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与圆有关的知识.doc

上传人:xrp****65 文档编号:9432537 上传时间:2025-03-26 格式:DOC 页数:8 大小:95KB
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知识强化 一、知识概述 1、点和圆的位置关系   如果圆的半径为r,已知点到圆心的距离为d,则可用数量关系表示位置关系.   (1)d>r 点在圆外;   (2)d=r 点在圆上;   (3)d<r 点在圆内. 2、确定圆的条件   不在同一直线上的三个点确定一个圆. 3、三角形的外接圆   (1)定义:经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆.   三角形的外心:外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心,这个三角形叫做这个圆的内接三角形.   注意:①要弄清“接”是指三角形各顶点在圆上,“外”是指三角形外,“内”是指圆内.   ②三角形的外接圆和圆的内接三角形是针对上述同一个图形,从不同角度的两种说法.   (2)三角形外心的性质:   ①三角形的外心是外接圆的圆心,它是三角形三边垂直平分线的交点,它到三角形各顶点的距离相等.   ②三角形的外接圆有且只有一个,即对于给定的三角形,其外心是惟一的,但一个圆的内接三角形却有无数个,这些三角形的外心重合. 4、反证法   (1)定义:从命题结论的反面出发,经过推理论证,得出矛盾,从而证明命题成立,这种方法叫做反证法.   (2)反证法证明命题的一般步骤   ①反设:作出与结论相反的假设;   ②归谬:由假设出发,利用学过的公理、定理推出矛盾;   ③作结论:由矛盾判定假设不正确,从而肯定命题的结论正确. 5、直线和圆的位置关系的定义及有关概念   (1)直线与圆的位置关系有关概念   ①相交与割线:直线和圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线.   ②切线与切点:直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,惟一的公共点叫做切点.   ③相离,当直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.   (2)用数量关系判断直线与圆的位置关系   如果⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d,那么:   (1)直线l和⊙O相交 d<r(如图(1)所示);   (2)直线l和⊙O相切 d=r(如图(2)所示);   (3)直线l和⊙O相离 d>r(如图(3)所示). 6、切线   (1)切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.   (2)切线的性质:圆的切线垂直于过切点的半径.   (3)切线长:圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.   (4)切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角. 7、三角形的内切圆与三角形的内心   ①与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.这个三角形叫做圆的外切三角形.   ②三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点,三角形的内心到三边的距离相等. 8、圆和圆的位置关系 (1)图示定义法(交点数)   ①相离:如果两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,如上图(1)、(5)、(6)所示,其中(1)又叫做外离,(5)(6)叫做内含;   ②相切:如果两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,如图(2)、(3)所示,其中(2)叫外切,(3)叫内切;   ③相交:如果两个圆有两个公共点,那么就说这两个圆相交,如图(4)所示.   注意:圆与圆的位置关系按公共点的个数可分为0,1,2三大类即:   (Ⅰ)没有公共点:   (Ⅱ)有惟一公共点:   (Ⅲ)有两个公共点:相交   (2)用数量关系判断两圆的位置关系   当两圆的半径一定时,两圆的位置关系与两圆圆心的距离(圆心距)的大小有关,设两圆半径分别为R和r(R>r),圆心距为d,则:   (1)两圆外离d>R+r;   (2)两圆外切d=R+r;   (3)两圆相交R-r<d<R+r;   (4)两圆内切d=R-r;   (5)两圆内含d<R-r. 二、重难点知识归纳 与圆有关的位置关系的判断是重点,切线的判定和性质是重点也是难点. 三、典型例题剖析 例1、如图,已知矩形ABCD中,AB=3cmAD=4cm.若以A为圆心作圆,使B、C、D三点中至少有一点在圆外,且至少有一点在圆内,求⊙A的半径r的取值范围. 解:∵矩形ABCD中,∠B=90°,AB=3cm,BC=AD=4cm,   ∴AC=5cm,   其中点B到点A的距离最小,点C到点A的距离最大.