几何证明--平行四边形.doc

学生教案
教师姓名

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年级
初三
学科
数学
上课时间

阶段
基础（√） 提高（√ ）强化（ ）
课时计划
第（3）次课
共（ ）次课
教学目标

1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证的能力。
2．能运用综合法证明平行四边形的性质定理，及其它相关结论，
3．体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法
重难点
掌握平行四边形的性质定理。
探索证明过程，感悟归纳类比、转化的数学思想。
课后作业：

教师评语
及建议：

科组长签名：

知识点
一．正确理解定义
（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．定义中的“两组对边平行”是它的特征，抓住了这一特征，记忆理解也就不困难了．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．同学们要在理解的基础上熟记定义．
（2）表示方法：用“ ”表示平行四边形，例如：平行四边形ABCD记作 ABCD，读作“平行四边形ABCD”．
2．熟练掌握性质
平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角对称性四个方面的特征进行简述的．
（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；
（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；
（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；
（4）对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心；
（5）面积：①=底×高=ah；②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形．
3．学会判别方法
（1）平行四边形的判别方法
①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形
⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形
（2）平行四边形的判别方法的选择
已知条件
选择的识别方法
边
一组对边相等
方法2或方法4
一组对 边平行
定义或方法4
角
一组对角相等
方法1
对角线
方法3

二、．几种特殊四边形的有关概念
（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：（1）平行四边形；（2）一个角是直角，两者缺一不可．
（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：（1）平行四边形；（2）一组邻边相等，两者缺一不可．
（3）正方形：一组邻边相等的矩形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．
（4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：（1）一组对边平行；（2）一组对边不平行，同时要注意和平行四边形定义的区别，还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题．
（5）等腰梯形：是一种特殊的梯形，它是两腰相等的梯形，特殊梯形还有直角梯形．
2．几种特殊四边形的有关性质
（1）矩形：（1）边：对边平行且相等；（2）角：对角相等、邻角互补；（3）对角线：对角线互相平分且相等；（4）对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形．
（2）菱形：（1）边：四条边都相等；（2）角：对角相等、邻角互补；（3）对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；（4）对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形．
（3）正方形：（1）边：四条边都相等；（2）角：四角相等；（3）对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450；（4）对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形．
（4）等腰梯形：（1）边：上下底不相等，两腰相等；（2）角：对角互补；（3）对角线：对角线相等；（4）对称性：是轴对称图形不是中心对称图形．
3．几种特殊四边形的判定方法
（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形
（1）有一个角是直角的平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形；（3）四个角都相等
（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形
（1）有一组邻边相等的平行四边形；（2）对角线互相垂直的平行四边形；（3）四条边都相等．
（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形．
（1）有一个角是直角的菱形；（2）有一组邻边相等的矩形；（3）对角线相等的菱形；
（4）对角线互相垂直的矩形．
（4）等腰梯形的判定：满足下列条件之一的梯形是等腰梯形
（1）同一底两个底角相等的梯形；（2）对角线相等的梯形．
4．几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析
（1）识别矩形的常用方法
（1）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角．
（2）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等．
（3）说明四边形ABCD的三个角是直角．
（2）识别菱形的常用方法
（1）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等．
（2）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直．
（3）说明四边形ABCD的四条相等．
（3）识别正方形的常用方法
（1）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的一个角为直角且有一组邻边相等．
（2）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等．
（3）先说明四边形ABCD为矩形，再说明矩形的一组邻边相等．
（4）先说明四边形ABCD为菱形，再说明菱形ABCD的一个角为直角．
（4）识别等腰梯形的常用方法
（1）先说明四边形ABCD为梯形，再说明两腰相等．
（2）先说明四边形ABCD为梯形，再说明同一底上的两个内角相等．
（3）先说明四边形ABCD为梯形，再说明对角线相等．
5．几种特殊四边形的面积问题
（1）设矩形ABCD的两邻边长分别为a,b，则S矩形=ab．
（2）设菱形ABCD的一边长为a，高为h，则S菱形=ah；若菱形的两对角线的长分别为a,b，则S菱形=．
（3）设正方形ABCD的一边长为a，则S正方形=；若正方形的对角线的长为a，则S正方形=．
（4）设梯形ABCD的上底为a，下底为b，高为h，则S梯形=．
三、多边形：1．多边形的定义
在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形，叫做多边形．
２．正多边形的定义
在平面内，内角都相等、边也都相等的多边形叫做正多边形．
3．探索多边形内角和公式n边形内角和公式： 任意多边形的外角和都等于360°．
4．密铺的定义：何谓密铺呢？课本上介绍：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，叫作平面图形的密铺．
5．密铺的特征：（1）边长都相等；（2）顶点公用；（3）在一个顶点处各正多边形的内角和为360．
8、中心对称图形
1·如果一个图形绕着它的中心点旋转180°后能与原图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个中心点叫做对称中心。
2·图形上对称点的连线被对称中心平分；

