1、反证法之几何证明专题
例1．已知：AB、CD是⊙O内非直径的两弦（如图1），求证AB与CD不能互
相平分。
（1）
证明：假设AB与CD互相平分于点M、则由已知条件AB、CD均非⊙O直径，
可判定M不是圆心O，连结OA、OB、OM。
∵OA＝OB，M是AB中点
∴OM⊥AB （等腰三角形底边上的中线垂直于底边）
同理可得：
OM⊥CD，从而过点M有两条直
2、线AB、CD都垂直于OM
这与已知的定理相矛盾。
故AB与CD不能互相平分。
例2．已知：在四边形ABCD中，M、N分别是AB、DC的中点，
且MN＝（AD＋BC）。
求证：AD∥BC
（2）
证明：假设ADBC，连结ABD，并设P是BD的中点，再连结MP、PN。
在△ABD中
∵BM＝MA，BP＝PD
∴MPAD，同理可证PNBC
3、
从而MP＋PN＝（AD＋BC） ①
这时，BD的中点不在MN上
若不然，则由MN∥AD，MN∥BC，得AD∥BC与假设ADBC矛盾，
于是M、P、N三点不共线。
从而MP＋PN＞MN ②
由①、②得（AD＋BC）＞MN，这与已知条件MN＝（AD＋BC）
相矛盾，
故假设ADBC不成立，所以AD∥BC。
练习
1． 求证：三角形中至少有一个角不大于60°。
2．求证：一直线的垂线与斜线必相交。
3. 已知：设m，n分别
4、为直线l的垂线和斜线（如图），垂足为A，斜足为B
求证：m和n必相交。
3．在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于H，求证：AD与
BE不能被点H互相平分。
4．求证：直线与圆最多只有两个交点。
5．求证：等腰三角形的底角必为锐角。
已知：△ABC中，AB＝AC
求证：∠B、∠C必为锐角。
参考答案：
1．证明：假设△ABC中的∠A、∠B、∠C都大于60
5、°
则∠A＋∠B＋∠C＞3×60°＝180°
这与三角形内角和定义矛盾，所以假设不能成立。
故三角形中至少有一个角不大于60°。
2．证明：假设m和n不相交则
m∥n
∵m⊥l ∴n⊥l
这与n是l的斜线相矛盾，所以假设不能成立。
故m和n必相交。
3．证明：假设AD、BE被交点H互相平分，则ABDE是平行四边形。
∴AE∥BD，即AC∥BC
这与AC、
6、BC相交于C点矛盾，
故假设AD、BE被交点H平分不能成立。
所以AD与BE不能被点H互相平分。
4．证明：假设一直线l与⊙O有三个不同的交点A、B、C，
M、N分别是弦AB、BC的中点。
∵OA＝OB＝OC
∴在等腰△OAB和△OBC中
OM⊥AB，ON⊥BC
从而过O点有两条直线都垂直于l，这是不可能的，故假设不能成立。
因此直线与圆最多只有两个交点。
5．证明：假设∠B、∠C不是锐角，
则可能有两种情况：
(1)∠B＝∠C＝90°
(2)∠B＝∠C＞90°
若∠B＝∠C＝90°，则∠A＋∠B＋∠C＞180°，
这与三角形内角和定理矛盾。
若∠B＝∠C＞90°，则 ∠A＋∠B＋∠C＞180°，
这与三角形内角和定理矛盾。
所以假设不能成立。
故∠B、∠C必为锐角。
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