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中学物理力学求极值的常用方法
湖南省衡南县第九中学 吴昱 18975458201
一、知识要点
1．极值问题：指极小值和极大值。 注：极值不一定是最值。
2．求极值问题的两个途径：
物理过程或物理状态的极值通常与某一临界值有关，巧妙地建立一个含极值条件的物理模型，则可快捷地解决问题。
（1）物理方法：从物理过程的分析着手求解极值问题。
（2）数学方法：从数学方法角度思考，借助于代数、函数或函数图像知识求解极值问题。
二、应试策略
1．用二次函数求极值的方法求极值
一元二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0），当x=-时，y有极小值y极=，用a>0时y有极小值，a<0时y有极大值。
例1．一辆小汽车从静止开始以3 m/s2的加速度行驶，恰有一自行车以6m/s的速度从车旁边匀建驶过
(1)汽车从开始运动后在追上自行车之前经多多长时间两者距最远？此最远距离是多少’
(2)汽车什么时候追上自行车？此时汽车的速度是多少？
解析：设汽车在追上自行车之前经t时间两车相距最远，则△S＝S2-S1，S2=V0t，
得
(1)当时，△S极=或
(2)汽车追上自行车时两车位移相等，即△S＝0，得t’=4s。vt=at’=12m/s
答案：(1)2S，6m；(2)12m/s。---可以利用配方法求解
点评：本题可以用v-t图象求解，也可以用相距最远时二者速度相等这个结论来求解。
2．利用一元二次方程根的判别式求极值
将二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0），转化为二次方程ax2＋bx＋c －y=0，其判别式Δ＝b2－4aC≥0，x有实数解，若y≥A，则ymin＝A；若y≤A，则ymax＝A。Δ≤0，方程无实数解。
例2．一个质量为M的圆环，用细线悬挂着。将两个质量为m的有孔的小珠套在环上，且可沿环无摩擦滑动，如图所示。今将两小珠从环的顶端由静止开始释放。证明，当m>M时，圆环能升起。
证明：取小球为研究对象，受力如图（a），由牛顿第二定律，得mgcosθ＋N=
由动能定理得 mgR（1－cosθ）＝mv2
由此二式得 N=2mg－3mgcosθ  
上式中，N>0，即 cosθ<
以环为研究对象，受力图如（b），在竖直方向，由牛顿第二定律，有 T+2N’cosθ—Mg=Ma
当环恰好能上升时，a=0，可得 2N’cosθ=Mg 
N’与N为作用力与反作用力，则2（2mg－3mgcosθ）cosθ=Mg
即6mcos2θ－4mcosθ+M=0 
上式是关于cosθ的一元二次方程，cosθ为实数，则△≥0，即（4m）2－4（6m）M≥0，可得m≥M 
当m=M时，T恰好为零，但不升起，所以取m>M为升起条件。
3．利用三角函数求极值
用三角函数求极值，实际上是应用了正、余弦函数的有界性。
①利用倍角公式将y＝Asin转化为y＝Asin2α的形式，当＝45º时，y有极大值。
②将三角函数y＝asinθ+bcosθ，转化成的形式，再利用其有界性求解。
例3．质量为m的物体，在与水平方向成θ斜向上拉力F牵引沿水平地面上匀速直线运动。已知物体与地面间的滑动摩擦系数为μ，求力F的最小值及角θ。
解析。物体受力情况如图，根据牛顿第二定律得
FN
G
f
F
θ
Fcosθ－f＝0
FN＋Fsinθ－mg=0
f＝μN
解得：F＝
可写成，其中
则时，F有最小值，此时，
答案：；
点评：利用三角函数的有界性求极值，是中学物理常用的解题方法。
4．利用图象法求极值
通过对物理过程的分析和所遵守的物理规律，找出相关变量之间的函数关系，作出物理图象，由图象再求得极值。通常要用到图象斜率、面积、截距、交点的物理意义等。
例4．甲、已两光滑斜面高度相同，乙斜面的总长度和甲斜面的总长度相同，只是由两部分组成如图所示，将两个相同的小球从两斜面的顶端同时释放，不计在拐角处的能量损失，则哪一个小球先滑到底端？
解析：小球沿甲斜面OB做匀加速运动，设其加速度大小为a1，小球沿乙斜面OD段、DE段分别做匀加速运
