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第一章 第二章 24
第一章 运动和力
选择题
1－1 下面陈述正确的是 （ C ）
(A) 运动物体的加速度越大,速度越大;
(B) 做直线运动的物体,加速度越来越小,速度也越来越小;
(C) 加速度的切向分量为正值时质点的运动加快;
(D) 法向加速度越大,质点运动的法向速度也越大.
1－2 对于运动的质点,下面的情况中不可能的是 （ A ）
(A) 具有恒定的速度,但有变化的速率;
(B) 具有恒定的速率,但有变化的速度;
(C) 加速度为零而速度不为零;
(D) 加速度不为零而速度为零.
1－3 一质点沿轴运动时加速度与时间的关系曲线如图所示.由图中可与求出（ B ）
(A) 质点在第秒末的速度; (B) 质点在前秒内的速度增量;
(C) 质点在第秒末的位置; (D) 质点在第秒末的位移.
1－4 质点做曲线运动,是位置矢量,是位置矢量的大小,是速率.则 （ B ）
(A) ; (B) ;
(C) ; (D) .
1－5 质点做匀速圆周运动,圆周的半径为,转一圈的时间为.它在时间间隔内,其平均速度的大小和平均速率分别为 （ B ）
(A) , ; (B) , ;
(C) , ; (D) , .
1－6 质点从向做曲线运动,其速度逐渐减小.在下图中,正确地表示质点在点时的加速度的图形为 （ C ）
1－7 沿直线运动的物体,其速度与时间成反比,则加速度与速度的关系为 （ B ）
(A) 与速度成正比; (B) 与速度平方成正比;
(C) 与速度成反比; (D) 与速度平方成反比.
1－8 若以钟表的时针为参考系,分针转一圈所需的时间为 （ B ）
(A) ; (B) ;
(C) ; (D) .
1－9 一质点从静止出发绕半径为的圆周做匀变速圆周运动,角加速度为.当该质点转过一圈回到出发点时,其加速度的大小为 （ D ）
(A) ; (B) ;
(C) ; (D) 以上结果都不对.
1－10 一飞轮绕轴做变速转动,飞轮上有两点和,它们到转轴的距离分别为和. 任意时刻与两点的加速度大小之比为 （ B ）
(A) ; (B) ;
(C) 要由该时刻的转速决定; (D) 要由该时刻的角加速度决定.
1－11 下列陈述中正确的是 （ D ）
(A) 合力一定大于分力;
(B) 若物体的速率不变,则其所受的合外力为零;
(C) 速度越大的物体,运动状态越不易改变;
(D) 质量越大的物体,运动状态越不易改变.
1－12 用细绳系一小球,使其在竖直平面内做圆周运动.当小球运动到最高点时,下列陈述正确的是 （ C ）
(A) 小球将受到重力、绳的拉力和向心力的作用;
(B) 小球将受到重力、绳的拉力和离心力的作用;
(C) 绳子的拉力可能为零;
(D) 小球可能处于受力平衡状态.
1－13 如图所示,质量相同的物块和用轻弹簧连接后,再用细绳悬挂着.在系统平衡后,突然将细绳剪断,则剪断后的瞬间 （ D ）
(A) 、的加速度均为;
(B) 、的加速度均为零;
(C) 的加速度为零, 的加速度为;
(D) 的加速度为,的加速度为零.
1－14 物体从竖直放置的圆周顶端点,分别沿不同长度的弦和由静止下滑,如图所示.不计摩擦阻力,下滑到底的时间分别为和,则 （ A ）
(A) ; (B) ;
(C) ; (D) 条件不足,不能判定.
计算题
1－15 某人自点出发,先向东走,后向南走,再向西北走.求合位移的大小和方向.
解 取坐标如图,轴向东,轴向北. ,,,合位移.
合位移在和轴上的分量分别为
合位移的大小为
合位移与轴的夹角的正切为
在第一象限,大小为
1－16 已知质点的运动方程为
式中长度以计,时间以计.求:
(1) 质点在任意时刻的速度和加速度;
(2) 质点在第秒末的速度和加速度;
(3) 质点在第秒内的平均速度.
