第1章 数制和码制.doc

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微机组成：CPU、MEM、I/O

微机的基本结构

微机原理(一)：
第一章 数制和码制
§1.1 数制 (解决如何表示数值的问题)
一、数制表示
1、十进制数
表达式为：A ＝
如：（34.6）10 ＝ 3×101 + 4×100 + 6×10-1

2、X进制数
表达式为：B ＝
如：（11.01）2 ＝ 1×21 + 1×20 + 0×2-1+ 1×2-2
（34.65）16 ＝ 3×161 + 4×160 + 6×16-1+ 5×16-2

X进制要点：X为基数，逢X进1，Xi为权重。（X个数字符号：0，1，…，X-1）
区分符号：D-decimal (0-9)，通常D可略去，
B-binary (0-1)， Q-octal (0-7)， H-hexadecimal (0-9, A-F)

常用数字对应关系：
D: 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10， 11，12， 13，14，15
B：0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
H: 0， 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， A， B， C， D， E， F

二、数制转换
1、X → 十
方法：按权展开，逐项累加。
如： 34.6 Q ＝ 3×81 + 4×80 + 6×8-1 = 24 + 4 + 0.75 = 28.75 D

2、十 → X
即：A十进制 ＝ B X进制
令整数相等，即得：A整数 ＝（BN-1·XN-1 + … + B1·X1 ）+ B0·X0
此式一次除以X可得余数B0，再次除以X可得B1，…，如此直至得到BN-1

令小数相等，即得：A小数 ＝ B-1·X-1 +（ B-2·X-2 + … + B-M·X-M ）
此式一次乘X可得整数B-1，再次乘X可得B-2，…，如此直至得到B-M.

归纳即得转换方法：除X取余，乘X取整。 (适用于任意进制转换)

如：十 → 二： 25.375 D ＝ 11001.011 B
2 | 2 5 · 2 x 0.375 ·
1 2 1 x 0.750 0
6 0 x 1.50 1
3 0 x 1.00 1
1 1 0
0 1

十 → 八：346.152 D ＝ 532.1157 Q (“四舍五入”改为“到半进一”)
8 | 3 4 6 · 8 x 0.152 ·
4 3 2 x 1.216 1
5 3 x 1.728 1
0 5 x 5.824 5
x 6.592 6
x 4.736 4
……
3、二 十六 ，二 八 （简捷方法）
方法：四合一，一分四；三合一，一分三。 自小数点开始：←·→
如：
二 → 十六：1011011.011001 B ＝ 0101 1011.0110 0100B ＝ 5B.64 H
十六 → 二：3A.5D H ＝ 0011 1010.0101 1101 B

二 → 八： 1011011.011001 B ＝ 001 011 011.011 001 B ＝ 133.31 Q
八 → 二：46.15 Q ＝ 100 110.001 101 B

三、数的运算
1、算术运算
加减乘除
如： 00110110 10011011 11 0011
+ 01000111 - 01010110 ×10 011/ 1010
01111101 01000101 00 011
+ 11 100
110 011
10
2、逻辑运算
与或异非
如： 01110110 10010011 10000011
AND 01000111 OR 01010010 XOR 01010010 NOT 10010011
01000110 11010011 11010001 01101100
算法： 有0得0 有1得1 相同得0 每位取反
常用于：按位清0 按位置1 整体清0 整体取反

四、BCD和ASCII
1、BCD：二进制编码的十进制数
即：十进制数的每一位用4位二进制数表示。
优点：比二进制更直观，机器可识别。
缺点：运算麻烦，需调整。

如： 36.9 ＝ (0011 0110.1001)BCD
(0011 1001)BCD ＝ 39 , 注意：前者 ≠ 00111001B ＝ 57

分为：组合BCD （每字节放两位），如：35 ＝（0011 0101）BCD
分离BCD（每字节放一位），如：47 ＝（xxxx 0100 xxxx 0111）BCD

用BCD码运算时，结果要进行调整（否则，结果可能有误）：
加法调整：加6调整 （Di有进位吗？Di>9吗?）
如： 0001 1001 19 0011 0110 36 BCD码
+ 0100 1000 48 + 0100 0111 47 BCD码
0110 0001 61 (有进位) 0111 1101 7D ( ＞9 ) 非BCD码
+ 0000 0110 06 + 0000 0110 06 调整
0110 0111 67 1000 0011 83 变回BCD码

减法调整：减6调整 （Di有借位吗？）
如： 0110 0101 65 BCD码
- 0011 0111 37 BCD码
0010 1110 2E (有借位) 非BCD码
- 0000 0110 06 调整
0010 1000 28 变回BCD码

2、ASCII：字符代码
（即用7位二进制数表示常用的字符，共27=128个。第8位通常用作校验位。）
如： ′R′＝ 52H ＝ 1010010B
′0～9′＝ 30H～39H, ′A～Z′＝ 41H～5AH，′+′＝ 2BH

