中考必备：三角形的五个“心”及一些平面几何的著名定理.doc

A

E
F
O
C
B D

三角形的五个“心”
一、重心：（又叫中心）
1．重心：三角形的三条中线交于一点，这点就是三角形的重心。
2. 重心定理：（1）一个三角形三条边上的中线必交一点；
证明：找AB中点F，AC中点E，连接这两条中线交于点O，连接AO并延长，交BC于点D，可得S三角形ABE=S三角形ACF=1/2×S三角形ABC（同底同高），得S三角形BOF=S三角形COE（两三角形同减S四边形AEOF），得S三角形AOB=S三角形AOC（都为上面两三角形面积的两倍），得B到AD和C到AD的距离h相等（面积相等，底相等），所以S三角形BOD=S三角形COD（同底OD，等高h），所以BD=CD（面积相等，高相等），即D为BC中点，所以三角形三条中线交于一点。
A

H F
D G

C
B E

（2）三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。
证明：方法一
△ABC，AB、BC、CA中点分别为D、E、F，交于一点G。
∴DF//BC，DF=BC/2 ①（中位线定理）。
∴△ADF∽△ABC, E为BC中点，∴H为DF中点（可证AH／AE=DH／BE=HF／EC, BE=EC, ∴DH=HF)
∴HF=DF／2 , BE=BC／2， 又可由①知HF=BE／2
∴HF//BE. 又∵∠BGE=∠FGH。
∴△BGE∽△FGH ∴BG/GF=BE/HF=2。

∴BG=（2/3）BF
方法二：（简单）
如图：△ABC的中线AD、BE交于G（G为重心），求证：AG=2GD
证明：取C0的中点H，取BO中点G，连接GH
则GH=1/2BC 且GH//BC [中位线定理]
又E是AB的中点，D是AC中点
则ED=1/2BC 且ED//BC [中位线定理]
则 GH=ED 且GH//ED
则角EDO=角OGH
又角DOE=GOH 且ED=HG
所以△DEO全等于△GHO
所以DO=GO ---> DO=GO=BG --->BO:OD=2∶1 --->AG=2GD
二、内心：
1．定义：三角形的三内角平分线交于一点，该点叫做三角形的内心。（即内切圆圆心）
诠释：（1）和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心。这个三角形叫做圆的外切三角形。（2）一个三角形有且只有一个内切圆。
2．内心定理：
（1）三角形三个内角的平分线必交一点；（2）内心到三条边的距离都相等；
证明：设∠A平分线与∠B平分线交于O点，则O点到AB，AC的距离相等；O点到BC，BA距离相等，所以O点到AC，BC距离相等，所以点O在∠C的角平分线上，所以三角形三条角平分线交于一点。

（3）内切圆的半径公式：r =√[s(s-a)(s-b)(s-c)] / s= S三角形ABC /s，s为三角形周长一半 [ s=1/2*（a+b+c）]。
证明：设S=1/2*(a+b+c)，内切圆半径为r, a、b、C分别角A、B、C的对边。连结AO、BO、CO形成了三个三角形，S三角形ABC= S三角形ABO + S三角形BCO + S三角形ACO = 1/2*（a+b+c）* r = s*r
据海伦公式：S三角形ABC=√[s(s-a)(s-b)(s-c)] 所以r=S三角形ABC /s
三、垂心：
1．定义：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。
3.垂心定理：三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心。
证明： 连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90°,且在AB同旁， ∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE （同弧上的圆周角相等） ∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC ＝Rt∠ ∴△AEO∽△ADC ∴AE/AO=AD/AC ∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 又∵∠ABE+∠BAC=90° ∴∠ACF+∠BAC=90° ∴CF⊥AB 。这说明了，经过O点的CF就是AB边的高。∴三角形的三条边的垂线交于一点.
四、外心：
1．定义：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。

2．外心定理：（1）三角形三垂直平分线必交于一点
（2）三角形的垂心到三角形各顶点的距离相等。
（3）三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL.
证明：如图，O为外心，P为垂心。
延长AO交圆儿于F，延长AP交圆于Q。
AF为直径AO为半径，2 OE=BF。
由于OE与CP都垂直于AB，（且角C为AB弧度圆周角，角AOE为AB弧度圆心角的一半，相等）△AEO相似于△ACR（垂足忘标了），角BAF等于角CAQ.
在圆周上，BF=CQ。

由于AF为直径，角B+角BCQ=90°，由于CP为垂足，角B+角2也等于90°。（角1标错了）
叫BCQ=角2。CB为QP的垂直平分线，CP=CQ。
所以CP=BF，CP=2 OE。结论达成。
五、旁心：
1．旁心：三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。该点叫做三角形的旁心。
一个三角形有三个旁心。
2．旁心定理：（1）三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线必定交于一点
（2）当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。

