数学游戏论文正文.doc

青岛大学本科生毕业论文（设计）
   引言
    数学本身是一个历史概念，是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。它是空间关系的浓缩，是时间关系的结合，是科学发展的桥梁，是人类解开愚昧、走向文明的使者。同时，数学又是神奇的、迷人的。正是它的神奇和迷人使人们在追求真理的同时得到了美的享受，得到了游戏的乐趣。而在我们现实生活中，有人认为数学家们在从事教学研究时不是戏趣的，而是严谨和认真地对科学的探索，没有游戏的行为；也有人认为，游戏对数学至多起激发兴趣和调节情绪的作用，没有什么大不了的。事实上，数学与游戏之间有非常密切的联系。无论从数学知识本身，还是数学活动过程，如从事数学活动的人们的动机、方法等都可以发现游戏因素。
    就数学知识本身来说，在传统数学领域和现代数学领域中都可以发现大量赏心悦目的具有游戏性质的内容和问题。在算术中，毕达哥拉斯学派对于完全数和亲和数等奇偶性的研究就具有数学游戏的性质。在代数中，三次方程早已出现在公元前1900－1600年巴比伦的泥板书中，当时根本没有实际问题导致三次方程的产生，显然古巴比伦人把这个问题当作消遣从而促使代数学的进一步发展。几何学中的游戏趣题更是举不胜数，如勾股定理所编制的大量趣题，古希腊人研究角的三等分、灯高的测量等。许多近代数学也带有游戏情调。例如，16世纪以来，在微积分中人们对大量奇形怪状曲线的研究明显带有娱乐性质。在近世代数中也存在大量带有娱乐色彩的趣题。
    历史上，数学游戏还激发了许多重要数学思想的产生。许多数学思想起源于人们对一些令人迷惑不解问题不断的探索，这些问题往往从表面上看来不过是供人消遣的游戏而已，甚至看来与数学的情境毫无关系，然而问题的解决却产生了令人意想不到的新的数学思想。概率论直接起源于一个关于赌徒的游戏。17世纪，法国一个法国名为德·梅勒的职业赌徒针对赌博中常常遇到“怎样合理分配赌注”的问题，向著名数学家帕斯卡请教，这个问题常常被称为“点子问题”，即两个赌徒中谁先积满一定数目的点谁就赢得第一局；如果在一局结束以前离开赌场，他们应该如何分配赌注·帕斯卡和费马在通信中各自解决了这个问题，对于这个问题的解决和研究标志着不同于以往确定性数学的一种崭新的概率论的诞生，它把纯粹偶然事件的表面上的无规律性置于规律、秩序和规则下，从而有在人类数学史上写下了光辉的一笔。图论也是一门起源于游戏的科学，它主要起源于欧拉关于哥尼斯堡七桥问题的研究。当时大多数人都把这个问题当作有趣的娱乐，后来欧拉证明这个问题没有解，并指出这个问题不适用于欧几里得几何。而相反地，这个问题属于位置几何（莱布尼茨首先使用的名称）。因此，哥尼斯堡七桥问题的解决远远超出了它娱乐的价值，由此提出的新思想则开辟了数学的一个新的领域――图论。
    游戏娱乐在数学的发展史上也起到了重要作用。很多著名的数学游戏成了数学发展的催化剂和导引。这些问题推动人们去思考、探索，同时也对数学知识的普及和传播有不可替代的作用，不断把数学推向前进。数学游戏在不断满足人们好奇心一求知欲的同时，极大促进了数学的法展；数学的发展，又造成了更多趣味问题和数学知识等方面的疑难，导致人们更是不断地在好奇心和游戏乐趣的驱使下去解决这些难题。总之，数学中包含游戏的本质，游戏中则有数学思想，两者是密不可分的。

第一章 数学游戏对教育教学的影响
    数学游戏对数学教学的作用近年来，我国对中学教学进行了改革，提倡以学生为主体的开放式教学。教师必须善于在课堂中激发起学生学习的兴趣，采取自由、灵活的教学方法。要是数学教学能更好的进行和发展，笔者认为关键是要激发学生学习的兴趣，是学生在数学的学习过程中体会“妙趣横生、其乐无穷”的精髓。而数学游戏明显带有自由、娱乐、奇妙、生动形象等特点，加上中小学生爱玩游戏的天性，数学游戏对数学教学的作用是很明显的，对学生的综合素质的提高也有重要作用，数学游戏还能真正体现以学生为主体的教学方法.