(一)知识点回顾：平行四边形、特殊平行四边形的特征以及彼此之间的关系
1. 矩形是特殊的平行四边形，矩形的四个内角都是_________。 矩形的对角线__________________

2.菱形是特殊的平行四边形，菱形是四条边都_____，它的两条对角线___________________每条对角线平分一组_____.

3.正方形四条边都_____，四个角都是_____。所以正方形可以看作为：一个角是直角的____；有一组邻边相等的_____；

4. 等腰梯形的两腰_______，同一底边上的两个内角_______。等腰梯形的两条对角线________。

5__________________________________________的平行四边形是矩形

6._______________________________________________ 的平行四边形是菱形

7._________________________________________ 的平行四边形是正方形

8.______________________________________________ 的梯形是等腰梯形

即有下面的流程图，在箭头里填上变化根据

( )

矩形

( )

平行四边形

正方形

( )
菱
形
( )

( )

填表：

边
角
对角线
对称性
平行四边形

矩形

菱形

正方形

等腰梯形

（二）主要知识点的相关练习
利用平行四边形、特殊四边形的定义解答填空、选择题
1．平行四边形ABCD中，∠A-∠B=20°,则∠C的度数为 。

2．平行四边形两邻角的平分线相交所成的是（ ）
A.锐角 B.直角 C.钝角 D.无法确定

3．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，∠B=100°，则∠DAE= .
A A B C
D E C B P
1

A B O C B
(第3题) (第4题) （第5题）
4．如图，直角∠AOB内任意一点P，到这个角的两边的距离和为6，则图中四边形的周长为 。

5.如图，是根据四边形的不稳定性制作的边长均为15cm的可活动菱形衣架，若墙上钉子间的距离AB＝BC＝15cm，则∠1＝ 度。

6．在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（ ）
A．∠1+∠2=180° B．∠2+∠3=180°
C．∠3+∠4=180° D．∠2+∠4=180°

特殊的四边形的有关计算练习
1． 已知菱形的两条对角线分别是6cm,8cm,其周长为20cm,则其面积为_______边长为__________边上的高为_________ ；

2.若菱形的一个内角为60°，且边长为2cm，则它的较短对角线长为___________cm；

3.菱形ABCD两条对角线相交于O，AO=1，∠ABD=30°，则BC的长为_________
4. 正方形的对角线为2cm，则正方形的面积为______________；正方形的面积为18cm²，则它的对角线长为_______________________cm；
5.矩形ABCD两条对角线相交于O，O到短边距离比到长边的距离多8cm，矩形的周长为56cm，求矩形各边长

O
A D

F O

B C
E
6.平行四边形的一个内角比它的邻角大42，求四个内角的度数。

7.从平行四边形的一个钝角顶点引分两边的垂线，如果这两条垂线间的夹角为75，求这个平行四边形各内角的度数。
解：连AC即∠1+∠2+∠3+∠4+180=360

利用特殊四边形性质证明有关线段或角相等
1． 如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F。
求证：∠BAE=∠DCF。
A D
F
E

