勾股定理的判断.doc

【本讲教育信息】
一、教学内容：
勾股定理及直角三角形的判定
1、勾股定理
2、勾股定理的验证
3、直角三角形的判别条件
4、勾股数

二、教学目标
1、掌握勾股定理，体会数形结合的思想，并会利用勾股定理求直角三角形的直角边或斜边。
2、了解利用拼图验证勾股定理的方法，并能运用此方法进行验证。
3、能根据直角三角形的判别条件判断一个三角形是否是直角三角形。
4、理解勾股数的含义。

三、知识要点分析
1、勾股定理
（这是重点）如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
2、勾股定理的验证
勾股定理的证明方法很多，其中大多数是利用面积拼补的方法证明的。我们也可将勾股定理理解为：以两条直角边分别为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。因此，证明勾股定理的关键是想办法把以两条直角边分别为边长的两个正方形作等面积变形，使它能拼成以斜边为边长的正方形。另外，用拼图的方法，并利用两种方法表示同一个图形的面积也常用来验证勾股定理。
3、（这是重难点）如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，此结论是勾股定理的逆定理（它与勾股定理的条件和结论正好相反）。其作用是利用边的数量关系判定直角三角形，运用时必须在已知三角形三条边长的情况下。我们还可以理解为：如果三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形，并且两条短边是直角边，最长边是斜边。
4、勾股数
（这是重点）满足条件a2+b2=c2的三个正整数a、b、c称为勾股数。
友情提示：（1）3，4，5是勾股数，又是三个连续正整数，并不是所有三个连续正整数都是勾股数；（2）每组勾股数的相同倍数也是勾股数。

【典型例题】
考点一：勾股定理
例1：在△ABC中，∠C=90°，
（1）若a=3，b=4，则c=__________；
（2）若a=6，c=10，则b=__________；
（3）若c=34，a：b=8：15，则a=________，b=_________.
【思路分析】这是一组关于勾股定理应用的计算题，由勾股定理可知，在直角三角形中只要已知除直角外的两个独立条件，就能求得直角三角形的边.
解：（1），则c=5.
（2），则b=8.
（3）∵a：b=8：15，∴设a=8x，b=15x.
∵∠C=90°，∴.
∴c=17x.∴17x=34，x=2.
∴a=16，b=30.
方法与规律：学会正确应用勾股定理，关键是能准确判断斜边（直角所对的边）；若不能直接运用勾股定理：如已知边的比值时通常可以引入一个辅助未知量，通过建立方程（或方程组）来解决边的问题.

例2：已知三角形的两边长分别是3、4，如果这个三角形是直角三角形，求第三边的长。
【思路分析】题目中没有明确说出直角边和斜边，所以第三边可能是斜边，也可能是直角边，故我们要分两种情况进行分类讨论。
解：设第三边的长为x（x>0）
（1）当x是斜边时，由勾股定理，得x2=32+42，解之得x=5；
（2）当x是直角边时，由勾股定理，得42=32+x2，即x2＝42－32=7，解之得x=。
所以第三边的长是5或。

考点二：勾股定理的验证
例3：如图所示，图（1）是用硬纸板做成的两个直角三角形，两直角边的长分别是a和b，斜边长为c，图（2） 是以c为直角边的等腰三角形。请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。
（1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形。
（2）用这个图形证明勾股定理。
（3）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼接后的示意图。（无需证明）

【思路分析】将三个图形拼接在一起，可得到一个直角梯形，用两种方法表示出该直角梯形的面积，利用面积相等即可验证勾股定理。
解：（1）如下图。直角梯形

（2）∵S梯形=（a+b）（a+b） =（a+b）2
S梯形=2×ab+c2= ab+c2
∴（a+b）2=ab+c2整理得：a2+b2=c2
（3）用4个全等的直角三角形，可以拼出如下图形。

考点三：直角三角形的判别条件
例4：已知△ABC中，a=m2－n2，b=2mn，c=m2+n2，其中m，n是正整数，且m＞n，试判断△ABC是否为直角三角形?
【思路分析】本题关键是确定最大边，然后根据直角三角形的判别条件来判定该三角形为直角三角形.
解：因m，n是正整数，且m＞n，所以c＞b，c>a.a2+b2=（m2－n2）2+（2mn）2=m4－2m2n2+n4+4m2n2 = m4+2m2n2+n4，c2=（m2+n2）2= m4+2m2n2+n4，所以a2+b2=c2，故△ABC是直角三角形.
方法与规律: 已知三角形的三边长判定三角形的形状时，一般做法是：验证较小两边的平方和与最长边的平方之间的关系，满足“a2+b2=c2”形式，就是直角三角形，否则不是.