1.1 数学游戏有利于唤起学生对数学学习的兴趣
    俗话说“教之者不如好之者，好之者不如乐之者”。只有学生有了浓厚的学习兴趣，才有可能学好数学。围绕数学的教学游戏能吸引学生的注意力，唤起他们对问题的兴趣。如在学习立体几何前，我们可以给学生这么一道思考题：有6根完全相同的金属棒，我们把他们拼凑成图形——其中3根金属棒，使其成为的图形有4个三角形，移动原图形中一个等边三角形的三边，然后做成一个正四面体。给出答案后，就可以引出立体几何的学习了，这样不仅能激发学生学习的求知欲，还能给学生一个立体和平面有关系的初步印象，有利于以后的教学工作。

1.2游戏教学有利于培养学生观察力和记忆力
    我们在以学生为主体的教学中，要使学生的综合素质得到提高，学生的观察能力和记忆能力起重要作用。根据小学生生理和心理特点，他们好动、贪玩，在玩耍中能观察到很多东西，也能记住很多新鲜事，比如现在的学生能很快说出某某明星的名字、身高等，但他们就是不能对书本的东西记忆深刻。数学游戏恰恰能解决这一问题，使学生们在玩耍中动口、动手、动脑，使他们充分发挥自己的观察力和想象力，使抽象的数学知识变得新颖有趣。例如在我们学习四则运算时，很多同学花了很多时间背加法、乘法表，往往效果还是不好。而我们在教学时，如果利用第二课堂时间让学生们玩24点游戏，这无疑使学生们在游戏的同时促进了自己对加、减、乘、除运算的熟悉，这将极大促进学生们的观察力和记忆力。

1.3游戏教学能促进学生的思维能力和判断力
    在学生学习过程中，思维能力和判断力的培养是学好数学的基础。要注意思维和判断的准确性、敏捷性、灵活性和创造性。而数学恰好为此提供了锻炼的素材。如下面2题：
    ①“数学”为0到9的2个整数，求数学各是多少？其中12345679×数学＝555555555
    ②一张纸，用剪刀沿直线一次剪去一个角，这张纸还剩下几个角？
    对于第一题，我们得向司马光砸缸一样逆向思维。若简单运用555555555除以123456789来得结果是比较麻烦的。经过仔细观察，可以发现答案最后的个位是9ד学”＝？5，在乘法计算中，只有9×5＝45，所以可知“数学”＝45，第二题更是很好的锻炼了学生的创造性思维能力和判断力。这道题因剪法不同可以得到不同的结果，正确答案是五个、四个、三个角都有可能 。

1.4游戏教学培养学生的竞争意识
    游戏使学生们在游戏的同时产生一定的竞争意识，若某一学生在24点游戏中，由于自己对四则运算的不熟悉，经常输给其他同学，那么一定会给他造成一定的心理压力，使他产生紧迫感，促使他要努力学习四则运算来战胜其他对手，这样就使他增强了学习兴趣，熟练掌握了应该掌握的知识。但是我们在这样的情况下要注意时刻了解学生的心理状况，不要使学生产生太大的压力，要正确的引导学生有正确的竞争意识，这样才能取得最好的效果。　　

　第二章 图论——源于数学游戏的科学
图论是一门起源于游戏的科学，它主要起源于欧拉关于哥尼斯堡七桥问题的研究。当时大多数人都把这个问题当作有趣的娱乐，后来欧拉证明这个问题没有解，并指出这个问题不适用于欧几里得几何。而相反地，这个问题属于位置几何（莱布尼茨首先使用的名称）。因此，哥尼斯堡七桥问题的解决远远超出了它娱乐的价值，由此提出的新思想则开辟了数学的一个新的领域——图论。
2.1世界数学难题——哥尼斯堡七桥问题