B C

2． 如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE=DF，
求证：AE=CF。
A D

F
E
B C

3． 如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB，交AB的延长线于E，CF⊥AD，交AD的延长线于F，请你猜想CE与CF的大小有什么关系？并证明你的猜想。
F

D C

A B E

（三）课堂演练
一、选择题
1、下列说法中，不是一般平行四边形的特征的是（ ）
A、对边平行且相等 B、对角线互相平分
C、是轴对称图形 D、对角相等
2、菱形和矩形都具有的性质是（ ）
A、对角线相等 B、对角线互相平分
C、对角线平分一组对角 D、对角线互相垂直
3、在 ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，如右图与△ABO面积相等的三角形有（ ）个。
A、1 B、2 C、3 D、4
4、下列说法不正确的是（ ）
A、对角线互相垂直的四边形是菱形
B、有三个角是直角的四边形是矩形
C、有一组邻边相等的矩形是正方形
D、两组对边分别相等的四边形是平行四边形

5、如右图中，有（ ）个矩形
A、14 B、1 C、22 D、36

6、在线段、等边三角形、等腰梯形、矩形、平行四边形、菱形、正方形、圆这些图形中，既是中心对称又是轴对称的有（ ）个
A、3 B、4 C、5 D、6

7、平行四边形的一条边长为5，则它的对角线长可能是（ ）
A、4和6 B、2和12 C、4和8 D、4和3

二、填空题
1、如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，周长等于24，则AD= 。
2、如图，在矩形ABCD中，对角线交于点O，已知∠AOB=56°
则∠ADB= 度。

3、在菱形ABCD中，对角线AC、BD的长分别为5厘米，10厘米，则菱形
ABCD的面积为 厘米2。

4、若等腰梯形有一个角为120°，上底长为4厘米，下底长为12厘米，则它的周长为 厘米。

5、如右图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若
∠AOD=120°，AB=1，则AC= 。

6、如右图，在正方形ABCD中，点E是AD的中点，点F是BA延
长线上一点，AF=AB，△ABE可以通过绕A点逆时针旋转到△ADF的位置，则旋转的最小角度为 。

三、已知▱ABCD，试用三种方法将▱ABCD分成面积相等的四部分。
（只要求画出正确图形）

四、1、如图，E为正方形ABCD外一点，且△ADE是等边三角形，求∠EBC的度数。

2、如图，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD。
（1）、画出线段AB平移后的线段DE，其平移的方向为
射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长。
（2）、若AD=3，AB=4，BC=7，求线段EC的长和
∠B的度数。（15分）

3、如图，菱形ABCD的对角线的长分别是20和17，P是对角线AC上任意一点（点P不与A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥AD交AD于F，求阴影部分的面积。

补充内容：如何识别一个四边形是平行四边形？矩形、菱形？正方形？等腰梯形？
(一)、矩形，菱形，正方形, 等腰梯形的识别方法
从矩形，菱形，正方形的基本特征，我们可以得出矩形，菱形，正方形, 等腰梯形的识别方法，试分析判断:
1. 下面是矩形的一些识别方法，请分析判断是否可行？
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形 ( ) (从定义)
(2)有三个角是直角的四边形是矩形 ( ) (从角的特征)
(3)对角线相等且互相平分的四边形是矩形 ( ) (从对角线的特征)
2. 结合菱形的基本特征，以及上述矩形的识别方法，试一试能否得出菱形的识别方法?
(1)_______________________________ 的平行四边形是菱形 (从定义)
(2)_________________________________的四边形是菱形 (从边的特征)
(3)_______________________________ 的四边形是菱形 (从对角线的特征)
3. 结合正方形的基本特征，以及上述矩形，菱形的识别方法，试一试能否得出正方形的识别方法?
(1)______________________________ 的矩形是正方形 (从定义)
(2)_______________________________的菱形是正方形 (从定义)
(3)_____________________________ 的四边形是正方形 (从对角线的特征)
(二)识别
1.根据条件判定它是什么图形，并在括号内填出
四边形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ和ＢＤ相交于点Ｏ：
（１）∠A＝∠B＝∠C＝90° （ ）
（２）AB=BC=CD=DA （ ）
（３）∠A＝90°，四边形ABCD是平行四边形 （ ）
（４）AB=BC，四边形ABCD是平行四边形 （ ）
（5）OA=OC，OB=OD （ ）
（6）OA=OB=OC=OD （ ）
（7）OA=OC，OB=OD，AC⊥BD （ ）
（8）OA=OC，OB=OD，AC=BD （ ）
（9）OA=OC=OB=OD，AC⊥BD （ ）