解 (1) 质点在任意时刻的速度和加速度分别为
(2) 质点在第秒末的速度和加速度分别为
(3) 质点在和时的位置分别为
质点在第秒内的平均速度为
1－17 一质点沿轴做直线运动,运动方程为
式中以计,以计.求:
(1) 质点在第秒末的位置;
(2) 质点在第秒内的平均速度;
(3) 质点在第秒末的加速度,并判断运动的性质.
解 (1) 质点在第秒末的位置为
(2) 质点在时的位置为
质点在第秒内的平均速度为
(3) 质点的加速度为
质点作匀变速直线运动,在第末的加速度为
1－18 已知质点做圆周运动的运动方程为
式中和均为正值常量.
(1) 证明速度的大小不变,但方向不断改变;
(2) 证明加速度的大小为,方向指向圆心.
证 (1) 质点的速度在和轴上的分量分别为
速度的大小为大小为
速度与轴的夹角的正切为
由此可见,速度的大小不变,为,但方向随时间不断改变.
(2) 质点的加速度在和轴上的分量分别为
加速度的大小为
由此可见,质点的加速度大小不变,为.
加速度的矢量式为
由此可见,加速度和矢径的方向相反,指向圆心.
1－19 一质点在平面上运动,运动方程为
式中以计,和以计.求：
(1) 质点在任意时刻的速度和加速度;
(2) 质点在时的速度和加速度.
解 (1) 在任意时刻,质点的速度在和轴上的分量分别为
质点的速度为
质点的加速度为
(2) 在时,质点的速度和加速度分别为
1－20 一质点沿轴做直线运动,其速度与时间的关系如图所示.设时,.试根据已知的图画出图和图.
解 质点的加速度与时间的关系曲线图,以及位置与时间的关系曲线图如下:
1－21 一质点做圆周运动,半径为,其角坐标为
式中以计,以计.求时,质点的速率、法向加速度和切向加速度.
解 质点的角速度和角加速度分别为
质点的速率、法向加速度和切向加速度分别为
时,质点的速率、法向加速度和切向加速度分别为
1－22 一质点做圆周运动,半径为,其角坐标为
式中以计,以计.求：
(1) 质点的角速度和角加速度;
(2) 时质点的线速度、切向加速度和法向加速度.
解 (1) 质点的角速度和角加速度分别为
(2) 时,质点的角速度和角加速度分别为
质点的线速度、切向加速度和法向加速度分别为
1－23 汽车在水平面内沿半径的圆弧弯道行驶.设在某一时刻,汽车的速度大小为,切向加速度的大小为,其方向与速度方向相反.求汽车加速度的大小.
解 在该时刻,汽车的法向加速度为
汽车加速度的大小为
1－24 如图所示,在倾角的斜面上,放着两个相互接触的物体,它们的质量分别为和.今沿斜面方向向上施力作用在物体上,若物体与斜面之间的摩擦力忽略不计,求两物体的加速度及相互间的作用力.
解 两个物体示力图和坐标选取如图所示.轴沿斜面向上,轴垂直于斜面.图中为正压力,为重力.两物体之间的相互作用力和是一对作用与反作用力,大小相等.
对物体,根据牛顿第二定律,在方向有
对物体,根据牛顿第二定律,在方向有
联立解此二方程,可得两物体的加速度及相互间的作用力大小分别为
1－25 一根均匀的小棍放在水平桌子上,棍子的质量为、长为,与桌面之间的摩擦因数为.现沿棍的长度方向用一恒力推棍的端,使其产生加速运动.设想把棍分成和两段,求:
(1) 当时, 段作用在上的力的大小;
(2) 当时, 段作用在上的力的大小.
