第14章 三角形中的边角关系教案.doc

第14章 三角形中的边角关系
14.1 三角形中的边角关系
第一课时 三角形中的边角关系（一）
教学目标
1、了解三角形的概念，掌握分类思想
2、经历探索三角形中的三条边之间的关系，感受几何学中基本图形的内涵
3、让学生养成有条理的思考的习惯，以及说理有据的意识，体会三角形三边关系在现实生活中的实际价值

重、难点与关键
重点：了解三角形分类思想，弄清三角形三边关系
难点：对两边之差小于第三边的领悟
关键：从观察、联想入手，应用连结两点之间的线中，线段最短这一原理进行迁移

教学过程
一、 情境合一，探究新知
1、 投影图片，把事先收集的与三角形有关系的生活图片，运用投影仪播放，让学生对三角形有一个感性认识.如下图：

教师活动：通过播放图片，引导学生认识三角形，并提出图中能找出的几个三角形具有什么样的特性.
学生讨论
教师归纳，由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形.
教师活动：给出一个三角形，如图，并标上字母，引导学生体会用符号来表示一个三角形的方法，认识三角形的基本元素：边、角、顶点等.

学生活动：学会运用大小写字母来表示三角形的边与角，如图的三角形可记作⊿ABC，三边可记作AB、AC、CA；三个角可记作∠A、∠B、∠C，或可用三个字母表示为∠BAC、∠ABC、∠ACB.
注意：表示边时要两个大写字母，或一个小写字母.注意小写字母标注的规律：通常顶点大写字母所对的变就是这个顶点的小写字母.
2、 教师给出不同类型的三角形，引导学生从边和角两种角度观察、分类.
（1）从边的角度来分类有：
不等边三角形
等腰三角形（包括等边三角形）
说明：对于等腰三角形来说，相等的两边称为腰，第三边称为底边。两腰所夹的角称为顶角，腰与底边的夹角称为底角：而等边三角形的三边都相等，它是等腰三角形的特例.
（2）从角的角度来分类有：
锐角三角形（三个内角均为小于900的角）
直角三角形（有一个角是900）
钝角三角形（有一个内角大于900）

二、 联系实际，合作探究
1、 问题牵引1.
国庆节的晚上，小明从甲地到乙地后再往丙地走，并到达丙地，小红从甲地直接到丙地，如图所示，请你谈谈小明和小红谁走的路程长？依据是什么？

学生活动：发现小红走的路程短，小明走的路程长。依据是：两点之间线段最短.
2、 问题牵引2.
在一个三角形中，任意两边的长度之和与第三边的长度之间有着怎样的关系呢？
教师在黑板上画出按角分类的三个三角形，请三位同学量出三边的长度，再进行比较.
（1） 三角形任意两边之和大于第三边.
（2） 三角形任意两边之差小于第三边.

三、 范例学习，应用所学
1、 例1（课本68页 例1） 等腰三角形中，周长是18cm.
（1） 如果腰长是底边长的2倍，求各边长.
（2） 如果一边长为4cm，求另两边长.
2、 例2 有两根长度分别为8m和5m的钢管，再用一根长度为3m的钢管能将他们焊接成一个三角形钢架吗？为什么？长度为4m呢？长度为2m呢？

四、 随堂练习，巩固深化
1、 课本69页 练习第1，2，3题.
2、 等腰三角形的两边长分别是7cm，8cm.
（1） 求这个三角形的周长.
（2） 如果两边长分别为3cm和6cm呢？

五、 课堂总结，提高认识
1、 由学生进行归纳总结
2、 教师提示：（1）三角形分类中，可以按边和角进行分类，可分成三类.（2）判定三条线段能否构成三角形，只须用较小两边相加与第三边进行比较.

六、 布置作业，专题突破
课本73页 习题14.1 第1题
选用课时同步作业

七、教学设计与课后反思

第二课时 三角形中的边角关系（二）
教学目标
1、理解三角形三个内角等于1800的推导过程，会应用三角形内角和定理解决实际问题.
2、经历观察、思考、互动的过程，提升合情推理的能力，发展条理化的思维意识.
3、发展空间想象思维，形成良好的说理能力.

