反证法之几何证明专题.doc

反证法之几何证明专题

例1．已知：AB、CD是⊙O内非直径的两弦（如图1），求证AB与CD不能互

　　　　相平分。　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　（1）

　　　　证明：假设AB与CD互相平分于点M、则由已知条件AB、CD均非⊙O直径，

　　　　　　　可判定M不是圆心O，连结OA、OB、OM。

　　　　　　　∵OA＝OB，M是AB中点

　　　　　　　∴OM⊥AB　（等腰三角形底边上的中线垂直于底边）

　　　　　　　同理可得：

　　　　　　　OM⊥CD，从而过点M有两条直线AB、CD都垂直于OM

　　　　　　　这与已知的定理相矛盾。

　　　　　　　故AB与CD不能互相平分。

　　　　例2．已知：在四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，

　　　　且MN＝（AD＋BC）。　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　求证：AD∥BC

　　　　　　　　　　　　　　　　　　（2）

　　　　证明：假设ADBC，连结ABD，并设P是BD的中点，再连结MP、PN。

　　　　　　　在△ABD中

　　　　　　　∵BM＝MA，BP＝PD

　　　　　　　∴MPAD，同理可证PNBC

　　　　　　　从而MP＋PN＝（AD＋BC）　①

　　　　　　　这时，BD的中点不在MN上

　　　　　　　若不然，则由MN∥AD，MN∥BC，得AD∥BC与假设ADBC矛盾，

　　　　　　　于是M、P、N三点不共线。

　　　　　　　从而MP＋PN＞MN　②

　　　　　　　由①、②得（AD＋BC）＞MN，这与已知条件MN＝（AD＋BC）

　　　　　　　相矛盾，

　　　　　　　故假设ADBC不成立，所以AD∥BC。
练习
1． 求证：三角形中至少有一个角不大于60°。
2．求证：一直线的垂线与斜线必相交。

3. 已知：设m，n分别为直线l的垂线和斜线（如图），垂足为A，斜足为B
求证：m和n必相交。

　　　　3．在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于H，求证：AD与

　　　　　 BE不能被点H互相平分。

　　　　4．求证：直线与圆最多只有两个交点。

　　　　5．求证：等腰三角形的底角必为锐角。

　　　　　 已知：△ABC中，AB＝AC

　　　　　 求证：∠B、∠C必为锐角。

参考答案：

　　　　1．证明：假设△ABC中的∠A、∠B、∠C都大于60°

　　　　　　　　 则∠A＋∠B＋∠C＞3×60°＝180°

　　　　　　　　 这与三角形内角和定义矛盾，所以假设不能成立。

　　　　　　　　 故三角形中至少有一个角不大于60°。

　　　　2．证明：假设m和n不相交则

　　　　　　　　 m∥n

　　　　　　　　 ∵m⊥l ∴n⊥l

　　　　　　　　 这与n是l的斜线相矛盾，所以假设不能成立。

　　　　　　　　 故m和n必相交。

　　　　3．证明：假设AD、BE被交点H互相平分，则ABDE是平行四边形。

　　　　　　　　 ∴AE∥BD，即AC∥BC

　　　　　　　　 这与AC、BC相交于C点矛盾，

　　　　　　　　 故假设AD、BE被交点H平分不能成立。

　　　　　　　　 所以AD与BE不能被点H互相平分。

　　　　4．证明：假设一直线l与⊙O有三个不同的交点A、B、C，

　　　　　　　　 M、N分别是弦AB、BC的中点。

　　　　　　　　 ∵OA＝OB＝OC

　　　　　　　　 ∴在等腰△OAB和△OBC中

　　　　　　　　 OM⊥AB，ON⊥BC

　　　　　　　　 从而过O点有两条直线都垂直于l，这是不可能的，故假设不能成立。

　　　　　　　　 因此直线与圆最多只有两个交点。

　　　　5．证明：假设∠B、∠C不是锐角，

　　　　　　　　 则可能有两种情况：

　　　　　　　　 (1)∠B＝∠C＝90°

　　　　　　　　 (2)∠B＝∠C＞90°

　　　　　　　　 若∠B＝∠C＝90°，则∠A＋∠B＋∠C＞180°，

　　　　　　　　 这与三角形内角和定理矛盾。

　　　　　　　　 若∠B＝∠C＞90°，则 ∠A＋∠B＋∠C＞180°，

　　　　　　　　 这与三角形内角和定理矛盾。

　　　　　　　　 所以假设不能成立。

　　　　　　　　 故∠B、∠C必为锐角。