V
V
t
t1
t2
B
E
D
O
a22
a3
a1
动，设其加速度大小分别为a2和a3,由图象和a=gsinθ可知a3<al<a2．
由机械能守恒定律可知，两小球到达斜面底端时的速率大小相等，且通过的路程（即斜面的总长度）相等．可用速率 时间图象求解。作两小球分别沿甲、乙两斜面运动的速率一时间图象如图所示。
因为速率一时间图线的斜率表示小球加速度的大小，图线与时间轴所围成的面积表示小球所通过的路程，则四边形ODEt乙与三角形0Bt甲面积相等时，显然有t乙<t甲。即沿乙斜面的小球先滑到底端。
答案：沿乙斜面的小球先滑到底端。
点评：本题抓住两球的路程相等，利用v-t图斜率和面积的物理意义解决了时间的最小值问题。
5．利用作图法求极值
把复杂的物理过程或各物理量间的关系用几何图形表示，将物理问题转化为几何问题加以解决。
例5．有一小船位于60m宽的河边，从这里起在下游80m处河流变成瀑布。假设河水流速为5m/s，为了使小船能安全渡河，船相对于静水的速度不能小于多少？
V合
O
A
V水
60m
θ

80m
V船
解析：设水速为V水，船速为V船，船对岸的实际速度为V合。为使小船到达对岸而不至滑过瀑布A处，过O作船合速度的方向OA和水速V水，如图所示，由几何关系可知V水与V合垂直时，V船最小，V船方向与岸夹角应为θ。
由几何关系得 ，θ＝53°

答案：3m/s，方向与岸成53°角斜向上游。
点评：本例巧妙利用作图法解决了渡河问题中的极值问题，也是V船<V水时航程最小的解决办法，其思路缘于力的分解。作图法的优点是直观形象，便于定性分析和定量计算。
6．利用基本不等式求极值
设a、b均为正数，则
d
d
O
①若ab= C（常数），当a=b时取等号，即a+b有极小值；
②若a+b=C（常数），当a=b时取等号，即ab有极大值。
例6．（2010年高考重庆卷，24）小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离d后落地，如题图所示。已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为d，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力。
（1）求绳断时球的速度大小V1和球落地时的速度大小V2。
（2）向绳能承受的最大拉力多大？
（3）改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少？最大水平距离为多少？
解析：（1）设绳段后球飞行时间为t，由平抛运动规律，有竖直方向，水平方向
得
由机械能守恒定律，有 ，得
（2）设绳能承受的最大拉力大小为T，这也是球受到绳的最大拉力大小。
球做圆周运动的半径为，由圆周运动向心力公式，有 ，得
（3）设绳长尾l，绳断时球的速度大小为，绳承受的最大推力不变，
有 得
绳断后球做平抛运动，竖直位移为，水平位移为x，时间为，有
得
当时，有极大值，
答案：（1），；（2）（3）当时，有极大值，。
例7．（2010年高考江苏卷，14）(16分)在游乐节目中，选手需要借助悬挂在高处的绳飞越到水面的浮台上，小明和小阳观看后对此进行了讨论。如图所示，他们将选手简化为质量m=60kg的指点， 选手抓住绳由静止开始摆动，此事绳与竖直方向夹角α＝30°，绳的悬挂点O距水面的高度为H=3m.不考虑空气阻力和绳的质量，浮台露出水面的高度不计，水足够深。取中立加速度 g＝10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6
（1）求选手摆到最低点时对绳拉力的大小F；
（2）若绳长l=2m, 选手摆到最高点时松手落入手中。设水对选手的平均浮力f1＝800N，平均阻力f2＝700N，求选手落入水中的深度d；
（3）若选手摆到最低点时松手， 小明认为绳越长，在浮台上的落点距岸边越远；小阳认为绳越短，落点距岸边越远，请通过推算说明你的观点。
解析（1）动能定理 ，圆周运动 F′－mg＝m
解得F′＝（3－2cos）mg
人对绳的拉力 F＝F′，则 F＝1080N