例5：如图，已知AB=4，BC=12，CD=13，DA=3，AB⊥AD，说明BC⊥BD.

【思路分析】利用勾股定理的逆定理判别一个三角形是不是直角三角形时，当较小两边的平方和等于较大边的平方时，才可判断这个三角形是直角三角形.较大边的对角是直角.不能机械地认为c边所对角是直角.
解：在Rt△ABD中，有BD2=AB2+AD2=42+32=25，
又BD＞0，∴BD=5.
∵BD2+BC2=52+122=169=132=CD2，
∴∠DBC=90°∴BC⊥BD.
方法与规律：判定直角三角形的方法是：①当已知一个三角形的两内角度数或三个角的度数之比时，利用定义判定.②当已知三边长或三边长的比时，利用勾股定理的逆定理来判定.

例6：若△ABC的三边长a、b、c满足条件a2+b2+c2+200=12a+16b+20c，试判断△ABC的形状。
【思路分析】欲判断△ABC的形状，先将条件中的等式变形，求出a、b、c的值，然后确定a、b、c的关系，从而判断出△ABC的形状。
解：由a2+b2+c2+200=12a+16b+20c，得（a2－12a+36）+（b2－16b+64）+（c2－20c+100）=0，所以（a－6）2+（b－8）2+（c－10）2=0.又因为（a－6）2≥0，（b－8）2≥0，（c－10）2≥0，所以a=6，b=8，c=10，所以a2+b2=62+82=102=c2.所以△ABC是直角三角形。

考点四：勾股数的考查
例7：下列各组数是勾股数吗？为什么？
（1）7，24，25 （2）0.3，0.4，0.5
【思路分析】判断一组数是否是勾股数，需具备如下两个条件：（1）三个数必须是正整数；（2）其中两个数的平方和等于第三个数的平方。
解：（1）因为7，24，25都是正整数，且满足72+242=252，所以7，24，25是一组勾股数；
（2）因为0.3，0.4，0.5不是正整数，故0.3，0.4，0.5不是勾股数。

【本讲涉及的数学思想和方法】
本讲主要讲述了勾股定理、勾股定理的验证、直角三角形的判别条件以及勾股数。本讲所涉及到的数学思想主要是数形结合的数学思想。在利用勾股定理求直角三角形的边长时，通常用的数学方法是利用勾股定理把问题转化成方程的问题进行求解。在已知直角三角形的两边求第三边长时，如果不确定边是直角边还是斜边，此时要用到分类讨论的数学思想方法。

预习导学案
（勾股定理的应用）
一、预习前知
勾股定理的内容是什么？如何判定一个三角形是直角三角形？

二、预习导学
探究与反思
探究任务：蚂蚁怎样走最近？
1、把求立体图形上的两点的距离问题转化成平面内的两点之间线段最短的问题求解。
2、把立体图形展成平面图形，然后利用勾股定理确定两点之间的距离。
【反思】（1）圆柱体、棱柱的侧面展开图是什么图形？
（2）你能根据展开图构造出直角三角形吗？
（3）求立体图形上的两点间的距离的依据是什么？

【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一、选择题
1. 若一直角三角形两边长分别为12和5，则第三边长为（ ）
A. 13 B. 13或 C. 13或15 D. 15
2. 直角三角形的周长为12，斜边长为5，则面积为（ ）
A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
3. 如果一个等腰直角三角形的面积是2，则斜边长的平方为（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D.
*4. 若直角三角形两条直角边长分别为5㎝，12㎝，则斜边上的高为（ ）
A. 6㎝ B. ㎝ C. 8㎝ D. ㎝
*5. 等腰三角形底边长10，腰长为13，则此三角形的面积为（　　）
A. 40 B. 50 C. 60 D. 70
6. 满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（ ）
A. b2=c2－a2
B. a∶b∶c=3∶4∶5
C. ∠C=∠A－∠B
D. ∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15
*7. 三角形的三边长为，则这个三角形是（ ）
A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形
*8. 一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中的∠A和∠BDC都应为直角，将量得的这个零件的各边尺寸标注在图中，由此可知（ ）
A. ∠A符合要求
B. ∠BDC符合要求
C. ∠A 和 ∠ BDC都符合要求
D. ∠A 和∠BDC都不符合要求

*9. 一根旗杆在离地面4.5米的地方折断，旗杆顶端落在离旗杆底部6米处，则旗杆折断前高（ ）
A. 10.5米 B. 7.5米 C. 12米 D. 8米
10. 如图，一架25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯子将平滑（ ）
A. 9分米 B. 15分米 C. 5分米 D. 8分米

二、填空题：
11. 假如有一个三角形是直角三角形，那么三边a、b、c之间应满足 ，其中 边是直角所对的边.
*12. 如图，已知△ABC中，∠C=90°，BA=15，AC=12，以直角边BC为直径作半圆，则这个半圆的面积是 .

