复杂应力状态下的变形比能.doc

材 料 力 学 讲 义
第24讲 教学方案
—— 应力状态理论（Ⅲ）

基
本
内
容

1. 广义胡克定律。
2．体积应变。材料弹性常数关系。
3.平面应力状态的测定。
4.变形比能。体积改变比能与形状改变比能。

教
学
目
的

1. 建立体积应变的计算关系式。
2. 导出材料弹性常数关系。
3. 掌握平面应力状态的测定方法。
4. 建立变形比能、体积改变比能与形状改变比能的计算式。
5．阐明变形比能的关系式的导出为建立强度理论打下了基础。

重
点
、
难
点

1. 重点掌握材料弹性常数关系 的推导方法。
2. 掌握变形比能、体积改变比能与形状改变比能的计算形式。
3. 掌握平面应力状态的测定方法和数据处理方法。
4. 难点是平面应力状态的测定中的应力应变关系，应用应变花测量时的计算关系。

教
学
安
排

本次教学计划学时：2学时。
课堂讨论：
1. 应用应变花测量平面应力状态时的计算关系式的导出，是广义胡克定律在应力应变状态分析中的具体应用。
2. 材料弹性常数关系式的意义。
3. 体积改变比能与形状改变比能的计算式的导出的意义。

§9-5广义胡克定律
一、胡克定律
1. 拉压时或，横向线应变
2.纯剪切时或
3.一般三向应力状态
九个应力分量有六个量是独立的，互等定理，剪切应力独立三个，看成是三组单向应力状态和三组纯剪切的组合。
条件：1）各向同性材料：
2）线弹性小变形范围内线应变只与正应力有关，而与剪应力无关，剪应变只与剪应力有关，而与正应力无关。
叠加：

当单元体六个面都是主平面时：
主应变：

体积改变量与应力分量的关系：
变形前六面体体积：V=abc

变形后：
体积应变，单位体积改变：
写成：；
体积弹性模量：；——平均值
二、各向同性材料弹性常数间的关系
求证：
证明：取纯剪状态下的微分单元体
；，
=
直角剪应变， =
对单元体abc来说：，

所以得：(只适用于各向同性材料)
三、二向应力状态下主平面方位公式：
；

则：
主应变与主应力方向是重合的，将主应变带入到广义胡克定律计算主应力。
§9-7复杂应力状态下的变形比能
体积应变比能与形状改变比能
1. 单向拉压时，变形比能
2. 三向应力状态下：弹性变形能等于外力功，只决定外力最终数值，与外力作用次序无关，能量守恒原理，否则能量积累。
线弹性范围内：
（8—17）
变形比能：体积变化储存的比能——体积改变比能
体积不变，正方体成长方体——形状改变比能
以：代替三个主应力，三个棱边变形相同
=
由广义胡克定律：

用来建立复杂应力状态下的强度条件。