（2）动能定理 mg（H－lcos＋d）－（f1＋f2）d＝0 ，则d=，解得 d=1.2m
(3)选手从最低点开始做平抛运动x=vt， H-l=
解得
当时，x有最大值，解得l=1.5m
因此，两人的看法均不正确。当绳长钺接近1.5m时，落点距岸边越远。
答案：（1）1080N；（2）1.2m；（3）当时，有极大值1.5m，两人的看法均不正确。
三、对应练习
750
F
θ
O
1．（2010届福建省泉州市高三四校联考）如图所示，一小球用轻绳悬于O点，用力F拉住小球，使悬线保持偏离竖直方向750角，且小球始终处于平衡状态。为了使F有最小值，F与竖直方向的夹角θ应该是
A．900 B．450 C．150 D．00
答案：C。
H
O
a
S
2．（2010年江苏苏锡常镇高三调研, 5）如图所示，有一光滑的半径可变的圆形轨道处于竖直平面内，圆心O点离地高度为H。现调节轨道半径，让一可视为质点的小球a从与O点等高的轨道最高点由静止沿轨道下落，使小球离开轨道后运动的水平位移S最大，则小球脱离轨道最低点时的速度大小应为
A． B． C． D．
解析：设圆形轨道的半径为R，则抛出时的速度；
小球做平抛运动时，
解得 ，可知当R＝H－R即R＝0.5H时，S有最大值，可解得V0＝。
答案：A。
3．公共汽车由停车站从静止出发以2m/s2的加速度做匀加速运动，这时一辆载重汽车从后面超过公共汽车，载重汽车以10m/s的速度匀速前进。问：经过多长时间公共汽车能追上载重汽车？经过多长时间两车相距最远？相距最远时两车之间的距离是多少？
解法二：解析法
公共汽车作初速度为零的匀变速直线运动，则 x1＝at2＝t2
载重汽车作匀速直线运动 x2＝Vt＝10t
△x＝x2－x1＝10t－t2
（1）当△x＝0时公共汽车追上载重汽车，得t＝10S或t＝0（舍去）
（2）当t＝－＝5（S）时，△x有极值，即△x＝＝25（m）
解法二：利用运动图象求解
因为公共汽车是做初速度零、加速度2m/s2的匀加速度运动，而载重汽车是做匀速直线运动，且同时目向运动，它们的速度-时间图象如图示。速度时间图线与时间轴所围成面积表示物体通过的位移。由图可知：当t＝O时，△OAD的面积等于矩形OCBD的面积，故两车所通过的位移相等，即两车相遇。当两车速度相等，即t＝5s时两车相距最远，最远距离是 ，解得其值为25m。
答案：25m。
4．如图所示，用力F拉一物体在水平地面上匀速前进，物体的质量为m，物体与地面间的动摩擦因数为μ，欲使F为最小，则F应与竖直方向成多大的夹角？最小的力为多大？
解析：设F与竖直方向的夹角为θ，物体匀速前进则有

即
其中，当时，F有最小值

答案：，
四、巩固加深
m
2m
m
2m
F
1．（2007年高考江苏，6）如图所示，光滑水平面上放置质量分别为m和2m的四个木块，其中两个质量为m的木块间用一不可伸长的轻绳相连，木块间的最大静摩擦力是μmg。现用水平拉力F拉其中一个质量为2 m的木块，使四个木块一同一加速度运动，则轻绳对m的最大拉力为
A． B． C． D．
解析：将用线关联的两个小m和后面的2m看成一个整体，且前一个m所受静摩擦力达到最大值时，根据牛顿第二定律得
μmg＝4ma
单独分析前面的m可得 μmg－T＝ma
解得 T＝
答案：B。
2．火车以速率V1行驶，司机突然发现前方同一轨道上距离S处有另一辆火车沿相同方向以较小的速率V2做匀速运动。于是司机立即制动，使火车作匀减速运动，加速度大小为a．要使两车不相撞，求加速度a应满足的条件。
解析：设经过时间t两车相遇，则有
即
为使两车不相撞，则上个方程应无解，即
解得
答案：
点评：本题也可以用临界条件求解：当两车速度相等时，它们之间的距离恰好为0。
3．如图所示，物体静止在光滑水平面上，受到一个水平恒力F1的作用，要使物体在水平面上沿OA方向作直线运动，OA与水平方向成θ角，则对物体施加的这个力F2的最小值是多大？方向如何？
 解析：根据力的平行四边形定则，物体受到的合力沿0A方向，则另一个力F2有大小、方向不同的若干个解，在这些解的当中有一个最小值，这个力的方向与合力方向垂直。如图所示。由几何关系可得F2=F1sinθ。
答案：F2=F1sinθ，方向与合力方向垂直。
H
L
h
A
B