图2.1 哥尼斯堡问题图
18世纪时，欧洲有一个风景秀丽的小城哥尼斯堡(今俄罗斯加里宁格勒)，那里的普莱格尔河上有七座桥。将河中的两个岛和河岸连结，城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：一个人怎样才能一次走遍七座桥，每座桥只走过一次，最后回到出发点？大家都试图找出问题的答案，但是谁也解决不了这个问题。 这就是哥尼斯堡七桥问题，一个著名的图论问题。
1727年在欧拉20岁的时候，被俄国请去在圣彼得堡（原列宁格勒）的科学院做研究。他的德国朋友告诉了他这个曾经令许多人困惑的问题。
欧拉并没有跑到哥尼斯堡去走走。他把这个难题化成了这样的问题来看：把二岸和小岛缩成一点，桥化为边，于是“七桥问题”就等价于图2.2中所画图形的一笔画问题了， 这个图如果能够一笔画成的话，对应的“七桥问题”也就解决了。

图2.2连通图
       经过研究，欧拉发现了一笔画的规律。他认为，能一笔画的图形必须是连通图。连通图就是指一个图形各部分总是有边相连的，这道题中的图就是连通图。
       但是，不是所有的连通图都可以一笔画的。能否一笔画是由图的奇、偶点的数目来决定的。那么什么叫奇、偶点呢？与奇数（单数）条边相连的点叫做奇点；与偶数（双数）条边相连的点叫做偶点。如图2.3中的①、④为奇点，②、③为偶点。

图2.3
1．凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。例如图2.4都是偶点，画的线路可以是：①→③→⑤→⑦→②→④→⑥→⑦→①

图2.4
2．凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。例如图2.5的线路是：①→②→③→①→④

图2.5
下面是由哥尼斯堡七桥问题发展起来的图论
2.2图论的基本概念
图论中的“图”并不是通常意义下的几何图形或物体的形状图, 而是以一种抽象的形式来表达一些确定的事物之间的联系的一个数学系统.
定义1 一个有序二元组(V, E ) 称为一个图, 记为G = (V, E ), 其中
① V称为G的顶点集, V≠f, 其元素称为顶点或结点, 简称点;
② E称为G的边集, 其元素称为边, 它联结V 中的两个点, 如果这两个点是无序的, 则称该边为无向边, 否则, 称为有向边.
如果V = {v1, v2, … , vn}是有限非空点集, 则称G为有限图或n阶图.
如果E的每一条边都是无向边, 则称G为无向图(如图2.6); 如果E的每一条边都是有向边, 则称G为有向图(如图2.7); 否则, 称G为混合图.

图2.6 图2.7
并且常记
V = {v1, v2, … , vn}, |V | = n ;
E = {e1, e2, … , em}(ek=vivj ) , |E | = m.
称点vi , vj为边vivj的端点. 在有向图中, 称点vi , vj分别为边vivj的始点和终点.
对于一个图G = (V, E ), 人们常用图形来表示它, 称其为图解. 凡是有向边, 在图解上都用箭头标明其方向.
例如, 设V = {v1 , v2 , v3 , v4}, E = { v1v2 , v1v3 , v1v4 , v2v3 , v2v4 , v3v4}, 则G = (V, E ) 是一个有4个顶点和6条边的图, G的图解如图2.8所示.

图2.8
一个图会有许多外形不同的图解, 下面两个图表示同一个图G = (V, E )的图解.其中
V = {v1 , v2 , v3 , v4},
E = { v1v2 , v1v3 , v1v4 , v2v3 , v2v4 , v3v4}.

图2.8 图2.9
有边连接的两个点称为相邻的点, 有一个公共端点的边称为相邻边. 边和它的端点称为互相关联.常用d(v)表示图G中与顶点v关联的边的数目, d(v)称为顶点v的度数. 用N(v)表示图G中所有与顶点v相邻的顶点的集合.