重、难点与关键
重点：应用三角形内角和定理.
难点：对三角形内角和定理的认识.
关键：从操作感知入手，采用折叠、剪拼或量角器度量的方法进行多角度的认知三角形内角之间的关系.

教学过程
一、 创设情境，导入新知
动手操作：
1、 剪出一块三角形，并将这个三角形三个角剪下拼接在一起，形成平角1800.
2、 试一试，有几种不同的方法.
3、 评析：在探究的过程中，引入了几何学中的“辅助线”，这里必须说明辅助线的作用以及表达辅助线的书写文字.

二、 范例学习，应用所学
1、例1.（课本70页 例2）
已知：如图，BD是⊿ABC的高，∠ABD=540，∠DBC=180.求∠A和∠C的度数.

2、例2
如图，B处在A处的南偏西450方向，C处在A处的南偏东150方向.C处在B处的北偏东800方向，求从C处看A、B两处的视角∠ACB的度数.

三、 随堂练习，巩固深化
1、 课本70—71页 练习第1、2、3、4题.
2、 如左图，一个四边形ABCD模板，设计要求AD与BC的夹角应是300，CD与BA的夹角应是200，现已测量∠A=800，∠B=700，∠C=900，请你判断这块模板是否合格？说明理由.
3、 如右图，∠A=320，∠B=450，∠C=380，求∠DFE的度数.

四、 课堂总结，发展潜能
互动复习：
1、 本节课推导三角形内角和定理，用了哪些方法？
2、 对于几何问题中的辅助线的添法，你有什么看法？

五、 布置作业，专题突破
课本73页 习题14.1 第3，5，6题
选用课时同步作业

六、教学设计与课后反思

第三课时 三角形中的边角关系（三）

教学目标
1、 领会三角形中的高、角平分线、中线的知识，会应用它们解决实际问题.
2、 经历探究三角形中的高、角平分线、中线的过程，掌握其应用方法，发展空间观念.
3、 在互动交流中形成几何推理意识，感悟几何学的逻辑推理的价值.

重、难点与关键
重点：应用三角形中的高、角平分线、中线的概念.
难点：画钝角三角形的高线.
关键：在动手操作中感悟和理解，认清它们的条件和结论以及区别.

教学过程
一、 创设情境，合作交流
1、 动手操作.
问题牵引：过三角形ABC三个顶点分别作它们对边的垂线.
教师活动：在黑板上画出锐角、直角、钝角三角形各一个，要求学生在练习本上画图，并请一些同学上讲台“演示”.
教师提问：三角形中的三条垂线是否能交在一点？
导入高的定义：从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段.
2、 动手折叠.
教师要求：请同学们用折纸的方法得到三角形的高.
评析：钝角三角形的三条高的交点在三角形外面，直角三角形三条高的角度在三角形直角的顶点上，锐角三角形的高的交点在三角形内部 .

二、 操作感知，形成概念
1、 合作交流1.
交流内容：折纸，感悟三角形角平分线.
交流方法：用剪刀剪出一块任意三角形，然后对折一个内角.
引出角平分线定义：在三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
学生活动：在折纸讨论的基础上，认识角平分线定义，发现三角形三条角平分线交于一点，且交点在三角形内部.
2、 合作交流2.
交流内容：画三角形的中线.
画图方法：
（1） 画一个锐角三角形，一个直角三角形，一个钝角三角形.
（2） 寻找出三边的中点.（用刻度尺）
（3） 把顶点与它们对边的中点连接.
学生活动：动手画图，发现画出来的三条线段交于一点.
引出中线定义：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做这个三角形的中线.
教师提问：要取三角形一边的中点，除了用刻度尺来确定，还有别的方法吗？

三、 随堂练习，巩固深化
1、 课本72页 练习第1，2，3题.
2、 如下图（左三个图）所示的三个∠B有什么不同？这三个⊿ABC的边BC上的高AD在各自三角形的什么位置？你能说出其中的规律吗？