若加校验位（ASCII共8位），则：
偶校验：补一校验位，使1的总个数为偶数。
如：加偶校验后，R的ASCII = 11010010B
奇校验：补一校验位，使1的总个数为奇数。
如：加奇校验后，R的ASCII = 01010010B

§1.2 码制 （解决如何表示有符号数的问题)

机器数：将符号数字化，并与数值结合在一起，形成的（适于机器识读的）有符号数。
真 值：机器数的实际数值（即符号没经数字化的有符号数）。

一、原码和补码
1、原码 (积)
定义：设 |X| ＝ Xn-2…X1 X0, 则
[X]原 ＝ 0 Xn-2…X1 X0， 当X≥0
[X]原 ＝ 1 Xn-2…X1 X0， 当X≤0

如：X1 ＝ +1001010 则[X1]原 ＝ 01001010
X2 ＝ -1001010 则[X2]原 ＝ 11001010

原码真值范围：[1 1…1，0 1…1] ， 即：[最小，最大]
8位原码的真值范围：[1 1111111，0 1111111]，即：-127 ～ +127

2、补码 (和)

同余概念：a ＋NK ＝ a (mod K)
（同余数相差模，同模内则唯一。类似于：生日）

补码定义： (n位补码，mod 2n)
[X]补 ＝ X， 当0≤X＜2n-1
[X]补 ＝ 2 n+X， 当-2n-1≤X＜0 （编码）

补码实质，即：
[X]补＝0-|X|＝ * *…* ＝ D- + D+ ，(X＜0) （即代数和）

可见：正数的补码同原码，负数才有求补问题。
以2n为模，称2补码。
n位补码的真值范围：[1 0…0，0 1…1] ，即：[-2n-1，+2n-1-1]
8位补码的真值范围：[1 0000000，0 1111111]，即：-128 ～ +127

补码求法：
①、按定义求：
[X]补 ＝ 2 n + X， X＜0
如：X ＝ -1001010B，n=8, 则
[X1]补＝ 2 8 + (-01001010B)
＝ 100000000B - 1001010B ＝ 10110110B　 （减法不方便）
或：[X1]补＝ 0-|X|＝00000000B-01001010B＝10110110B （结果相同）

②、由原码求：
[X]补 ＝ [X]原 符号位不变，其余取反加1

*推导：设 X ＝－Xn-2…X1 X0, (X＜0), 则
[X]原 ＝ 2n-1 + Xn-2…X1 X0，
[X]补 ＝ 2 n + X ＝ 2n-1 + 2n-1 + X
＝ 2n-1 + (1…1 + 1) + X ＝ 2n-1 + (1…1-|X|) + 1
＝ 2n-1 + + 1
＝ [X]原符号不变、其余取反+1

如： X ＝ -1001010B，n＝8, 则
[X]原 ＝ 11001010B
[X]补 ＝ 10110101B+1 ＝ 10110110B 　 （原码→补码，更容易求）

补码→原码：
[[X]补]补 ＝ [X]原
如：[X]补 ＝ 10110110B, 则
[X]原 ＝ [[X]补]补 ＝ 11001001B+1 ＝ 11001010B

补码→真值：
① 由补码变到原码，再得出真值
（正数：原码＝补码；负数：原码=补码的符号位不变、其余取反+1）
如：[X1]补 ＝ 00110110B, 则，
[X1]补真值＝ +0110110B ＝ +54
[X2]补 ＝ 10110100B, 则
[X2]原 ＝ [[X2]补]补 ＝ 11001011B+1 ＝ 11001100B
[X2]补真值 ＝ -1001100B ＝ -76
② 直接按正负代数和计算，得出真值
如：[X2]补 ＝ 10110100B, 则
[X2]补真值 ＝ -2 7 + 0110100B ＝ -128+52 ＝ -76

求负运算：
设 [Y]补 ＝ Yn-1…Y1 Y0, 则
[-Y]补＝ + 1 ( 即：求负＝取反＋1, 易证：0－X＝X反＋1)

补码运算：
[X+Y]补 ＝ [X]补 ＋[Y]补 , (mod 2n) ； (前后同余，不溢则同模)
[X-Y]补 ＝ [X]补 －[Y]补 ＝ [X]补＋[-Y]补

如：00100100B+11110001B＝00010101B
即:[36]补+[-15]补＝ [21]补

溢出判别：( 溢出即超出了补码的真值范围：[-2n-1，+2n-1－1] )

*推导如下：（易知：正+负√ 负+正√ 正+正？ 负+负？)

00110000 [ +48]补 10100000 [ -96]补
+ 10000000 [-128]补 + 01110000 [+112]补
10110000 [ -80]补√（进位00） 00010000 [ +16]补√（进位11）

01000000 [ +64]补 10010000 [-112]补
+ 01010000 [ +80]补 + 10100000 [ -96]补
10010000 [-112]补×（进位01） 00110000 [ +48]补×（进位10）

二、定点数和浮点数 （解决如何使数值范围足够大的问题)

