体问题，可以将定积分解决实际问题的方法与步骤归结如下三步
(1)分割 即通过将区间［a,b］任意分为n个小区间［xi-1,xi］(i=1,2,…n)，相应地把所求的量Q(如面积，功，路程，体积等)分为n个部分量ΔQi
(2)作和，即在每个小区间［xi-1,xi］上求出所求量ΔQi的具体下面形式的近似值
ΔQi≈f(ξi)Δxi （４．７）
其中ξi是［xi-1,xi］上任一点，Δxi=xi-xi-1，然后将各部分量的近似值相加，得到所求量Q的近似值Q≈f(ξi)Δxi
(3)取极限 在上式中令λ=max｛Δxi 1≤i≤n｝→0，取极限，得到所求量
Q=f(ξi)Δxi＝∫baf(x)dx （４．８）
从上面过程可以看出，在上述三步中，关键是第二步中写出区间［xi-1,xi］上的部分量
ΔQi≈f(ξi)Δxi （４．９）
它一旦确定后，被积表达式也就确定了，问题是ΔQi与f(ξi）Δxi之间存在什么关系(因为近似是一个模糊的量，它们之间近似的程度应满足什么要求，我们把(4.9)式写成更一般形式，设xi-1=x,xi-xi-1=Δx=xi-1+Δx=x+Δxξ取［x,x+Δx］中的任何值都可以，自然也可以取它的左端点，即ξ=x，这样(4.9)式就变成了区间［x,x+Δx］上的部分量
ΔQ≈f(x)Δx
如何正确地写出这个近似表达式，使得积分∫baf(x)dx恰好就是所求的量Q呢?
我们由果索因
设(4.7)式中的f(x)在［a,b］上连续，由
Q=∫baf(x)dx=∫baf(t)dt （４．１０）
(4.９)式实际上是Q(x)=∫xaf(t)dt在x=b处的值，即Q=Q(b)〖ＨＪ〗〖ＬＭ〗
由 ΔQ＝Q(x+Δx)-Q(x)
＝f(t)dt-∫xaf(t)dt
＝f(t)dt+∫axf(t)dt
＝f(t)dt
f(ξ)Δx x≤ξ≤x+Δx
由f(x)在［a,b］上连续，且区间［x,x+Δx］很小，则f(ξ)≈f(x)，即
ΔQ≈f(x)Δx
另一方面
=f(x),有
dQ=f(x)dx
由Q(x)在点x处可导，则Q(x)在点x处可微，由微分定义
ΔQ＝dQ+o(Δx)=f(x)dx+o(Δx)
＝f(x)Δx+o(Δx) (Δx→0)
因此(4.10)式中的f(x)Δx应当是ΔQ的线性主部，即是dQ
所以 Q=∫baf(x)dx中的f(x)dx=f(x)Δx是区间［x,x+Δx］的部分量ΔQ的线性主部dθ，ΔQ-f(x)Δx应当Δx的高阶无穷小。
这样，可以把定积分解决实际问题在认清实质的情况下使得步骤简化，得到求Q的方法。
序曲：根据所给条件画图，适当建立坐标系，把图中所需要的曲线方程表示出来，确定要求量Q所分布的区间［a,b］
三步曲 取近似，选取区间［x,x+Δx］ Δx>0
写出部分量ΔQ的近似值f(x)Δx，即
ΔQ≈f(x)Δx
要求f(x)Δx是ΔQ的线性主部dQ，即在计算的过程中，尽可能的精确，可以略去Δx的高阶无穷小。
这一步是最关键，最本质的一步，所以称为微元分析法或简称微元法
2.得微分 dQ=f(x)dx
3.得积分 Q=∫baf(x)dx
二、曲边扇形的面积
求由连续曲线r=r(θ)与射线θ=α,θ=β所围图形(图５-２２)，(称为曲边扇形)的面积。
由曲边扇形分布在区间［α，β］上
图５-２２
1.考察［θ,θ+Δθ］区间上曲边扇形的面积ΔS
ΔＳ≈r２(θ)Δθ
2.dS＝r２(θ)dθ
3.S＝∫βαr２(θ)dθ （４．１１）
下面 我们来证明r２(θ)Δθ确实是ΔS的线性主部，即
dS＝r２(θ)dθ
事实上，由函数r=r(θ)在［α，β］上连续，则在区间［θ,θ+Δθ］上连续，设M，m为r(θ)在［θ,θ+Δθ］的最大值与最小值，则
m≤r(θ)≤M,有
m２Δθ≤r２(θ)Δθ≤Ｍ２Δθ，即
m２Δθ≤ΔS≤m２Δθ有
m２≤≤M２
当θ→0时有m→r(θ) M→r(θ)，由夹逼定理知
＝r２(θ)，即
dS＝r２(θ)dθ
但实际中，要检验所求的近似值f(x)Δx是否为ΔQ的线性主部即dQ或者说要检验ΔQ-f(x)Δx是否是ΔQ的高阶无穷小往往不是一件容易的事，并不是每个实际问题都可以像求曲边扇形的那样来进行检验，因此，在求ΔQ的近似值时要特别小心谨慎，要尽可能的精确，对于Δx的高阶无穷小可以略去，还可以用实践来检验结论的正确性。
例6 求双纽线(x２+y２）２=x２-y２所围图形的面积
图５-２３
解 由方程中x用-x代替方程不变，y用-y代替方程不变，则曲线关于x轴及y轴对称，因而面积只须计算第一象限面积，再乘以4倍。
由从方程中解y很困难，因此难认用直角坐标系下求平面图形面积的方法，双纽线在极坐标系下的方程
r２=cos2θ
r＝
在第一象限0≤θ≤，要使r≥0，则0≤θ≤
由公式(4.11)有
S＝４r２(θ)dθ＝４
cos2θdθ=sin2θ＝１
三、平面曲线的弧长
在初等几何中，解决园周的长度问题所用的方法是：利用园内接正多边形的周长作园周长的近似值，再令多边形的边数无限增多而取极限，就定出园周的周长，因此，我们也用类似的方法来定义平面曲线弧长的概念。
定义 设A，B是平面曲线Γ的两个端点(这里所指的曲线弧，它自身不相交，且非封闭，否则，可分段考虑，并规定曲线的弧长为各个分段的弧长之和。)在Γ上依次任意取点
A=M０Ｍ１Ｍ２…Mi-1,Mi…M
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