浙教版数学 九年级上册教案 二次函数及其图像.doc

博途教育学科教师辅导讲义(一）
学员姓名: 年 级：九年级 日期：
辅导科目：数 学 学科教师：刘云丰 时间：
课 题
九上 第四讲：二次函数及其图像
授课日期

教学目标
1、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式；
2、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围；
3、会用待定系数法求二次函数的解析式。
教学内容

二次函数及其图像
〖教学重点与难点〗
◆教学重点：理解二次函数y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，且a≠0）的概念。
◆教学难点：学会运用二次函数解决一些复杂的数学问题，需要学生有较强的抽象概括能力。
〖教学过程〗　[来源:Zxxk.Com]
一、二次函数的概念
请用适当的函数解析式表示下列问题情境中的两个变量 y 与 x 之间的关系。
(1)圆的面积 y ( cm2 )与圆的半径 x ( cm );
(2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为 x ，两年后王先生共得本息y元;
(3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是
一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条
边长为 x (m), 种植面积为 y (m2)。

上述三个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征?
其实，不难发现，经化简后它们都具有y=ax2+bx+c (a,b,c是常数,a≠0)的形式。
我们把形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic funcion) ,称：a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。）
例如，
1、二次函数 y=-x2+58x-112 的二次项系数为－1，一次项系数为58，常数项－112。
2、二次函数y=πx2的二次项系数π,一次项系数0，常数项0。
做一做:
1.下列函数中,哪些是二次函数?
⑴y=x2； ⑵y=-； ⑶y=2x2-x-1； ⑷y=x(1-x)； ⑸y=(x-1)2-(x+1)(x-1)；
2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项？
⑴y=x2+1⑵ y=-3x2+7x-12 ⑶y=2x(1-x)

注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范围.
想一想:函数的自变量x是否可以取任何值呢?

二、典型例题
例1 ：如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等
的直角三角形 (图中阴影部分 )设AE=BF=CG=DH=x(cm)，四边形
EFGH的面积为y(cm2)，
求 :⑴ y关于 x的函数解析式和自变量x的取值范围 ;
⑵当 x分别为0.25，0.5，1，1.5，1.75时 ，对应的四
边形 EFGH的 面积，并列表表示.

变式训练：
1、用20米的篱笆围一个矩形的花圃（如图），设连墙的一边为x,
矩形的面积为y,求：
(1)写出y关于x的函数关系式.
(2)当x=3时,矩形的面积为多少?

例２：已知二次函数y=x²+px+q,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为-5, 用待定系数法求这个二次函数的解析式？

变式训练:
1、已知二次函数y=ax²+bx+3, 当x=2时,函数值为3, 当x= - 2时, 函数值为2, 求这个二次函数的解析试.

三、二次函数的图像
（一）回顾知识
前面我们在学习正比例函数、一次函数和反比例函数时是如何进一步研究这些函数的？
先用描点法画出函数的图像，再结合图像研究性质。
我们仿照前面研究函数的方法来研究二次函数，先从最特殊的形式即入手。现在我们来讨论二次函数（）的图像。
（二）探索图像
1、 用描点法画出二次函数 和图像
（1） 列表
x
…
-2

-1

0

1

2
…

…
4

1

0

1

4
…

…
-4
-
-1
-
0
-
-1
-
-4
…
仔细观察上表，思考一下问题：
①无论x取何值，对于来说，y的值有什么特征？对于来说，又有什么特征？
②当x取等互为相反数时，对应的y的值有什么特征？
（2） 描点（边描点，边总结点的位置特征，与上表中观察的结果联系起来）.
（3） 连线，用平滑曲线按照x由小到大的顺序连接起来，从而分别得到和的图像。
2、 练习：在同一直角坐标系中画出二次函数 和的图像。

3、二次函数（）的图像
由上面的四个函数图像概括出：
（1） 二次函数的图像形如物体抛射时所经过的路线，所以我们把它叫做抛物线，
（2） 这条抛物线关于y轴对称，y轴就是抛物线的对称轴。
（3） 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。注意：顶点不是与y轴的交点。
（4） 当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，图像在x轴的上方(除顶点外)；当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点图像在x轴的下方(除顶点外)。
（三）课堂练习
观察二次函数和的图像
(1) 填空：
抛物线

顶点坐标

对称轴

位 置

开口方向

(2)在同一坐标系内，抛物线和抛物线的位置有什么关系？如果在同一个坐标系内画二次函数和的图像怎样画更简便？

（四）例题讲解
1、已知二次函数（）的图像经过点（-2，-3）。
（1） 求a 的值，并写出这个二次函数的解析式。
（2） 说出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置。

变式训练：
1、已知抛物线经过点A（-2，-8）。
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。
（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。

四、本课小结
回顾一下，这节课我们学习了哪些内容了，你掌握了多少呢？

想一想:函数y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数)，当a,b,c满足什么条件时：
⑴它是二次函数？
⑵它是一次函数？
⑶它是正比例函数？

注意：①自变量的取值范围必须使其所在的代数式有意义；
②如果是实际问题，那么自变量的取值必须使实际问题有意义。

五、 课后练习
练习一：二次函数
1、 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s（米）与时间t（秒）的数据如下表：
时间t（秒）
1
2
3
4
…
距离s（米）
2
8
18
32
…
写出用t表示s的函数关系式.

2、 下列函数：① ；② ；③ ；
④ ；⑤ ，其中是二次函数的是 ，其中 ，
， 。

3、 当 时，函数（为常数）是关于的二次函数。

4、 当 时，函数是关于的二次函数。

5、正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．
　　(1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；
(2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积．

6、如图，矩形的长是 4cm，宽是 3cm，如果将长和宽都增加 x cm，
那么面积增加 ycm2，　
① 求 y 与 x 之间的函数关系式.
② 求当边长增加多少时，面积增加 8cm2.

7、已知二次函数当x=1时，y= -1；当x=2时，y=2，求该函数解析式.

8、富根老伯想利用一边长为a米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一排大小相等的长方形.
（1） 如果设猪舍的宽AB为x米，则猪舍的总面积S（米2）与x有怎样的函数关系？
（2） 请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为32米2，应该如何安排猪舍的长BC和宽AB的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？

练习二：二次函数的图像
1、 填空：
（1）抛物线的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ；
（2）抛物线的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小，当x= 时，该函数有最 值是 ；

2、 对于函数下列说法：①当x取任何实数时，y的值总是正的；②x的值增大，y的值也增大；③y随x的增大而减小；④图象关于y轴对称.其中正确的是 .

3、抛物线 y＝－x2 不具有的性质是（　　）
A、开口向下 B、对称轴是 y 轴 C、与 y 轴不相交 D、最高点是原点

4、苹果熟了，从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足 S＝gt2（g＝9.8），则 s 与 t 的函数图像大致是（　）
　s
t
O
　　　　s
t
O
　　　s
t
O
　　　s
t
O

　A　　　　　　　　　B　　　　　　　　　C　　　　　　　　　　D

5、 函数与的图象可能是（ ）
A． B． C． D．

6、 已知函数的图象是开口向下的抛物线，求的值.

7、 二次函数在其图象对称轴的左侧，y随x的增大而增大，求m的值.

8、 二次函数，当x1＞x2＞0时，求y1与y2的大小关系.

9、已知函数是关于x的二次函数，求：
（1） 满足条件的m的值；
（2） m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时x为何值时，y随x的增大而增大；
（3） m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x为何值时，y随x的增大而减小？

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