解 对小棍,根据牛顿第二定律,在水平方向,有
由此可得,的加速度为
设与的长度之比为,则段的质量为.截面两侧的棍子之间的相互作用力大小相等.设这个力的大小为,则对于段,根据牛顿第二定律, 在水平方向,有
将代入上式,可得
(1) 当时,,段作用在上的力的大小为.
(2) 当时,,段作用在上的力的大小为.
1－26 一根柔软的链条,长为.将此链条跨过一无摩擦的定滑轮,在一边的长度为时,将链条由静止释放,证明链条的加速度为.
证 设链条单位长的质量为,忽略滑轮的大小.设滑轮两侧链条截面上的张力分别为和,则对滑轮两侧的链条,根据由牛顿第二定律,在竖直方向上分别有
由于忽略滑轮的大小,和的大小相等.联立解此二方程,可得链条的加速度大小为
1－27 如图所示,小车上放一质量为的物块,小车沿着与水平面夹角为的斜面下滑,小车与斜面之间的摩擦力可以忽略.由于摩擦和之间没有相对滑动.求物体和小车之间的相互作用力.
解 物块和小车作为一个整体的示力图、物块的示力图以及坐标选取如图所示. 轴沿斜面向下,轴与斜面垂直.图中为正压力,为摩擦力,为重力.
将的运动简化为沿斜面下滑,则可认为和一起平动,在运动过程中二者的相对位置不变化,因此可将和的组合看成质点.设和的质量和为,则根据牛顿第二定律,在方向有
由此可得,和一起运动的加速度大小为
物块的加速度与此相同,大小为,方向沿轴.对物块,根据牛顿第二定律,在水平方向有
在竖直方向有
将代入上两式,可得作用在上的摩擦力和正压力分别为
作用在上的合力大小为
该合力与水平面夹角的余弦为
因此,与之和为,由此可见,作用在上的合力垂直于斜面,指向.
作用在的力,是的反作用力,大小亦为,也垂直于斜面,但指向.
1－28 如图所示,两根长为的轻绳连住一个质量为的小球,绳的另一端分别固定在相距为的棒的两点上.今使小球在水平面内绕棒作匀速圆周运动,求:
(1) 当小球的角速度为多大时,下面的绳子刚刚伸直;
(2) 在此情形下,上面绳子内的张力.
解 在下面的绳子没有伸直前,上面的绳子与棒之间的夹角为时,小球在轨道上的一点处的示力图如图所示.图中为重力,为张力;表示法线方向.设此时小球的转动角速度为,则对于小球,根据牛顿第二定律,在法线方向有
式中
在竖直方向有
联立解上述方程,可得小球的角速度和上面绳内的张力分别为
(1) 下面的绳子刚刚伸直时,,此时小球的角速度为
(2) 此时上面绳子内的张力为
1－29 如图所示,一质量为的木块,沿一半径为的环的内侧,在一无摩擦的水平面上滑动.木块与环壁之间的摩擦因数为,当木块的速率为时,求:
(1) 作用在木块上的摩擦力;
(2) 木块的切向加速度.
解 (1) 木块做圆周运动所需的法向力由木块与环壁之间的正压力提供.根据牛顿第二定律,其大小为
木块与环壁之间的摩擦力大小为
(2) 此摩擦力为木块沿环壁运动的切向力,即.将此代入,可得木块的切向加速度为
式中的负号表明,切向加速度与速度方向相反.
1－30 如图所示,质量为的小球,系于长为的轻绳一端,绳的另一端固定于点.小球可绕点在竖直面内做圆周运动,当小球运动到绳与垂线的夹角为时,它的速率为.求:
(1) 在这个位置处,小球的切向加速度和法向加速度;
(2) 此时绳中的张力.
解 绳与垂线的夹角为时,小球运动到点.此时小球的示力图如图所示.图中为重力,为张力.和分别表示切线方向和法线方向.