若以AB为半径作圆,则没有点在⊙A内;若以AC为半径作圆,则没有点在⊙A外.   故⊙A的半径r的取值范围是3cm<r<5cm. 点拨:   这里是由点与圆的位置确定半径r的大小.本例还要注意“至少”一词的理解. 例2、阅读下列文字:在Rt△ABC中,∠C=90°,若∠A≠45°,则AC≠BC. 证明:假设AC=BC.   ∵∠A≠45°,∠C=90°,∴∠A≠∠B.   ∴AC≠BC,这与题设矛盾,∴AC≠BC.   上面的证明有没有错误,若没有错误,指出其证明方法是什么?若有错误,请给予指正. 解:有错误.改正如下:   假设AC=BC,则∠A=∠B,又∠C=90°,   ∴∠B=∠A=45°,这与∠A≠45°矛盾.∴AC=BC不成立.   ∴AC≠BC. 点拨:   运用反证法证题应从“假设”出发,即把假设当作已知条件,一步步有根据地推出与定义、定理、公理或已知矛盾的结论,从而判定“假设”不成立,进一步肯定命题的结论. 例3、如图,直角梯形ABCD中,∠A=∠B=90°,AD∥BC,E为AB上一点,DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系? 解:以AB为直径的圆与CD是相切关系.理由如下:   如图,过E作EF⊥CD,垂足为F.   ∵∠A=∠B=90°,∴EA⊥AD,EB⊥BC.    ∵DE平分∠ADC,CE平分∠BCD,   ∴.∴以AB为直径的圆的圆心为E,且,   ∴以AB为直径的圆与边CD相切. 点拨:   在证明直线与圆的位置关系时,常过圆心向直线作垂线段,再比较垂线段与半径的大小即可. 例4、已知:AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC平行于弦AD(如图). 求证:DC是⊙O的切线. 证明:连结OD.   .   .   ∵BC是⊙O的切线,∴∠OBC=90°.   ∴∠ODC=90°.∴OD⊥DC.   ∴DC是⊙O的切线. 点拨:   已知点B是切点,连结OB得OB⊥BC,要证CD是切线,也要连结OD,证OD⊥CD,再沟通已知与未知的联系即可. 例5、如图,AB是⊙O的直径,AD、BC、CD是⊙O的切线,切点分别是A、B、E,DO、AE相交于点F,CO、BE相交于点G.求证:(1)CO⊥DO;(2)四边形EFOG是矩形. 分析: (1)欲证CO⊥DO,只需证明∠ODC+∠OCD=90°.根据切线长定理,   得.再由切线的性质定理,不难得AD∥BC,从而∠ADC+∠BCD=180°,(1)获证.   (2)仍由切线长定理,可证AE⊥DO,BE⊥CO.而∠AEB=90°,(2)获证. 证明:   (1) ∵AB是⊙O的直径,AD、BC是⊙O的切线,   ∴AD⊥AB,BC⊥AB.∴AD∥BC.   ∴∠ADC+∠BCD=180°.   又由切线长定理,得.   ∴∠ODC+∠OCD=90°,即∠DOC=90°.故CO⊥DO.   (2)∵DA、DE与⊙O相切于点A、E,   ∴DA=DE.∴AE⊥DO.∴∠EFO=90°.   同理,∠EGO=90°.又∠DOC=90°,   ∴四边形EFOG是矩形. 点评:   在有关圆的问题,切线长定理与切线的性质定理的综合应用往往是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据. 例6、已知⊙O1与⊙O2的半径分别为R,r,且R≥r,r是方程x2-6x+3=0的两根.设O1O2=d,那么:   ①若d=7,试判定⊙O1与⊙O2的位置关系;   ②若,试判定⊙O1与⊙O2的位置关系;   ③若d=5,试判定⊙O1与⊙O2的位置关系;   ④若两圆相切,求d的值. 解:   ∵R、r是方程x2-6x+3=0的两根,   ∴R+r=6,R·r=3.   ∴.   (1)∵d=7,即d>R+r,∴两圆外离.   (2)∵,即d<R-r,∴两圆内含.   (3)∵d=5,即R-r<d<R+r,∴两圆相交.   (4)要使⊙O1与⊙O2相切,则d=R+r或d=R-r,   ∴d=6或时,两圆相切. 点拨:   由两圆的位置与两圆的半径、圆心距之间的数量关系知,应先分别求出R+r、R-r,然后再比较d与R+r、R-r的大小从而作出判断. 例7、已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点,且O2点在⊙O1上.   (1)如图(1),AD是⊙O2的直径,连结DB,并延长交⊙O1于C.求证:CO2⊥AD.   (2)如图(2),如果AD是⊙O2的一条弦,连结DB并延长交⊙O1于C,那么CO2所在的直线是否与AD垂直?证明你的结论. 证明:   (1)连结AB,则有∠AO2C=∠ABC=180°-∠ABD=90°,∴CO2⊥AD.   (2)作直径AD1交⊙O2于D1,连结D1B并延长交⊙O1于C1.   由第(1)问知:∠AO2C1=90°,∴∠AD1B+∠BC1O2=90°.   在⊙O2中,∠AD1B=∠ADB;在⊙O1中,∠BC1O2=∠BCO2.   ∴∠ADB+∠BCO2=90°.∴CE⊥AD. 点拨:   解决此类问题,关键是要找出一般与特殊的关系,在图形变换中,要找出不变量.
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