1、定点数：小数点位置固定（隐含）。 （特点：格式简单、真值范围小）
① 约定小数点在最高数值位之前，则为纯小数。
格式：1位符号位·n位数值位 （原码）
真值范围：[－(1－2-n)，＋(1－2-n)]，即：[－0.1…1，＋0.1…1 ]
绝对值：最大值为1－2-n，最小值为2-n
如：纯小数定点数01001101B，真值为＋0.1001101B
纯小数定点数10010010B，真值为－0.0010010B

② 约定小数点在最低数值位之后，则为纯整数。
格式：1位符号位，n位数值位· （原码）
真值范围：[－(2n－1)，＋(2n－1]，即：[－01…1，＋01…1 ]
绝对值：最大值为2n－1，最小值为1
如：纯整数定点数01001111B，真值为＋01001111B
纯整数定点数11010000B，真值为－01010000B

上溢：计算结果的绝对值大于定点数最大绝对值。
下溢：计算结果的绝对值小于定点数最小绝对值。

实际数并非都是纯整数或纯小数，因此运算时需选择“比例因子”，以化成纯整数或纯小数，并要防止结果“上溢”或“下溢”。

2、浮点数：由阶码和尾数表示（小数点浮动）。（特点：格式复杂、真值范围大）

其中，阶码是纯整数，尾数是纯小数。E和F可用原码或补码。真值小数点的实际位置由阶符和阶码决定，因此是浮动的。

对应真值：N = F×2 E = ±d×2 ±P
真值范围：[-(1-2-n)· ，+(1-2-n)·] （范围远大于定点数）
绝对值：最大值为(1-2-n)·，最小值为2-n·

规格化浮点数：尾数(绝对值)首位为1的浮点数。(这样有效位数最多)
比较：0.1110011B×24 和0.0001110B×27 ，显然前者有效位数多。

例：设X = -13.5625，请用规格化浮点数表示（假定E用8位原码，F用16位补码）。
解：X = -13.5625 = -1101.1001B = (-0.11011001B)×2 +4
E = +4 = 00000100B （8位原码，纯整数）
F = -0.11011001B = -0.110 1100 1000 0000 B （扩至16位）
= 10010011 10000000 B （16位补码，纯小数）
故X的规格化浮点数为：00000100 10010011 10000000B

*另外，若F用补码，则有如下形式：
正数：＋0.1* … *， F＝01* … * ； ( ＋0.5≤X＜＋1 )
负数：－0.1* … *， F＝10x … x ； (－1＜X＜－0.5 )
如：（＋0.1010011B）补码 ＝ 01010011B
（－0.1010011B）补码 ＝ 10101101B
显然，首位可省去，符号仍明确，但尾数可多一位（精度更高）。

浮点数在加减之前，先要对阶（即对齐小数点）。
对阶规则：阶码小的尾数右移（每右移1位，阶码加1），直至两数阶码相等为止。

* 计算机中的数串可代表：有符号数、无符号数、BCD、ASCII、原码、补码、定点数、浮点数、指令代码等。究竟是何含义，由编程者约定。

看作无符号数，加法时可能有进位，减法时可能有借位。进位或借位是结果的一部分。
看作有符号数，进位或借位不是结果，但可用于判断结果是否溢出。
不管是无符号数运算还是有符号数运算，计算机都会把进位或借位情况保存在CF，溢出标志保存在OF，供编程者使用。

本章小结
◆ 十、二、十六进制数的表示方法和相互转换
◆ 二进制数的算术运算和逻辑运算规则
◆ BCD码的表示和运算规则，ASCII的表示及校验设置
◆ 有符号数的原码、补码表示法，补码运算规则及溢出判别
◆ 定点数、浮点数的表示及含义

习题一
1、十进制 → 二进制：73.8125 =
2、十进制 → 十六进制：299.34375 =
3、二进制 → 十进制：10010010.001B =
4、十六进制→ 十进制：8F.7H =
5、已知：a = 1011B, b = 11001B, c = 100110B, 用二进制完成下列算术运算，并用十进制运算检查结果：
(1) a+b； (2) c-a-b； (3) a×b； (4) c/a 。
6、已知：a = 00111000B, b = 11000111B, 试求以下逻辑运算结果：
(1) a AND b ； (2) a OR b ； (3) a XOR b ； (4) NOT a 。
7、写出下列各数的8位原码和补码：
(1) +1010101B； (2) -1010101B； (3) +1111111B； (4) -1111111B；
(5) +1000000B； (6) -1000000B； (7) +34 ； (8) -69 。
8、对下列8位补码分别进行a+b和a-b运算，并判断结果是否溢出：
(1) a = 37H, b = 57H； (2) a =0B7H, b =0D7H ；
(3) a =0F7H, b =0D7H； (4) a = 37H, b =0C7H 。
9、将下列十进制数用BCD表示，并用加6修正法求运算结果：
(1) 38+42； (2) 56+77； (3) 99+88； (4) 34+69 。
10、将下列字符串用ASCII表示(以十六进制形式)：
(1) SAM JONES； (2) -75.61 。
11、用规格化浮点数表示（设阶为4位原码，尾为8位补码）：-3.125 =

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