3、 如上右图，⊿ABC中，∠BAC=540，∠B=460，AD是∠BAC的角平分线，求∠ADC,∠ADB的度数.
4、 稳定性探究.
如下图（左）所示，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗?
如下图（中）所示，将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
如下图（右）所示，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会改变吗？

思路分析：可以发现，三角形木架的形状不会改变，而四边形木架的形状会改变，也就是说：三角形最具有稳定性，而四边形、五边形……没有稳定性，还可以发现，斜钉一根木条的四边形木架形状不会改变.
请思考如图所示的图形中，哪些具有稳定性？

四、 课堂总结，提高认识
1、 今天学习了哪些概念？
2、 三角形“三线”如何区别？它们的交点是否都在三角形内部？
3、 怎样的图形具有稳定性？

五、 布置作业，专题突破
课本73页 习题14.1 第2、4、7题.
选用课时同步作业.

六、 教学设计与课后反思

14.2 命题与证明
第一课时 命题
教学目标
1、 了解命题的概念，会判定一个命题的真假.
2、 经历探究命题以及结构的过程，体会命题的内涵.
3、 培养学生严谨的推理和论证意识，感悟几何思想的应用价值.

重、难点与关键
重点：认识命题的内涵和结构.
难点：区别命题的题设和结论.
关键：弄清命题的定义以及命题的结构.

教学过程
一、 创设情境，感知轻重
1、 问题引入1
有一根比地球赤道长1m的铜线将我们生活的地球赤道绕一圈.想一想，铜线与地球赤道之间的空隙有多大（假设地球是球形的）？能放进一个苹果吗？
2、 阅读课文
教师提问：前面一节课中，我们探索三角形内角和等于1800时，大家采用剪、拼的手法，将一个三角形的三个角拼在一起，成为一个平角，只是接近1800的某个值，但不是准确的1800？
教师引导：研究几何图形，从观察和实验得到的认识，有时会有误差，难以使人确信其结果一定正确.因此，就得在观察的基础上有依有据地说明理由.也就是说，要判断数学命题的真假，需要作必要的逻辑推理.

二、 情境合一，继续探究
1、 教师引入：在日常生活中，大家经常要遇到下面的表达语言.
例如：（1）福州市是福建省的省会.
（2）3+7＜11.
（3）邻补角互补.
（4）有共同顶点的两个角是对顶角.
（5）对顶角相等.
（6）上海是在湖北.
请同学们观察，判断上述语言是否正确？
教师归纳：在逻辑学中，凡是可以判断出真（正确）、假（错误）的语句叫做命题，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题.
2、 教师提问：下列句子都是命题吗？哪些是命题？
（1） 今天下雨了.
（2） 画一条直线.
（3） 我回家.
（4） 两直线平行，同位角相等.
（5） 以A为圆心，2cm为半径画圆.
3、 每个命题都有题设、结论两部分组成.题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.命题常写成“如果……那么……”的形式.有时为了叙述简便，也可以省略关联词“如果”、“那么”.如命题“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”可以写成“对顶角相等”.
以“如果……那么……”为关联词的命题的一般形式是“如果p,那么q”,或者说成“若p,则q”，其中p是这个命题的条件（题设），q是这个命题的结论（题断）.

三、 辨析应用，发展思维
1、 课堂演练：下列各命题的题设是什么？结论是什么？
（1） 若x＜0，则.
（2） 如果两个角是同位角，那么它们相等.
（3） 只含有一个未知数且未知数的次数是1的方程叫做一元一次方程.
（4） 形状和大小相同的两个三角形面积相等.
2、 教师提问：在演练题中，哪些命题是真命题，哪些是假命题？

四、 拓展延伸，互动交流
1、 观察交流：
（1）两直线平行，同旁内角互补.
（2）同旁内角互补，两直线平行.
（3）对顶角相等.
（4）相等的两个角是对顶角.
2、教师提问：
（1）上述四个语句是命题吗？是真命题吗？
（2）它们的题设、结论分别是什么？
（3）1和2与3和4之间，你发现了什么？
3、学生活动
4、教师引入：把一个命题的题设与结论互换，便可以得到一个新的命题，我们称这样的两个命题为互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.
教师提问：如果原命题是真命题，那么它的逆命题是否也一定是真命题呢？说明一个命题是假命题只有举出一个反例（符合命题条件，但不满足命题结论的例子，叫做反例）即可.