图2.10
d(v1)= d(v3)= d(v4)=4,
d(v2)=2.
下面是一个用图论解决的数学游戏问题：
一摆渡人欲将一只狼,一头羊,一篮菜从河西渡过河到河东.由于船小,一次只能带一物过河，并且狼与羊,羊与菜不能独处.给出渡河方法.
解：用四维0-1向量表示(人,狼,羊,菜)在河西岸的状态(在河西岸则分量取1,否则取0),共有24 =16 种状态.在河东岸的状态类似记作.
由题设,状态(0,1,1,0),(0,0,1,1),(0,1,1,1)是不允许的,从而对应状态(1,0,0,1), (1,1,0,0), (1,0,0,0)也是不允许的.
以可允许的10个状态向量作为顶点,将可能互相转移的状态用线段连接起来构成一个图.
根据图2.11便可找到渡河方法.

图2.11
将10个顶点分别记为A1, A2, …, A10 ,则渡河问题化为在该图中求一条从A1到A10的路.
从图中易得到两条路：
A1 A6 A3 A7 A2 A8 A5 A10;
A1 A6 A3 A9 A4 A8 A5 A10.

2.3图的矩阵表示
⑴ 邻接矩阵 邻接矩阵表示了点与点之间的邻接关系.一个n阶图G的邻接矩阵A = (aij )n×n , 其中

图2.12
无向图G的邻接矩阵A是一个对称矩阵.

图2.13
⑵ 权矩阵 一个n阶赋权图G = (V, E, F)的权矩阵A = (aij ) n×n , 其中

有限简单图基本上可用权矩阵来表示.

图2.14
无向图G的权矩阵A是一个对称矩阵.
图2.15
2.4最短路与最小生成树
定义1 设P(u, v) 是赋权图G = (V, E , F) 中从点u到v的路径, 用E(P) 表示路径P(u, v)中全部边的集合, 记

则称F (P)为路径P(u, v) 的权或长度(距离).
定义2 若P0 (u, v) 是G 中连接u, v的路径, 且对任意在G 中连接u, v的路径P (u, v)都有
F (P0)≤F(P), 则称P0 (u, v) 是G 中连接u, v的最短路.
重要性质：若v0 v1 … vm 是图G中从v0到vm的最短路, 则"1≤k≤m, v0v1 … vk 必为G中从v0到vk的最短路.
即：最短路是一条路，且最短路的任一段也是最短路.
求非负赋权图G中某一点到其它各点最短路，一般用Dijkstra标号算法；求非负赋权图上任意两点间的最短路，一般用Floyd算法.这两种算法均适用于有向非负赋权图.
由于Dijkstra标号算法较为复杂，以下只介绍Floyd算法.
例1 求下图中任意两点间的最短路图
图2.16
解：用Floyd算法,首先写出其(对称的)权矩阵A = (aij )8×8，然后利用计算机编程计算.

0 1 2 3 4 5 6 7
0 0 2 8 1 ∞ ∞ ∞ ∞
1 2 0 6 ∞ 1 ∞ ∞ ∞
2 8 6 0 7 5 1 2 ∞
3 1 ∞ 7 0 ∞ ∞ 9 ∞
4 ∞ 1 5 ∞ 0 3 ∞ 8
5 ∞ ∞ 1 ∞ 3 0 4 6
6 ∞ ∞ 2 9 ∞ 4 0 3
7 ∞ ∞ ∞ ∞ 8 6 3 0
根据若dik + dkj＜dij , 则令dij = dik + dkj .将原来的赋权值改变为|v2v4|=4,|v5v6|=3.
再依次改变为|v1v2|=5,|v0v2|=7.
接下来根据若dij = dik + dkj ,则删除vi到vj的连线.
得到

图2.17

从图2.17中容易得到任意两点间的最短路.
例如,v1到v6的路有三条：
v1v0v3v2v6(长度为12),
v1v4v5v2v6(长度为7),
v1v4v7v6(长度为12).
除此之外 还有二部图的匹配,关键路径,着色模型,时间表问题,就不一一详解了。

第三章 哈密顿的游戏与图论
1859年，英国数学家哈密顿发明了一种游戏：用一个规则的实心十二面体，它的20个顶点标出世界著名的20个城市，要求游戏者找一条沿着各边通过每个顶点刚好一次的闭回路，即「绕行世界」。用图论的语言来说，游戏的目的是在十二面体的图中找出一个生成圈。这个问题后来就叫做哈密顿问题。由於运筹学、计算机科学和编码理论中的很多问题都可以化为哈密顿问题，从而引起广泛的注意和研究

哈密顿图

3.1哈密顿图的定义
哈密顿通路: 经过图中所有顶点一次且仅一次的通路.
哈密顿回路: 经过图中所有顶点一次且仅一次的回路.
哈密顿图: 具有哈密顿回路的图.
几点说明：
平凡图是哈密顿图.
哈密顿通路是初级通路，哈密顿回路是初级回路.
环与平行边不影响图的哈密顿性.