一些平面几何的著名定理
  1．勾股定理（毕达哥拉斯定理）    2．射影定理（欧几里得定理）  
  3．三角形的三条中线交于一点，并且，各中线被这个点分成2：1的两部分  
  4．四边形两边中心的连线与两条对角线中心的连线交于一点  
  5．间隔的连接六边形的边的中心所作出的两个三角形的重心是重合的。  
  6．三角形各边的垂直平分线交于一点。    7．三角形的三条高线交于一点  
  8．设三角形ABC的外心为O，垂心为H，从O向BC边引垂线，设垂足为L，则AH=2OL  
  9．三角形的外心，垂心，重心在同一条直线（欧拉线）上。  
  10．（九点圆或欧拉圆或费尔巴赫圆）三角形中，三边中心、从各顶点向其对边所引垂线的垂足，以及垂心与各顶点连线的中点，这九个点在同一个圆上，  
  11．欧拉定理：三角形的外心、重心、九点圆圆心、垂心依次位于同一直线（欧拉线）上  
  12．库立奇*大上定理：（圆内接四边形的九点圆）  
  圆周上有四点，过其中任三点作三角形，这四个三角形的九点圆圆心都在同一圆周上，我们把过这四个九点圆圆心的圆叫做圆内接四边形的九点圆。  
  13．（内心）三角形的三条内角平分线交于一点，内切圆的半径公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s为三角形周长的一半  
  14．（旁心）三角形的一个内角平分线和另外两个顶点处的外角平分线交于一点  
  15．中线定理：（巴布斯定理）设三角形ABC的边BC的中点为P，则有AB2+AC2=2(AP2+BP2)  
  16．斯图尔特定理：P将三角形ABC的边BC内分成m:n，则有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2  
  17．波罗摩及多定理：圆内接四边形ABCD的对角线互相垂直时，连接AB中点M和对角线交点E的直线垂直于CD  
  18、阿波罗尼斯定理：到两定点A、B的距离之比为定比m:n（值不为1）的点P，位于将线段AB分成m:n的内分点C和外分点D为直径两端点的定圆周上    
19．托勒密定理：设四边形ABCD内接于圆，则有AB×CD+AD×BC=AC×BD  
 20．以任意三角形ABC的边BC、CA、AB为底边，分别向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，则△DEF是正三角形，  
  21．爱尔可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，则由线段AD、BE、CF的中心构成的三角形也是正三角形。  
  22．爱尔可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，则由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心构成的三角形是正三角形。  
  23．梅涅劳斯定理：设△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线和一条不经过它们任一顶点的直线的交点分别为P、Q、R则有    BPPC×CQQA×ARRB=1  
  24．梅涅劳斯定理的逆定理：（略）  
  25．梅涅劳斯定理的应用定理1：设△ABC的∠A的外角平分线交边CA于Q、∠C的平分线交边AB于R，、∠B的平分线交边CA于Q，则P、Q、R三点共线。  
  26．梅涅劳斯定理的应用定理2：过任意△ABC的三个顶点A、B、C作它的外接圆的切线，分别和BC、CA、AB的延长线交于点P、Q、R，则P、Q、R三点共线  
  27．塞瓦定理：设△ABC的三个顶点A、B、C的不在三角形的边或它们的延长线上的一点S连接面成的三条直线，分别与边BC、CA、AB或它们的延长线交于点P、Q、R，则BPPC×CQQA×ARRB()=1.  
  28．塞瓦定理的应用定理：设平行于△ABC的边BC的直线与两边AB、AC的交点分别是D、E，又设BE和CD交于S，则AS一定过边BC的中心M    29．塞瓦定理的逆定理：（略）  
  30．塞瓦定理的逆定理的应用定理1：三角形的三条中线交于一点    31．塞瓦定理的逆定理的应用定理2：设△ABC的内切圆和边BC、CA、AB分别相切于点R、S、T，则AR、BS、CT交于一点。  
  32．西摩松定理：从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线，设其垂足分别是D、E、R，则D、E、R共线，（这条直线叫西摩松线）  
  33．西摩松定理的逆定理：（略）  
  34．史坦纳定理：设△ABC的垂心为H，其外接圆的任意点P，这时关于△ABC的点P的西摩松线通过线段PH的中心。  
  35．史坦纳定理的应用定理：△ABC的外接圆上的一点P的关于边BC、CA、AB的对称点和△ABC的垂心H同在一条（与西摩松线平行的）直线上。这条直线被叫做点P关于△ABC的镜象线。  
  36．波朗杰、腾下定理：设△ABC的外接圆上的三点为P、Q、R，则P、Q、R关于△ABC交于一点的充要条件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2∏).  
  37．波朗杰、腾下定理推论1：设P、Q、R为△ABC的外接圆上的三点，若P、Q、R关于△ABC的西摩松线交于一点，则A、B、C三点关于△PQR的的西摩松线交于与前相同的一点  
  38．波朗杰、腾下定理推论2：在推论1中，三条西摩松线的交点是A、B、C、P、Q、R六点任取三点所作的三角形的垂心和其余三点所作的三角形的垂心的连线段的中点。  