2．在▱ABCD中，对角线AC和BD相交于点O。
（1） 如果∠ABO＋∠ADO＝90，那么▱ABCD是__________形；
（2） 如果∠AOB=∠AOD，那么▱ABCD是__________形；
（3） 如果AB＝BC，AC＝BD，那么▱ABCD是__________形；
(三)识别方法的应用练习
（A层）1、判断 ：下面的特殊四边形的识别方法对不对？若不对请给指正：
1、 两对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。
2、 两对角线互相垂直平分的四边形是矩形。
3、 两条对角线相等的四边形是矩形。
4、 两条对角线互相垂直的四边形是菱形。
5、 两条对角线相等的四边形是菱形。
6、 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
7、 一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。

2、已知：平行四边形ABCD的边AD,BC分别取点E,F, AE＝CF，EF⊥AC使得试说明AFCE是菱形
A E B
E

D F C

3、在△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B的平行线交于点D,DE⊥BC，DF⊥AC于F，试说明CEDF的形状，并说明理由

A

F D

C E B

(B层)
4、试说明平行四边形四个内角的平分线相交所形成的四边形是矩形 即
已知：平行四边形ABCD中，E，F，G，H分别是四边形的四个内角的平分线的交点，试说明四边形EFGH是矩形

Ｅ Ｈ
Ｇ
Ｆ
Ａ Ｄ

Ｃ Ｄ

巩固提高
1.点A、B、C在同一直线上，在直线AC的同侧作和，连接AF，CE．取AF、CE的中点M、N，连接BM，BN， MN．
(1)若和是等腰直角三角形，且(如图1)，则是 三角形．
(2)在和中，若BA=BE,BC=BF,且，(如图2)，则是 三角形，且 .
(3)若将(2)中的绕点B旋转一定角度,(如同3)，其他条件不变，那么(2)中的结论是否成立？ 若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.

2.如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC相交于Q.探究：设A、P两点间的距离为x.
(1)当点Q在边CD上时，线段PQ与PB之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；
(2)当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数关系，并写出函数自变量x的取值范围；
(3)当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能,指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置.并求出相应的x值，如果不可能，试说明理由.

3.(1)如图1，四边形中，，，，请你猜想线段、之和与线段的数量关系，并证明你的结论；
(2)如图2，四边形中，，，若点为四边形内一点，且，请你猜想线段、、之和与线段的数量关系，并证明你的结论．
图１

图2

4. (1)如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD.求证:EF＝BE＋FD;

图1 图2 图3
(2) 如图2在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD, (1)中的结论是否仍然成立？不用证明.
(3) 如图25-3在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=∠BAD, (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.

5. 以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置及数量关系．
(1)如图① 当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，
线段AM与DE的数量关系是 ；
(2)将图①中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图②所示，(1)问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．

6.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90°，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）．
（1）若m = n时，如图，求证：EF = AE；
（2）若m≠n时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF = AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若m = tn（t＞1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF =（t + 1）AE成立？并求出点E的坐标．
x
O
E
B
A
y
C
F
x
O
E
B
A
y
C
F
x
O
E
B
A
y
C
F

7.如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连结AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连结QE并延长交射线BC于点F.
（1）如图2，当BP=BA时，∠EBF=　▲　°，猜想∠QFC= ▲ °；
（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明；（3）已知线段AB=，设BP=，点Q到射线BC的距离为y，求y关于的函数关系式．

图1
A
C
B
E
Q
F
P

图2
A
B

E
Q
P
F
C

21