五、 随堂练习，巩固深化
课本76页 练习第1，2，3题.

六、 课堂总结，提高认识
1、 今天学习了哪些概念？
2、 举例说明真假命题的判断.
3、 举例说明互逆命题.

七、 布置作业，专题突破
课本82页 习题14.2第1，2，3，4题.
选用课时同步作业.

八、 教学设计与课后反思

第二课时 证明（一）

教学目标
1、了解公理、定理、证明的内涵，会进行简单的推理.
2、经历探索证明的过程，弄清证明的基本方法，以及书写格式，体会演绎推理的意义.
3、培养严谨的推理能力和表述能力，感受证明的几何价值.

重、难点与关键
重点：掌握推理方法.
难点：发展演绎推理意识.
关键：应用数学转化的思想分析，寻求推理思路.

教学过程
一、创设情境，引入新课
1、定义引入：在数需研究中，首先要确定数学的研究对象，例如，我们研究方程时，要明确什么是方程，在数学上称之为“定义”.
2、公理引入：在日常生活、实践中大家常常把公认的并且长期检验所取得的真命题，把它们作为论证其它命题的根据，这样的最原始的真命题我们称之为公理.
3、素材提供：
（1）如果两个角有公共顶点，并且一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角称为对顶角.
（2）经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
（3）两点确定一条直线.
（4）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.
4、定理引入：有些命题，如“对顶角相等”，“三角形的内角和等于1800”，“等角的补角相等”等，它们的正确性已经过推理得到证实，并被选定作为判定其它命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.
5、证明引入：前面我们议到的话题：并不是所以命题都正确，只有经过演绎推理来论证，我们把这种推理的过程叫做证明.

二、范例学习，应用所学
1、例1（课本77页 例2）
已知：如图，直线c与直线a，b相交，且∠1=∠2.
求证：a∥b.

证明：∵ ∠1=∠2 （已知）
又 ∵ ∠2=∠3 （对顶角相等）
∴ ∠1=∠3 （等式性质）
∴ a∥b （同位角相等，两直线平行）
可见，证明是由条件（已知）出发，经过一步一步的推理，最后推出结论（求证）正确的过程.
证明中的每一步推理都要有根据，不能想当然.这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理、已经学过的定理.

例2（课本78页 例3）
已知：如图，∠AOB+∠BOC=1800,OE平分∠AOB，OF平分∠BOC.
求证：OE⊥OF.

三、随堂练习，巩固深化
1、课本77—78页 练习第1，2题
2、课本78—79页 练习第1，2题

四、课堂总结，发展潜能
提问：
1、定义、命题、公理、公理的概念是如何确定的？有何异同点？
2、什么叫证明？
3、如何进行推理以及表达？你有什么想法.
4、你是否总结出了证明的常规思路？

五、布置作业，反思提炼
课本83页 习题14.2第5题.
选用课时同步作业.

六、教学设计与课后反思

第三课时 证明（二）

教学目标
1、应用几何推理、证明解决几何问题.
2、经历探索推理的论证过程，感受几何中的逻辑推理的内涵，发展符号化语言.
3、培养严谨的证明意识，提高思维能力，体会几何学的实际价值.

重、难点与关键
重点：学会应用理性推理的方法.
难点：形成演绎推理的思路.
关键：引导学生运用合情推理，对所要证明的问题进行转化.