3.2无向哈密顿图的必要条件
定理 设无向图G=<V,E>是哈密顿图, 则对于任意V1ÌV且V1ƹ, 均有 p(G-V1)£|V1|.（可验证某图不是哈密顿图）
几点说明：
1. 定理中的条件是哈密顿图的必要条件, 但不是充分条件.
2. 可利用该定理判断某些图不是哈密顿图
.
3.3无向哈密顿图的一个充分条件

定理 设G是n阶(n³3)无向简单图, 若任意两个不相邻的顶点的度数之和大于等于n-1, 则G中存在哈密顿通路.
当n³3时, 若任意两个不相邻的顶点的度数之和大于等于n, 则G中存在哈密顿回路, 从而G为哈密顿图.
当n(n³3)阶有向完全图是哈密顿图。判断是否是哈密顿图的可行方法观察出一条哈密顿回路
例如 当n³3时, Kn中任何两个不同的顶点 u,v, 均
有d(u)+d(v) = 2(n-1) ³ n, 所以Kn为哈密顿图.
例 十二面体如图5．12所示。找出图中的哈密顿圈，从而得到哈密顿游戏中周游世界路线

解：我们从严出发沿着外面的边顺时针转到c(此时还不能关闭圈)，然后向内走到结点／，再逆时针走到‘(保留如作为我们回到结点。的出口)，进入结点A，再顺时针转到8后向外到众，再到公，最后向上走返回到结点o。。因此，一个可能的哈密顿圈为：a,j,t,s,c,f,m,p,q,r,o,i.e.h.l.n.k.g.d.b.a.

第四章 数学游戏启发概率论的产生
概率论是一门研究随机现象的数量规律学科。它起源于对赌博问题的研究。早在16世纪，意大利学者卡丹与塔塔里亚等人就已从数学角度研究过赌博问题。他们的研究除了赌博外还与当时的人口、保险业等有关，但由于卡丹等人的思想未引起重视，概率概念的要旨也不明确，于是很快被人淡忘了。
　　概率概念的要旨只是在17世纪中叶法国数学家帕斯卡与费马的讨论中才比较明确。他们在往来的信函中讨论"合理分配赌注问题"。该问题可以简化为：
　　甲、乙两人同掷一枚硬币。规定：正面朝上，甲得一点；若反面朝上，乙得一点，先积满3点者赢取全部赌注。假定在甲得2点、乙得1点时，赌局由于某种原因中止了，问应该怎样分配赌注才算公平合理。
　　帕斯卡：若在掷一次，甲胜，甲获全部赌注， 两种情况可能性相同，所以这两种情况平均一下，乙胜，甲、乙平分赌注，甲应得赌金的3/4，乙得赌金的1/4。
费马：结束赌局至多还要2局，结果为四种等可能情况：
情况  １   ２   ３   ４
胜者 甲甲 甲乙 乙甲 乙乙
前3种情况，甲获全部赌金，仅第四种情况，乙获全部赌注。所以甲分得赌金的3/4，乙得赌金的1/4。
　　帕斯卡与费马用各自不同的方法解决了这个问题。虽然他们在解答中没有明确定义概念，但是，他们定义了使某赌徒取胜的机遇，也就是赢得情况数与所有可能情况数的比，这实际上就是概率，所以概率的发展被认为是从帕斯卡与费马开始的。
4.1事件的概率与性质
历史上概率的三次定义
① 古典定义---概率的最初定义
② 统计定义---基于频率的定义
③ 公理化定义--1933年由前苏联数学家柯尔莫哥洛夫(Kolmo-
gorov)给出
设 W 是随机试验E 的样本空间，若能找到一个法则，使得对于E 的每一事件 A 赋于一个实数，记为P ( A ), 称之为事件 A 的概率，这种赋值满足下面的三条公理：
1 非负性
2 归一性
3 可列可加性其中为两两互斥事件.
一般形式：
右端共有项.