13. 将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，…，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；…，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数 ， ， .
*14. 若一个三角形的三边之比为3：4：5，且周长为60cm，则它的面积为 .
15. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为_______cm2.

*16. 已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距_____海里.

三、计算题：
*17. 如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m，高3m，长20m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.

*18. 在一个圆形工件上钻了三个圆孔A，B，C，要求AC⊥BC，如果只有刻度尺，你能设计一种方法来检测所钻的孔是否符合要求吗？

19. 如果a，b，c是一组勾股数，且a，b，c没有大于1的因子，那么我们称这一组勾股数为基础勾股数，如：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 9，40，41都是基础勾股数。观察这些基础勾股数，你发现各数组中的勾与股及其积各有何特点？勾、股、弦三者的积有何特点?写出你的发现结果。
**20. 如图所示，隔湖有两点A，B，从与BA 方向成直角的BC上的C点，测得CA=50米，CB=40米。求：（1）A，B两点的距离。（2） 你能知道B点到直线AC的最短距离吗？

【试题答案】
一、1. B【思路分析】第三边可能是直角边，也可能是斜边，故分两种情况讨论.
2. D【思路分析】可设一条直角边为x，则另一直角边长为7－x，利用勾股定理可求出两条直角边长.
3. C 【思路分析】设直角三角形的两条直角边为x，根据三角形的面积是2，可知，根据勾股定理可知斜边的平方等于2x2=8.
4. D 【思路分析】用两条直角边表示三角形的面积，然后利用斜边与斜边上的高来表示三角形的面积，根据面积相等进行求解.
5. C【思路分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质求出底边上的高即可求出面积。
6. D 【思路分析】 A选项，由b2=c2－a2得b2+a2=c2，所以三角形是直角三角形；B选项，设a=3x，则b=4x，c=5x，经计算知b2+a2=c2，所以三角形是直角三角形；C选项，由∠C=∠A－∠B知∠C+∠A=∠B，利用三角形的内角和等于180°可求∠B=90°，所以三角形是直角三角形。综上分析，本题答案是D。
7. C【思路分析】由知b2+a2=c2，所以此三角形是直角三角形。
8. D 【思路分析】根据直角三角形的判别方法进行判断。
9. C【思路分析】设旗杆折断前高为x米，则（x－4.5）2=4.52+62，解得x=12.
10. D【思路分析】两次利用勾股定理即可.

二、11. a2+b2=c2， c
12. 10.125π【思路分析】利用勾股定理求出BC的长即可.
13. 5，12，13；8，15，17；9，40，41（答案不唯一）
14. 150cm2 【思路分析】根据三边的比例关系可确定此三角形是直角三角形.可设三边长分别为3x，4x，5x，则可列方程3x+4x+5x=60，3x=15，4x=20，此三角形的面积为=150.
15. 49 【思路分析】 正方形A，B，C，D的面积之和等于以7cm为边长的正方形的面积.
16. 40【思路分析】分别计算出两船2小时的路程，然后利用勾股定理求解.
三、
17. 【思路分析】透阳光的最大面积是塑料薄膜的面积，需要求出它的另一边的长是多少，可以借助勾股定理求出.
解：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为5m，所以矩形塑料薄膜的面积是：5×20=100（m2） .
18. 【思路分析】利用刻度尺可分别测量出三边的长度，然后利用直角三角形的判定方法进行判定。
解：分别测量出AC，AB，BC三条线段的长，看是否满足AB2=AC2+BC2，若满足等式，则所钻圆孔符合要求。
19. 解:勾与股必为一奇一偶，勾与股的积能被4整除，勾、股、弦三数的积能被60 整除
20. 【思路分析】问题（1），可以确定ΔABC是直角三角形，根据勾股定理即可求解；（2）过点B作BD⊥AC，垂足为D，则BD即为所求，可利用等积法确定直角三角形斜边上的高.
解：（1）由题意知ΔABC是直角三角形，勾股定理知
AC2=BC2+AB2， 又AC=50，BC=40， 于是 AB2=502+402=900
由AB为正，所以： AB=30米
（2）过点B作BD⊥AC，垂足为D.

ΔABC的面积=·AB×BC =AC × BD，
则AB×BC=AC×BD所以BD====24（米）
答：AB两地的距离为30米，B到AC 的最短距离为24米.