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地面点位的确定和坐标系

一、地球的形状和大小
测绘学科主要是研究测定和描绘地球及其表面的各种形态，地球整体的形状和大小直接与测量工作密切相关。地球的自然表面有高山、平原、海洋等起伏形态，是一个不规则的曲面。如图1-13：

珠穆朗马峰 8844.43米 马里亚那海沟 -11022m 海洋约占71%
图1-13 不规则的地球表面
地球上任一质点在静止状态下都同时受到两个作用力，即离心力和地球引力，其合力的作用线，称铅垂线。处于静止状态的水面，称水准面，其特点是表面处处与铅垂线垂直。与水准面相切的平面，叫水平面。设想全球海洋水面平静下来，形成“平均海水面”，并穿过大陆、岛屿而形成的团合曲面，称为大地水准面，并以此代表整个地球的实际形体。由于地球内部质量分布不均匀，引起铅垂线的方向产生不规则的变化，致使大地水准面的表面为不规则的、复杂的曲面。
测绘地形图需要由地球曲面变换为平面的地图投影，若这个曲面很不规则，则投影计算将十分困难。为了解决这个问题，我们选用一个非常接近于大地水准面的规则几何表面，来代替地球的形状，称为地球椭球面。

flash1-1 地球自然表面、大地水准面及地球椭球
图中：长轴a= 6378137m
短轴b= 6356752m
扁率：    （1-1）
由于地球椭球的扁率甚小，当测区范围不大时，可近似把地球看成圆球，其半径按下式计算：    （1-2）

 二、确定地面点位的坐标系
测量工作的基本任务是确定地面点的位置。地面点的空间位置须用三维坐标来表示。在测量工作中，一般将点的空间位置用球面或平面位置（二维）和高程（一维）来表示，它们分别属于大地坐标系、平面直角坐标系和高程系统；在卫星测量中，用到三维空间直角坐标系。在各种坐标系之间，对于地面点的坐标和各种几何元素可以进行换算。
（一）大地坐标系
大地坐标系又称“地理坐标系”是用大地经度 L、纬度B 表示该点的水平位置，用地面点到地球椭球面上投影点的法线距离表示该点的大地高程（H）。如图1-14.

图1-14大地坐标系
（二）空间三维直角坐标系（地心坐标系）
空间三维直角坐标系是以地球椭球的中心（即地球质心）O为坐标原点， 起始子午面与赤道平面的交线为X轴，地球自转轴为Z轴，Y轴与X、Z轴构成右手坐标系。如图1-15.

图1-15 空间三维直角坐标系
（三）地区平面直角坐标系
当测区范围（如半径不大于 10km ）较小时，可把测区的地表一小块球面当作平面看待。将坐标原点选在测区西南角，使测区内各点的坐标均为正值。如图1-16， 以该地区中心的子午线作为纵轴x轴，且向北为正；横轴为y轴，且向东为正。象限名称按顺时针方向编号 。

图1-16独立平面直角坐标系
（四）高斯平面直角坐标系
当测区面积较大，就不能把水准面当作水平面，测量工作中，此时常采用高斯投影法。即将地球表面从首子午线起，每隔经度    划为一带（称为    带），如图1-17，自西向东分为60个带。则任一带中央的子午线的经度为
   （1-3）
式中，    为投影带号

图1-17高斯投影分带
采用高斯投影时，设想用一个空心椭圆柱与地球椭球体的某一带的中央子午线相切，如Flash1-2，在球面图形与柱面图形保持等角的条件下，将球面图形投影在柱面上。然后将柱体沿着通过南、北极的母线切开，并展开成平面。

  Flash1-2 高斯投影基本原理
在上述平面上，中央子午线与赤道成为相互垂直的直线，分别作为高斯平面直角坐标系的纵轴（X轴）和横轴（Y轴），两轴的交点O作为坐标的原点。如图1-18。

图1-18高斯投影
将投影后的6度带一个个拼接起来，便得到如图1-19所示图形。

图1-19 6度带中央子午线及带号
为了能确定某点在哪一个6度带内，于是在横坐标前冠以带的编号。设A点位于第20带内，则其横坐标值    ，纵坐标值仍为    。
   带投影后，其边缘部分的变形能满足1：25000或更小比例尺测图的精度，当进行1：10000或更大比例尺测图时，要求投影变形更小，可采用    带投影法或    带投影法。
3度带投影法适用投影变形更小，精度要求更高的投影，如图1-20，每经差3度划分一带，将地球划分成120个带。起始点经度为    ，则任意带中央子午线的经度为：
   （1-4）
n—投影带号