(1) 对小球,根据牛顿第二定律,在点处的切线方向有
由此可得,小球的切向加速度为
此时小球的法向加速度为
(2).对小球,根据牛顿第二定律,在点处的法线方向有
由此可得,此时绳中的张力为
第二章 能量守恒 动量守恒
选择题
2－1 有一劲度系数为的弹簧(质量忽略不计),垂直放置,下端悬挂一质量为的小球.现使弹簧为原长,而小球恰好与地面接触.今将弹簧上端缓慢地提起,直到小球刚脱离地面为止,在上提过程中外力做的功为 （ A ）
(A) ; (B) ;
(C) ; (D) .
2－2 一弹簧长,劲度系数为,上端挂在天花板上,当下端吊一小盘后,长度变为.然后在盘中放一物体,使弹簧长度变为.放物后,在弹簧伸长的过程中,弹性力所做的功为 （ C ）
(A) ; (B) ;
(C) ; (D) .
2－3 如图所示,一单摆在点和点之间往复运动,就点、点和点三位置比较,重力做功的功率最大位置为 （ B ）
(A) 点; (B) 点;
(C) 点; (D) 三点都一样.
2－4 今有质量分别为、和的三个质点,彼此相距分别为、和.则它之间的引力势能总和为 （ A ）
(A) ; (B) ;
(C) ; (D) .
2－5 有下列几种情况:
(1) 物体自由落下,由物体和地球组成的系统;
(2) 使物体均匀上升,由物体和地球组成的系统;
(3) 子弹射入放在光滑水平面上的木块,由子弹和木块组成的系统;
(4) 物体沿光滑斜坡向上滑动,由物体和地球组成的系统.
机械能守恒的有 （ C ）
(A) (1)、(3); (B) (2)、(4);
(C) (1)、(4); (D) (1)、(2).
2－6 质量分别为和的两个质点,沿一直线相向运动.它们的动能分别为和,它们的总动量的大小为 （ B ）
(A) ; (B) ;
(C) ; (D) .
2－7 质量为的小球,以水平速度与竖直的墙壁作完全弹性碰撞.以小球的初速度的方向为轴的正方向,则此过程中小球动量的增量为 （ D ）
(A) ; (B) ;
(C) ; (D) .
2－8 如图所示,质量为的弹性小球,自某高度水平抛出,落地时与地面发生完全弹性碰撞.已知在抛出后又跳回原高度,而且速度的大小和方向和刚抛出时相同.在小球与地面碰撞的过程中,地面给它的冲量的大小和方向为 （ A ）
(A) ,垂直地面向上;
(B) ,垂直地面向上;
(C) ,垂直地面向上;
(D) ,与水平面成角.
2－9 一炮弹由于特殊原因,在弹道最高点处突然炸成两块,如果其中一块做自由落体下落,则另一块的着地点 （ A ）
(A) 比原来更远; (B) 比原来更近;
(C) 仍和原来一样; (D) 条件不足,不能判定.
2－10 在下列陈述中,正确的是 （ A ）
(A) 物体的动量不变,动能也不变;
(B) 物体的动能不变,动量也不变;
(C) 物体的动量变化,动能也一定变化;
(D) 物体的动能变化,动量却不一定也变化.
2－11 如图所示,一光滑圆弧形槽放置于光滑的水平面上,一滑块自槽的顶部由静止释放后沿槽滑下,不计空气阻力,对这一过程,下列陈述正确的为 （ C ）
(A) 由和组成的系统动量守恒;
(B) 由和组成的系统机械能守恒;
(C) 由、和地球组成的系统机械能守恒;
(D) 对的正压力恒不作功.
2－12 如图所示,质量为的子弹,以的速率沿图示方向射入一原来静止的、质量为的摆中.摆线不可伸缩,质量忽略不计.子弹射入后,摆的速度为 （ A ）
(A) ; (B) ;
(C) ; (D) .
计算题
2－13 用力推物体,使物体沿轴正方向前进,力在轴上的分量为
式中的单位为,的单位为.求当物体由移到时,力所做的功.