教学过程
一、回顾迁移，严谨论证
自主学习：阅读课本79—80页.
教师活动：组织学生用五分钟时间阅读理解课本79页例4.
学生活动：小组合作，回顾交流，完善证明“三角形内角和等于1800”的方法以及表达格式，总结辅助线的作法.
辅助线引入：为了计算和证明的需要，在原来图形上添加（画）线，叫做辅助线，辅助线常常画成虚线.
教师提问：直角三角形中的两个锐角之间有着怎样的关系？请用几何语言证明.
推论：直角三角形的两个锐角互余.
思路分析：这是一个文字的证明题，解决这类问题，首先要将文字形式转化成字母形式，也就是说，根据命题的题设、结论，画出几何图形，然后再写出“已知”、“求证”，最后才开始证明.
已知：如图所示，在⊿ABC中，∠C=900.
求证：∠A+∠B=900.

证明：在⊿ABC中
∵ ∠C=900（已知）
∴ ∠A+∠B=1800－900=900(三角形内角和等于1800)

二、范例学习，应用所学
1、例1 证明：对顶角相等.
已知：如图所示，已知直线AB、CD相交于O，∠AOC与∠DOB是对顶角.
求证：∠AOC=∠DOB.

证明：∵ ∠AOC+∠AOD=1800
∠AOD+∠DOB=1800
∴ ∠AOC=∠DOB（同角的补角相等）
2、 例2
如图所示，∠1与∠2互为补角，∠3=∠B，试判断∠C与∠AED的大小关系，并证明之.

三、合作交流，探索思路
1、已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4， 求证：AC∥DF，BC∥EF.

2、根据命题的题设和结论，画出图形并写出已知、求证.
（1） 等角的余角相等.
（2） 两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直.

四、随堂练习，巩固深化
课本80页 练习第1，2题

五、课堂总结，提高认识
提问：
1、什么是证明？
2、证明命题的步骤有哪些?
3、书写格式有什么特点？

六、布置作业，反思提炼
课本83页 习题14.2第6题
选用课时同步作业.

七、教学设计与课后反思

第四课时 证明（三）

教学目标
1、学会应用推论1、推论2解决实际问题，发展符号意识.
2、经历探究三角形外角概念以及有关推论的过程，掌握几何证明方法和几何语言表达.
3、培养演绎推理的思维方法，感受几何知识的实际应用价值.

重、难点与关键
重点：领悟有关三角形外角的推论，掌握几何推理方式.
难点：对逻辑推理思想的理解和运用.
关键：把握三角形内角和，以此延伸到三角形外角的有关推论.

教学过程
一、回顾交流，拓展知识
1、课堂演练
如下图（左）所示，已知在⊿ABC中，BD、BC分别平分∠ABC、∠ACB，若∠A=700，求∠D的度数.

2、外角引入：
观察如上图（右）所示的三角形.
定义：由三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
教师提问：
上述右图中，∠ACD是⊿ABC的外角，同样∠1和∠2也都是⊿ABC的外角，那么∠ACD与∠BAC和∠ABC之间有什么关系呢？∠ACD与∠BAC或∠ABC又有什么关系呢？

推论2：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
推论3：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.

二、范例学习，应用所学
例1 （见课本81页 例5）
已知：如下图（左），∠1、∠2、∠3是⊿ABC的三个外角.
求证：∠1+∠2+∠3=3600

例2 如上图（右）所示，已知⊿ABC的外角∠ABD的角平分线与∠C的角平分线CF的延长线交于E，若∠A=700，求∠E的度数.

三、课堂练习，巩固深化
1、课本81—82页 练习第1，2题.
2、如图所示，五角星ABCDEF，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.

3、已知：如图所示，在⊿ABC中，∠DBF是它的一个外角，E为边AC上的一点，延长BC到D，连接DE， 求证：∠DBF＞∠EDC.

四、课堂总结，发展潜能
1、三角形的一个外角，就是三角形一个内角的邻补角.
2、根据外角定义可知，外角有三个特征：
（1）顶点在三角形的一个顶点上.
（2）一条边是三角形的一边.
（3）另一条边是三角形某边的延长线.因此，可以根据这三点来判断三角形的外角.
3、推理2和推理3在理解和应用中，要明确“不相邻”三个字的意义，否则就会出现错误.

五、布置作业，反思提炼
课本83页 习题14.2第7，8，9题.
选用课时同步作业.

六、教学设计与课后反思

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