图1-20 六度带和三度带
｛五）坐标换算
地面上同一点的大地坐标、空间三维直角坐标系和高斯平面直角坐标之间，均可以根据其数学关系进行坐标换算。这些是大地测量学的内容。这里仅介绍属于平面直角坐标系的建筑坐标系与城市坐标系之间的坐标换算。
建筑坐标系的坐标轴与建筑物主轴线一般一致或平行。 如图1-21，设XOY为城市坐标系的坐标轴，    为建筑坐标系的坐标轴。如果已测定建筑坐标系的原点在城市坐标系中的坐标    和建筑坐标系的纵轴在城市坐标系中的坐标方位角    ，则可进行坐标换算。

图1-21建筑坐标和城市坐标的换算
设已知P点的建筑坐标为    ，可按下式换算为城市坐标    ： （1-5）
如果已知P点的城市坐标    ，可按下式换算为建筑坐标为    ：
（1-6）
（五）高程系
地面点到大地水准面的铅垂距离,称为绝对高程（简称高程，又称海拔）。如图1-22中A,B两点的高程分别为    。

图1-22 高程和高差
海水受潮汐和风浪的影响，是个动态的曲面。为了统一全国的高程系统，我国在青岛设立验潮站，如图1-23，长期观察黄海海水面的高低变化，取其平均值作为大地水准面的位置（其高程为零），并在青岛建立了水准原点，其高程为 72.260m ，称为“1985年国家高程基准”。全国各地的高程都以它为基准进行测算。

图1-23 青岛验潮站
在局部地区，有时需要一个假定水准面。地面点到该水准面的铅垂距离。称为假定高程或相对高程。如图1-22中，A,B两点的相对高程分别为    。

Flash1-3 绝对高程与假定高程
地面上两点间绝对高程或相对高程之差称为高差，用h表示。如图1-22中，A,B两点间的高差为
   。 （1-7）
注意：    应是绝对值相等而符号相反。
  三、确定地面点平面位置的方法
（一）地面点的相对平面位置
任意两点在平面直角坐标系中的相对位置，可用以下两种方法确定：
（1）        直角坐标表示法——用两点间的坐标增量    表示。如图1-24中1、2两点的坐标分别为    ，则1、2两点的坐标增量为：
                                        （1-8）

图1-24 点的平面直角坐标和坐标增量
（2）极坐标表示法——用两点连线的坐标方位角    和水平距离（边长）    表示。
如图1-25中1点至2点的坐标方位角为    和水平距离    。

图1-25 点的极坐标
(二）坐标正算和坐标反算
（1）坐标正算
若两点间的平面位置关系由极坐标化为直角坐标，称为“坐标正算”，即按两点间的坐标方位角    和水平距离    ，用下式计算两点间的坐标增量    ：
     （1-9）
（2）坐标反算（即直角坐标化为极坐标）
若两点间的平面位置关系由直角坐标化为极坐标，称为“坐标反算”，即按两点间的坐标增量    用下式计算两点间的坐标方位角    和水平距离    ：  
（1-10）
（1-11）
（三）极坐标法定点位
在工程测量和地形测量中，用极坐标法测定地面点的平面位置是最常用的方法。

图1-26 地面点的极坐标法定位
如图1-26所示，设A，B为坐标已知的点，C为待定其坐标的点。测量A，C点之间的水平距离    和AB，AC方向间的水平角    。首先按上述坐标反算公式计算AB边的坐标方位角    ，按    和水平角    计算AC边的坐标方位角    ，再按坐标正算公式计算A，C的坐标增量    ，最后，按已知点A的坐标和A，C的坐标增量计算C点的坐标：
   （1-12）
   （1-13）

每节一问：何谓大地水准面？
答案：把静止的平均海水面延伸，穿过大陆、岛屿而形成的团合曲面，称为大地水准面。
每节一问:何谓绝对高程和相对高程？
答案：地面点到大地水准面的铅垂距离,称为绝对高程。地面点到假定水准面的铅垂距离，相对高程。