解 在物体由移到的过程中,力所做的功为
2－14 一个不遵守胡克定律的弹簧,它的弹性力与形变的关系为
式中,,,求弹簧变形由到时,弹性力所做的功.
解 在弹簧变形由到的过程中,弹性力所做的功为
将和代入上式,可得
2－15 如果子弹穿入墙壁时,所受的阻力与穿入的深度成正比,证明当子弹的初速度增大为原来的倍时,子弹进入墙壁的深度也增大倍.
证 在穿进墙壁后,子弹所受的阻力,式中为常数.设子弹进入墙壁的最大深度为,则在子弹穿入过程中,阻力对子弹所做的功为
子弹在最大深度时的速度为零.设子弹的初速度,根据动能定理,有
由此可得
上式中的和子弹质量均为常数,因此子弹的初速度和子弹进入墙壁的最大深度成正比.若子弹的初速度增大为原来的倍,则子弹进入墙壁的最大深度也增大为原来的倍.
2－16 如图所示,一质量为的小球,从高度处落下,使弹簧受到压缩.假定弹簧的质量与小球相比可以略去不计,弹簧的劲度系数.求弹簧被压缩的最大距离.
解 小球从开始下落,到弹簧达到最大压缩量为止,下落距离为.这期间, 对于由小球、弹簧和地球组成的系统,只有保守力做功,因此系统的机械能守恒.以弹簧未被压缩时的上端为势能零点,有
即
将,代入上式,可解得
因为弹簧压缩的最大距离为正数,所以的根是增根.弹簧被压缩的最大距离为
2－17 测定矿车的阻力因数(即阻力与矿车对轨道正压力的比值)的设施如图所示.测定时使矿车自高度处从静止开始下滑,滑过一段水平距离后停下.已知坡底的长度为,证明.
证 设矿车质量为,则矿车沿坡道下滑时所受的正压力为,在平面上前进时所受的正压力为.式中为斜面与水平面的夹角.矿车所受的外力有重力、摩擦力和正压力.根据动能定理,外力对矿车所做的功等于其动能的增量,而在始末二状态,矿车的动能均为零,于是有
由此可得
2－18 一颗子弹由枪口射出时速率为,当子弹在枪筒内被加速时,它所受的合外力为
式中、为常量.
(1) 设子弹走到枪口处,所受的合力刚好为零,求子弹走完枪筒全长所需的时间;
(2) 求子弹所受的冲量;
(3) 求子弹的质量.
解 (1) 设子弹在时刻受力为零,即
由此可得
此即子弹走完枪筒全长所需的时间.
(2) 在时间内,子弹所受的冲量为
(3) 根据动量原理,,且子弹的初速度为零,有
由此可得,子弹的质量为
2－19 一质量为的质点,在平面上运动,其位置矢量为
求从到时间内,质点所受的合外力的冲量.
解 质点的速度为
时, 质点的速度为
时, 质点的速度为
根据动量定理,在到时间内,质点所受的合外力的冲量为
2－20 有一横截面积为的直角弯管,水平放置,如图所示.管中流过流速为的水.求弯管所受力的大小和方向.
解 如图所示,在时间内,弯管中圆弧长的水体运动到,其动量的增量等于质量均为为的和的水体的动量之差.设弯管对水体的作用力为,根据动量定理,有
由此可得
水对弯管的作用力是的反作用力,为
的大小为
与夹角为
即与水平成,斜向下.
2－21 水力采煤是利用水枪在高压下喷出来的强力水柱,冲击煤层而使煤层破裂.设所用水枪的直径为,水速为,水柱与煤层表面垂直,如图所示.水柱在冲击煤层后,沿煤层表面对称地向四周散开.求水柱作用在煤层上的力.
解 设水在煤层表面均匀四散,则四散的水沿煤层表面的动量之和在任何时刻都为零.因此煤层对水柱的冲力沿煤层表面的分量为零.