4.2分房模型
设有 k 个不同的球, 每个球等可能地落入 N 个盒子中（ ）, 设
每个盒子容球数无限, 求下列事件的概率:
（1）某指定的 k 个盒子中各有一球；
（2）某指定的一个盒子恰有 m 个球( )
（3）某指定的一个盒子没有球；
（4）恰有 k 个盒子中各有一球；
（5）至少有两个球在同一盒子中；
（6）每个盒子至多有一个球.
解
设 (1) ~ (6)的各事件分别为
则

例2 “分房模型”的应用
生物系二年级有 n 个人，求至少有两人生日相同（设为事件A ) 的概率.
解本问题中的人可被视为“球”，365天为365只“盒子”
为 n 个人的生日均不相同,这相当于每个盒子至多有一个球. 由例1（6）
若 n = 64，
数学游戏带引发概率论的研究不止于此，很多更深奥的理论需要去突破，去探索！

结 论
数学游戏对数学教学的作用还有很多，我们要充分的正确的运用数学游戏来引导学生努力学习，使学生置身于数学知识的海洋中。当然，我们也不能盲目的运用数学游戏进行教学，必须根据学生的实际情况，从学生自身特点出发，做到浅显具体、生动有趣。要努力使游戏具有明显的目的性、形象性、多样性和趣味性。采用多变的游戏教学促进教学任务的完成，让学生们在数学的奇妙中去品位数学、学习数学、发展数学。
“数学游戏不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，更主要是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用，同时影响着政治家和神学家的学说”。可以说数学已经广泛地影响着人类的生活和思想，是形成现代文化的主要力量。在实际应用上，数学的作用更是远远大于我们对它的直接感受。数学文化的内涵不仅表现在知识本身，还寓于它的历史。数学游戏还从一个侧面反映的人类文化史，是人类文明史的最重要的组成部分。许多历史学家通过数学这面镜子，了解古代其他主要文化的特征与价值取向。古希腊（公元前600年-公元前300年）数学家强调严密的推理和由此得出的结论，因此他们不关心这些成果的实用性，而是教育人们去进行抽象的推理，和激发人们对理想与美的追求。通过希腊数学史的考察，就十分容易理解，为什么古希腊具有很难为后事超越的优美文学、极端理性化的哲学，以及理想化的建筑与雕塑。而罗马数学史则告诉我们，罗马文化是外来的，罗马人缺乏独创精神而注重实用。
在论文写作过程中，我查阅了多种数学史资料，并通过因特网的巨大搜索功能搜集各种资料，在资料整理过程中，我对数学游戏的发展状况有了初步了解。在这过程中有一种感觉：我们所学的教科书上的数学与数学发展的实际情况很不一致，舍弃了许多数学概念和方法形成的实际背景、知识背景、演化历程以及导致其演化的各种因素，这样使数学学习变的平淡乏味，并且仅凭数学教材的学习，难以获得数学的原貌和全景，同时也忽视了那些被历史淘汰掉的但对现实科学或许有用的数学材料与方法，而弥补这方面不足的最好途径就是通过数学游戏的学习。通数学游戏的学习可以使学生了解中国古代数学的辉煌成就的同时，了解中国近代数学落后的原因，以及中国现代数学研究的现状以及与发达国家数学的差距，以激发学生的爱国热情，振兴民族科学，为中国数学的发展贡献自己的力量。

谢 辞
本文是在导师周淑娟老师的精心指导下完成的，老师们在百忙之中审阅全稿，并提出了许多宝贵意见。他们严谨的治学态度和一丝不苟的研究精神使我受益匪浅；另外，在日常生活和学习中，老师们也给予了许多关怀和帮助，在此，对周淑娟老师表示衷心的感谢!同时对所有在学习上和生活上给予我帮助的老师和同学们表示深深的谢意！
最后，感谢我的家人，感谢他们多年来对我学业的支持和生活上无微不至的关怀！

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