4．（2010年高考浙江卷，22）在一次国际城市运动会中，要求运动员从高为H的平台上A点由静止出发，沿着动摩擦因数为滑μ的轨道向下运动到B点后水平滑出，最后落在水池中。设滑道的水平距离为L，B点的高度h可由运动员自由调节（取g=10m/s2）。求：
（1）运动员到达B点的速度与高度h的关系；
（2）运动员要达到最大水平运动距离，B点的高度h应调为多大？对应的最大水平距离SBH为多少？
（3若图中H＝4m，L＝5m，动摩擦因数μ＝0.2，则水平运动距离要达到7m，h值应为多少？
解析：（1）设斜面长度为L1，斜面倾角为α，根据动能定理
即 ，
（2）根据平抛运动公式 X=vot ，h=gt2 ，得
（3）令x=2m ,H=4m,L=5m, =0.2，可得到：—h2+3h-1=0
求出，
答案：（1）；（2）；（3）2.62m，0.38m。
附加题1．DFN/N
x/m
0
5
10
5
10
15
（09年江苏罗庚中学月考试题）如图所示，在同一竖直平面内的两正对着的相同半圆光滑轨道，相隔一定的距离，虚线沿竖直方向，一小球能在其间运动，今在最高点A与最低点B各放一个压力传感器，测试小球对轨道的压力，并通过计算机显示出来，当轨道距离变化时，测得两点压力差与距离x的图像如图，g取10 m/s2，不计空气阻力，求：
（1）小球的质量为多少？
（2）若小球的最低点B的速度为20 m/s，为使小球能沿轨道运动，x的最大值为多少？
解析（1）设轨道半径为R，根据机械能守恒定律
在B点： ， 在A点：
两点压力差： , 由图象截距得 ，即
（2）因为图线的斜率得
　　在A点不脱离的条件为： ， 解得：
答案：0.05Kg;17.5m。
附加题2．在平直公路上，有甲、乙两辆汽车，初始时甲车在前乙车在后，它们相距为x0＝100m，不计汽车长度。若甲车以V1＝20m/s的初速度开始做匀加速直线运动，同时乙车以V2＝30m/s的初速度开始做匀加速直线运动，加速度为a2＝0.40m/s2。求加速度a1分别为何值时，甲、乙两车不相遇或相遇一次或相遇两次？
解法一：设经历时间t时甲、乙两车相遇，则有
即
若a1＝0.40m/s2，t＝10s时相遇一次；
若a1≠0.40m/s2，由二次方程的求根公式可知
当a1<0.40m/s2时，t有两个实数解，一正一负，负值不台题意舍去，相遇一次；
当t有两个正实数解，相遇两次；
当a1＝0.9m/s2时，t＝20s，相遇一次；
当a1>0.9m/s2时，t无实数解，不相遇。
解法二：选甲车为参照物，则需要将甲车的速度和加速度都反加给乙，那么
乙车相对甲车的初速为V0＝V2－V1＝10 m/s，加速度a＝a2－a1＝(0.4－ a1) m/s2
得x0＝V0t＋at2，即(0.4－ a1) t2＋10t－100＝0
当a1< 0.4 m/s2时，乙车相对甲车做匀加速直线运动，相遇一次；
当a1＝0.4 m/s2时，乙车相对甲车做匀速直线运动，相遇一次；
当a1> 0.4 m/s2时，乙车相对甲车先做匀减速直线运动，后做反方向的匀加速直线运动，速度为0时两车间距最大：

当0.40m/s2< a1<0.9m/s2时，x>x0＝ 100m，两车相遇两次；
当a1＝0.9m/s2n时，x＝x0＝100m，两车相遇一次；
当a1>0.9m/s2时，x<x0＝100m，两车不相遇。
答案：当a1≤0.40m/s2或a1＝0.9m/s2时，两车相遇一次；当0.40m/s2< a1<0.9m/s2时，两车相遇两次；当a1>0.9m/s2时，两车不相遇。
O
附加题3．一轻绳固定在O点，另一端拴一小球，如图所示。拉起小球使轻绳水平，然后无初速度释放在小球运动到轻绳到达竖直位置的过程中，小球所受重力的功率何时最大？最大值是多少？
解析：如图所示，当小球运动到与竖直方向成θ角的C点时，重力的功率为 P＝mgVcosα＝mgVsinθ
根据动能定理可得 mgLcosθ=mV2－0
解得
设y＝cosθsin2θ＝
因2cos2θ＋sin2θ＋sin2θ＝2，为定值，由 可得
当2cos2θ＝sin2θ，即 tanθ＝，cosθ＝, sinθ＝时，y有极大值，P有最大值。
则y＝ⅹ=,P极＝
答案：当tanθ＝时，P极＝。