在时间内,有质量为的水到达煤层表面并四散.式中为水速,为水柱截面积.煤层对水柱冲力在方向上,设为,则根据动量定理,有
,
由此可得
水柱对煤层的冲力是的反作用力,沿轴的正向,即垂直指向煤层,大小为
2－22 在铁轨上,有一质量为的车辆,其速度为,它和前面的一辆质量为的静止车辆挂接.挂接后,它们以同一速度前进.求:
(1) 挂接后的速率;
(2) 质量为的车辆受到的冲量.
解 取的车辆的前进方向为正方向.
(1) 设两辆车一起前进的速度为,则根据动量守恒定律,有
式中是质量为的车辆的初速度,质量为的车辆的初速度.由此可得,两辆车挂接后一起前进的速度为
(2) 根据动量定理,质量为的车辆受到的冲量为
2－23 一个质量为的人,以速率跳上一辆以的速率运动的小车.小车的质量为.
(1) 如果人从小车后面跳上去,求人和小车的共同速度
(2) 如果人从小车前面跳上去,求人和小车的共同速度.
解 取小车原来的前进方向为正方向.设人和小车的共同速度为,则根据动量守恒定律,有
式中和是人的质量和速度,和是小车的质量和速度.由上式可得
(1) 如果人从小车后面跳上去,则人的速度,人和小车的共同运动的速度为
(2) 如果人从小车前面跳上去,则人的速度,人和小车的共同运动的速度为
2－24 一炮弹竖直向上发射,初速度为.在发射后经过时间,在空中自动爆炸.假定炮弹爆炸后分成质量相等的、、三块碎片.其中块的速度为零, 、两块的速度大小相同,且块的方向与水平成角.求、两块碎片的速度大小和块的方向.
解 炮弹爆炸过程中动量守恒.临爆炸前,炮弹的速度在竖直方向.设炮弹的质量为,爆炸后瞬时、两块的速度分别为和,有
爆炸前,炮弹可能竖直向上运动,也可能是指向下运动.图(a)是速度竖直向上的情况,大小为;图(b)是速度是竖直向下的情况,大小为.如图所示,取轴沿水平方向,轴沿竖直方向.在图(a)中,轴竖直向上,;在图(b)中,轴竖直向下.将上式在各自的坐标系中分解,均有
将代入,即可求得、两块碎片的速度大小为
块的运动方向与水平面的夹角的余弦为
因此
由此可见,块的运动与块的运动对称,对称面为过轴且垂直于轴的竖直平面.
2－25 如图所示,有一空气锤,质量为,由高度处受工作气缸中压缩空气的压力及重力的作用而落下,摩擦阻力可以忽略.已知工作气缸内压缩空气对锤头的平均压力,锤头与工件的碰撞时间为,求锤头锻打工件时的平均冲力.
解 设锤头到达工件,与工件接触时的速度为,则对锤头,根据动能定理,有
由此可得
设锻打过程中,锤头受到的竖直向上的平均冲力的大小为,以竖直向下为正方向,则对锤头,根据动量定理,有
由此可得
工件所受的打击力是的反作用力,大小亦为,方向竖直向下.
2－26 两个形状相同质量均为弧形光滑导轨和,放在光滑地板上,且在同一竖直平面内,和的下端均和地板相切,如图所示.今有一质量为的小物体,由静止从高度为的的顶端下滑,求在导轨上上升的最大高度.
解 在小物体下滑的过程中,小物体、导轨和地球组成的系统机械能守恒.设小物体下滑至地面时,物体沿水平向右运动的速度大小为,导轨沿水平向左运动的速度大小为,以地面为势能零点,有
在此过程中,小物体和导轨组成的系统在水平方向动量守恒:
联立解此二方程,可得
在小物体沿导轨上升的过程中,小物体、导轨和地球组成的系统机械能守恒.设小物体沿导轨上升到最大高度时,二者一起向右运动的速度为,以地面为势能零点,有
在此过程中,小物体和导轨组成的系统在水平方向动量守恒:
联立解此二方程,可得
将代入上式,可得小物体上升的最大高度为
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