  39．波朗杰、腾下定理推论3：考查△ABC的外接圆上的一点P的关于△ABC的西摩松线，如设QR为垂直于这条西摩松线该外接圆珠笔的弦，则三点P、Q、R的关于△ABC的西摩松线交于一点  
  40．波朗杰、腾下定理推论4：从△ABC的顶点向边BC、CA、AB引垂线，设垂足分别是D、E、F，且设边BC、CA、AB的中点分别是L、M、N，则D、E、F、L、M、N六点在同一个圆上，这时L、M、N点关于关于△ABC的西摩松线交于一点。  
  41．关于西摩松线的定理1：△ABC的外接圆的两个端点P、Q关于该三角形的西摩松线互相垂直，其交点在九点圆上。  
  42．关于西摩松线的定理2（安宁定理）：在一个圆周上有4点，以其中任三点作三角形，再作其余一点的关于该三角形的西摩松线，这些西摩松线交于一点。  
  43．卡诺定理：通过△ABC的外接圆的一点P，引与△ABC的三边BC、CA、AB分别成同向的等角的直线PD、PE、PF，与三边的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线。  
  44．奥倍尔定理：通过△ABC的三个顶点引互相平行的三条直线，设它们与△ABC的外接圆的交点分别是L、M、N，在△ABC的外接圆取一点P，则PL、PM、PN与△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线  
  45．清宫定理：设P、Q为△ABC的外接圆的异于A、B、C的两点，P点的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，QU、QV、QW和边BC、CA、AB或其延长线的交点分别是D、E、F，则D、E、F三点共线    46．他拿定理：设P、Q为关于△ABC的外接圆的一对反点，点P的关于三边BC、CA、AB的对称点分别是U、V、W，这时，如果QU、QV、QW与边BC、CA、AB或其延长线的交点分别为ED、E、F，则D、E、F三点共线。（反点：P、Q分别为圆O的半径OC和其延长线的两点，如果OC2=OQ×OP 则称P、Q两点关于圆O互为反点）  
  47．朗古来定理：在同一圆同上有A1B1C1D14点，以其中任三点作三角形，在圆周取一点P，作P点的关于这4个三角形的西摩松线，再从P向这4条西摩松线引垂线，则四个垂足在同一条直线上。  
  48．九点圆定理：三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点[连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点]九点共圆[通常称这个圆为九点圆[nine-point circle],或欧拉圆，费尔巴哈圆。  
  49．一个圆周上有n个点，从其中任意n-1个点的重心，向该圆周的在其余一点处的切线所引的垂线都交于一点。  
  50．康托尔定理1：一个圆周上有n个点，从其中任意n-2个点的重心向余下两点的连线所引的垂线共点。  
  51、康托尔定理2：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N两点，则M和N点关于四个三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一个的两条西摩松的交点在同一直线上。这条直线叫做M、N两点关于四边形ABCD的康托尔线。  
  52、康托尔定理3：一个圆周上有A、B、C、D四点及M、N、L三点，则M、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、L、N两点的关于四边形ABCD的康托尔线、M、L两点的关于四边形ABCD的康托尔线交于一点。这个点叫做M、N、L三点关于四边形ABCD的康托尔点。  
  53、康托尔定理4：一个圆周上有A、B、C、D、E五点及M、N、L三点，则M、N、L三点关于四边形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一个康托尔点在一条直线上。这条直线叫做M、N、L三点关于五边形A、B、C、D、E的康托尔线。  
  54、费尔巴赫定理：三角形的九点圆与内切圆和旁切圆相切。    55、莫利定理：将三角形的三个内角三等分，靠近某边的两条三分角线相得到一个交点，则这样的三个交点可以构成一个正三角形。这个三角形常被称作莫利正三角形。  
  56、牛顿定理1：四边形两条对边的延长线的交点所连线段的中点和两条对角线的中点，三条共线。这条直线叫做这个四边形的牛顿线。  
  57、牛顿定理2：圆外切四边形的两条对角线的中点，及该圆的圆心，三点共线。  
  58、笛沙格定理1：平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。  
  59、笛沙格定理2：相异平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。  
  60、布利安松定理：连结外切于圆的六边形ABCDEF相对的顶点A和D、B和E、C和F，则这三线共点。  
  61、巴斯加定理：圆内接六边形ABCDEF相对的边AB和DE、BC和EF、CD和FA的（或延长线的）交点共线。  
  62．秦九韶——海伦公式：已知三角形三边：a,b,c计算三角形面积S  
  S为根号下：p(p-a)(p-b)(p-c) p为该三角形周长的一半  
  63．帕斯卡定理：内接于一个非退化二阶曲线的简单六边形的三对对边的交点共线，这条直线称为帕斯卡直线。

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